《高等數(shù)學(xué)》案例集

《高等數(shù)學(xué)》案例集單元一函數(shù)的極限（一）建立函數(shù)關(guān)系的的案例零件自動(dòng)設(shè)計(jì)要求，需確定零件輪廓線(xiàn)與掃過(guò)的面積的函數(shù)關(guān)系。已知零件輪廓下部分為長(zhǎng)，寬的矩形ABCD，上部分為CD圓弧，其圓心在A(yíng)B中點(diǎn)O。如下圖所示。M點(diǎn)在BC、CD、DA上移動(dòng)，設(shè)BM＝x，OM所掃過(guò)的面積OBM（或OBCM或OBCDM）為y，試求y=f(x)函數(shù)表達(dá)式，并畫(huà)出它的圖象。DMMCMABDMMCMAB解：（二）極限1、一男孩和一女孩分別在離家2公理和1公理且方向相反的兩所學(xué)校上學(xué)，每天同時(shí)放學(xué)后分別以4公理/小時(shí)和2公理/小時(shí)的速度步行回家,一小狗以6公理/小時(shí)的速度由男孩處奔向女孩,又從女孩奔向男孩,如此往返直至回家中,問(wèn)小狗奔波了多少路程?若男孩和女孩上學(xué)時(shí)小狗也往返奔波在他們之間,問(wèn)當(dāng)他們到達(dá)學(xué)校時(shí)小狗在何處?解：(1)男孩和女孩到校所需時(shí)間是半小時(shí)，也即小狗奔波了半小時(shí)，故小狗共跑了3公里。(2)設(shè)x(t)，y(t)，z(t)分別表示t時(shí)刻男孩、女孩、小狗距家的距離，（三）連續(xù)函數(shù)性質(zhì)某甲早8時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山,下午5時(shí)到達(dá)山頂并留宿。次日早8時(shí)沿同一路徑下山,下午5時(shí)回到山下旅店。某乙說(shuō),甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過(guò)路徑中的同一地點(diǎn).為什么?單元二導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1、陳酒出售的最佳時(shí)機(jī)問(wèn)題某個(gè)酒廠(chǎng)有一批新釀的好酒，如果現(xiàn)在就出售，可得總收入R0＝50萬(wàn)元。如果窖藏起來(lái)待來(lái)年（第n年）按陳酒價(jià)格出售，第n年末可得總收入為R＝R0萬(wàn)元，而銀行利率為r＝0.05，試在各種條件下討論這批好酒的出售方案。若銀行利率開(kāi)始為r＝0.05，第5年后降為0.04，請(qǐng)給出最佳出售方案。2、航空公司因業(yè)務(wù)需要，需要增加一架波音客機(jī)，如果購(gòu)買(mǎi)需要一次支付6000萬(wàn)美元現(xiàn)金，客機(jī)的使用壽命為15年，如果租用一架客機(jī)，每年要支付600萬(wàn)美元的租金，租金每年年末支付，若銀行年利率為8％，請(qǐng)問(wèn)購(gòu)買(mǎi)客機(jī)與租用客機(jī)那種方案較佳？如果銀行的年利率為5％呢？3、梯子長(zhǎng)度問(wèn)題一樓房的后面是一個(gè)很大的花園。在花園中緊靠著樓房有一個(gè)溫室,溫室伸入花園2m,高3m,溫室正上方是樓房的窗臺(tái).清潔工打掃窗臺(tái)周?chē)?他得用梯子越過(guò)溫室,一頭放在花園中,一頭靠在樓房的墻上.因?yàn)闇厥沂遣荒艹惺芴葑訅毫Φ?所以梯子太短是不行的.現(xiàn)清潔工只有一架7m長(zhǎng)的梯子,你認(rèn)為它能達(dá)到要求嗎?能滿(mǎn)足要求的梯子的最小長(zhǎng)度為多少?

解：functionf=fun(x)

f=x+2*x/sqrt(x*x-3*3)

%設(shè)溫室以上的梯子長(zhǎng)度為a，溫室的長(zhǎng)為x，高為y，則梯子的長(zhǎng)為a+y*a/sqrt(a*a-x*x).

%minb=a+y*a/sqrt(a*a-x*x)

[x,fval]=fminbnd('hui2',3,12);

