2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 立體幾何經(jīng)典題型精練（解析版）

微專題16立體幾何經(jīng)典題型精練

典型例題

例1.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖所示，三棱柱Z8C-Z4G中，所有棱長(zhǎng)均為2,

NA4C=N8/4=NC44=60。，p,。分別在48,4G上(不包括兩端)，AP=A.Q.

(1)求證：P。//平面8CC4；

(2)設(shè)尸。與平面/8C所成角為。，求sin?的取值范圍.

【解析】

(1)作PO//ZC,交BC于點(diǎn)D，設(shè)/。二力尸土直。,？)，則8P=2-/,

PDBPHl,PD2-t八八、

PDHAC,.1—=——，即一=——=PD=2-t,

ACAB22

?。〃0G且PD=QG,連接DC,,

所以四邊形GQP。為平行四邊形，，PQUCQ,

平面8c￡4，且CQu平面8c￡4,

P。//平面BCQB」

(2)取NC中點(diǎn)”，連接4河、BM、48,

o

G

VAM=~^AC=\,AAt=2,4/"=60。，

根據(jù)余弦定理得：4M2=J42+y4M2-2^4-JA/-cos60°=4+l-2x2x1x1=3,

AAtM=y/3,則4〃_L/C,

：A/BC是等邊三角形，ABMLAC,

,/A{McBM=M,：.AC1.平面&BM,;4Cu平面為BC

平面ABC1平面ABM,

在中，&M=BM=6,48=2,

作4〃_L8A/,交BM于點(diǎn)、H,因?yàn)槠矫鎆BCri平面48M=BM,

所以平面/8C,

2*播.石也xA、H2.72

則SMBMA,H=-^

2~~6

：4。//平面/8C,所以點(diǎn)。到平面Z8C距離〃=4”=等,

QP=QAt+A^A+AP,

QP=(QAI+A^4+AP^

22

^t+4+t+2QA]-A^A+2A^4-AP+2QAl-AP

=2r+4+2xfx2x；+2x2xfx(-g)+2xfxfx(-；

=/+4,

QP=>jt2+4.

20

.〃否2正，

〃+4療〃+4

VZ€(0,2),〃+4」(2,+2省),

例2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱ABC-A^C,中，ZC1BC,ZC=8C=44,

。為4片的中點(diǎn)，G為的中點(diǎn)，￡為6。的中點(diǎn)，BF=3AF,點(diǎn)P為線段8G上的動(dòng)

點(diǎn)（不包括線段8G的端點(diǎn)）.

（1）若EPH平面CFG,請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置；

（2）求直線CP與平面CFG所成角的正弦值的最大值.

【解析】

如圖，連接8。，

VBB}=2AG,BtD=2AF,：.Rt/\FAG^Rt/\DBxB,

NBDB、=NAFG,

NBDB、=AABD,

NAFG=NABD.：.GF//BD,

：GFu平面CFG,8。0平面CFG,...8?！ㄆ矫鍯FG,

若EP〃平面CFG,又由EP,8。＜=平面5。&,

平面CFG與平面BC、D相交，必有EP//BD,

又?.?OE=EG，P為8G的中點(diǎn)：

（2）因?yàn)?C,BC,CG兩兩垂直,

我們可以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量B，CB<而方向分別為x，>，z軸的正方向建立如圖

所示空間直角坐標(biāo)系，

不妨設(shè)4c=4,可得各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

C(O,O,O),<(4,0,0),<(0,4,0),G(0,0,4),G(4,0,2),F(3,l,0),

設(shè)麗=入苑(0<2<1),有麗=義(0,-4,4)=(0,-44,42),

又由麗=赤+而,有CP=(0,4,0)+(0,-4A,4A)=(O,4-4A,4A),

設(shè)平面CFG的法向量為m=(x,y,z),

mCF=3x+y=0

由存=（3,1,0）,CG=（4,0,2）,W-

m-CG=4x+2z=0

取X=l,y=-3,z=-2,可得平面CFG的一個(gè)法向量為五=(1,-3,-2),

設(shè)直線CP與平面CFG所成的角為。，

由麗石=-3(4-42)-82=4/1-12,

冏=5/（4-4Z）2+1622=4A/2A2-22+1,同=E,

有sin9=￡5=:尸2|一尸

WH同拒x4以2-24+1Ax也儲(chǔ)-21+1

設(shè)"3+代—2）,有"后加/=+3）+1

sin0=—~W---------.1

110

底以+10/+137l4xJ1++2）

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng);琮時(shí)，-4,

1VT82

132--------

—sm。的最大值為代4x13x2-10014

4x13

例3.(2022?遼寧?大連市一0三中學(xué)高三開學(xué)考試)如圖，在四棱錐尸-Z8CD中，BC=2,

ADIIBC,E為棱總的中點(diǎn)，BE〃平面PCD.

(1)求力。的長(zhǎng)；

(2)若PB=AB=BC=6BE，平面尸_L平面PBC,求二面角B-PC-D的大小的取值范

圍.

【解析】

(1)如圖所示：

過E作EA///4D,交PD于點(diǎn)、M,連接CW,

因?yàn)?E〃平面尸CDBEu平面BCME,

平面PSCl平面BCME=MC,

所以8E〃MC,

又因?yàn)镋M“AD,ADHBC,

所以8C7/E”，

所以四邊形8cME是平行四邊形，

所以8C=屈必，又因?yàn)镋M=；