xmin=x

fmin=fval

運(yùn)行結(jié)果：f=Inf

f=14.0656

xmin=3.9835

fmin=7.0235單元三積分及其應(yīng)用1、天然氣產(chǎn)量的預(yù)測(cè)工程師們已經(jīng)開(kāi)始從墨西哥的一個(gè)新井開(kāi)采天然氣，根據(jù)初步的試驗(yàn)和以往的經(jīng)驗(yàn)，他們預(yù)計(jì)天然氣開(kāi)采后的第t個(gè)月的月產(chǎn)量的函數(shù)給出：(百萬(wàn)立方米),試估計(jì)前24個(gè)月的總產(chǎn)量。提示：前24個(gè)月的總產(chǎn)量為，因?yàn)橛?jì)算這個(gè)和式比較難，應(yīng)用定積分來(lái)估計(jì)它。令,,則，且，從而為遞增函數(shù)。答案：(百萬(wàn)立方米) 2、終身供應(yīng)潤(rùn)滑油所需的數(shù)量某制造公司在生產(chǎn)了一批超音速運(yùn)輸機(jī)之后停產(chǎn)了。但該公司承諾將為客戶(hù)終身供應(yīng)一種適于改機(jī)型的特殊潤(rùn)滑油。一年后該批飛機(jī)的用油率（單位升/年）又下式給出：其中表示飛機(jī)服役的年數(shù)，該公司要一次性生產(chǎn)該批飛機(jī)一年后所需的潤(rùn)滑油并在需要時(shí)分發(fā)出去，請(qǐng)問(wèn)需要生產(chǎn)該潤(rùn)滑油多少升？提示:是該批分級(jí)一年后的用油率，所以等于第一年到第n年間該批飛機(jī)所需的潤(rùn)滑油的數(shù)量，那么就等于該批飛機(jī)終身所需的潤(rùn)滑油的數(shù)量。答案：600(L)3、地球環(huán)帶的面積地球上平行于赤道的線(xiàn)稱(chēng)為緯線(xiàn)，兩條緯線(xiàn)之間的區(qū)域叫環(huán)帶。假定地球是球形的，試證任何一個(gè)環(huán)帶的面積都是,這里k是構(gòu)成環(huán)帶的兩條緯線(xiàn)間的距離，d是地球直徑（約13000公里）。如果地球是旋轉(zhuǎn)橢球，則地球的任一環(huán)帶面積又是怎樣？4、高爾夫球座的體積一個(gè)木制高爾夫球座大體上具有以與的圖象為邊界的區(qū)域繞OX軸旋轉(zhuǎn)一周形成的立體。這里，問(wèn)這個(gè)高爾夫球座的體積是多少？答案：5、轉(zhuǎn)售機(jī)器的最佳時(shí)間由于折舊等原因，某機(jī)器轉(zhuǎn)售價(jià)格是時(shí)間t(周)的減函數(shù)，其中A是機(jī)器的最初價(jià)格。在任何時(shí)間t，機(jī)器開(kāi)動(dòng)就能產(chǎn)生的利潤(rùn)。問(wèn)機(jī)器使用了多長(zhǎng)時(shí)間后轉(zhuǎn)售出去能使總利潤(rùn)最大？這利潤(rùn)是多少？機(jī)器賣(mài)了多少錢(qián)？提示：假設(shè)機(jī)器使用了x周后出售，此時(shí)的售價(jià)是，在這段時(shí)間內(nèi)機(jī)器創(chuàng)造的利潤(rùn)是。于是，問(wèn)題就成了求總收入+，的最大值。答案：總利潤(rùn)P=11.01A,機(jī)器賣(mài)了元。單元五多元函數(shù)微積分1、最大利潤(rùn)問(wèn)題某公司在生產(chǎn)使用a,b兩種原料，已知a,b兩種原料分別使用x單位和y單位可生產(chǎn)U單位的產(chǎn)品，這里并且第一種原料每單位的價(jià)格為10美元，第二種的價(jià)格為4美元，產(chǎn)品每單元的售價(jià)為40美元，求該公司的最大利潤(rùn)。提示：多項(xiàng)式的極值，求駐點(diǎn)。答案：28189美元。2、如何購(gòu)物最滿(mǎn)意日常生活中，人們常常碰到如何分配定量的錢(qián)來(lái)購(gòu)買(mǎi)兩種物品的問(wèn)題。由于錢(qián)數(shù)固定，則如果購(gòu)買(mǎi)其中一種物品較多，那么勢(shì)必要少買(mǎi)（甚至不在購(gòu)買(mǎi)）另一種物品，這樣就不可能很令人滿(mǎn)意。如何劃分給定量的錢(qián)，才會(huì)得到最滿(mǎn)意的效果呢？經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖借助效用函數(shù)來(lái)解決這一問(wèn)題。所謂效用函數(shù)，就是描述人們同時(shí)購(gòu)買(mǎi)兩種產(chǎn)品各x單位y單位時(shí)滿(mǎn)意程度的量。常見(jiàn)的形式有：U＝U(x,y)=x+y或U＝U(x,y)=lnx+lny等。而當(dāng)效用函數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，人們購(gòu)買(mǎi)分配的方案最佳。例如：小孫由200元錢(qián)，他決點(diǎn)該購(gòu)買(mǎi)二種急需品：計(jì)算機(jī)磁盤(pán)和錄音磁帶。且設(shè)他購(gòu)買(mǎi)x張磁盤(pán)y張錄音磁盤(pán)的效用函數(shù)為U＝U(x,y)=lnx+lny，設(shè)每張磁盤(pán)8元，每盒磁帶10元，問(wèn)他如何分配他的200元錢(qián)，才能達(dá)到最滿(mǎn)意的效果。提示：拉格朗日乘數(shù)法。答案：買(mǎi)12張磁盤(pán)和10盒磁帶。3、怎樣設(shè)計(jì)海報(bào)的版面既美觀(guān)又經(jīng)濟(jì)現(xiàn)在要求設(shè)計(jì)一張單欄的豎向張貼的海報(bào),它的印刷面積128平方分米，上下空白各2分米,兩邊空白各1分米，如何確定海報(bào)尺寸可使四周空白面積最少?提示：函數(shù)極值答案：（海報(bào)印刷部分為從上到下長(zhǎng)16分米，從左到右寬8分米）。4、接受能力與講授時(shí)間的關(guān)系通過(guò)研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力（即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能力）依賴(lài)于在概念引入之前老師提出和描述問(wèn)題所用的時(shí)間。講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，但隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，學(xué)生的注意力開(kāi)始分散。分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下式給出：其中G(x)是接受能力的一種度量,x是提出概念的時(shí)間（單位：min）。

（a）x為何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？（b）第10分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增長(zhǎng)還是降低？（c）最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？（d）一個(gè)概念需要