2023-2024學(xué)年北京東城區(qū)十一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京十一中高二（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（共12小題；共48分）1.直線x0=的傾斜角為（）A.0°B.90°C.180°D.不存在2.已知空間向量mn=(,，且m//n，則實(shí)數(shù)==（）1313?3A.B.與直線B.C.D.6ax+2y?1=02x?3y?1=0a垂直，則的值為3.直線4A.3??C.2D.334.點(diǎn)A(23)關(guān)于點(diǎn)B(－1,0)的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是()13A.(56)5.已知橢圓B.(4,3)C.(3，－D.(,?)22x22y2+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為20)，則這個(gè)橢圓的方程是（）a2x2y2x2y2+=1++=1=1A.B.D.4232y2x2y2C.x2+=1262(?)，(??)兩點(diǎn)，直線lA3,4B1l2l，那么與1l26.已知直線經(jīng)過的傾斜角為1A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直(?)7.圓x12+y22的圓心到直線=x+y+1=0的距離為（）2A.2B.2C.1D.28.圓1:xA.內(nèi)含2+y2+2x=0，圓C2:x2+y+4y=0，則兩圓的位置關(guān)系是（2）B.相交C.外切D.外離9.平面→軸與平面所成的角的大小為（y的一個(gè)法向量為=n3,0)，則?）5A.B.C.D.6346(?)10.已知圓C:x32+(?)=1和兩點(diǎn)A(?,0)，B(,0)(m0)y4，若圓C上存在點(diǎn)P，使得2APB=90，則m的最大值為A.7B.6C.5D.4)的直線l與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)x2P，過點(diǎn)(M已知橢圓M:+y2=1的上、下頂點(diǎn)為,B4C,D（CPD在線段的取值范圍為（）134134(6)?6?D.A.B.C.x2+y2=+|x|y就是其中之一（如圖）.給出下12.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線C：列三個(gè)結(jié)論：①曲線C恰好經(jīng)過6②曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過2；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①B.②C.①②D.①②③二、填空題（共6小題；共30分）y=xAB=______．x2+y2?2x6y0相交A、兩點(diǎn)，則?=13.直線l：與圓Bx2y214.已知雙曲線C:?=1，則雙曲線C的焦距為________．22x2y2F,F+=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在此橢圓上，則橢圓離心率為_________，15.已知點(diǎn)分別是橢圓219△PF1F的周長為_________.2CC的中點(diǎn).則點(diǎn)1到平面ABN的距離為116.如圖，在正三棱柱中，各棱長均為4，N是___________.()，(?)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)、間的距離最大時(shí)，直線的方llAB1l1l2l117.已知、是分別經(jīng)過12程為______．()，此時(shí)圓上一點(diǎn)的位置在118.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一單位圓的圓心的初始位置在P()，圓在軸上沿正向滾動(dòng)當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于()時(shí)，的坐標(biāo)為x.P_________.三、解答題（共5小題：共72分）,B,C4a,b,cb=c=cosA=.19.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知5a（1）求的值；（2）求sinB的值及的面積．20.已知直線l:x?y+1=0和圓C:x2+y?2x+4y?4=0．2（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線l被圓C截得的弦長；（2）求過點(diǎn)(?)且與圓C相切的直線方程．21.如圖，在四棱錐P?中，PA⊥底面ABCD，ADAB⊥，AB，=2，==AB=1，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn).（1）證明：BEPD；⊥（2）若F為棱上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求平面與平面ABD所成角的余弦值.x2y222+=ab0)的離心率為22.已知橢圓C：，短軸長為2.a2b2（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0).求證：=.()=Fak1k)(=23.對(duì)于三維向量ak=(x,y,zx,y,zN,k，定義F變換：“”a，其中，kkkkkkk1=x?y,y=y?z,z=zk?ka=xyza=x+y+z．記，．kkk1kkk1kkkkkkkk)（1）若a0=2，求a2及a；2N*，使a=0；（2）證明：對(duì)于任意a0，經(jīng)過若干次F變換后，必存在KKa=p,2,qqp,a=2024()()mam最小，求的最小值．m（3）已知，將再經(jīng)過次F變換后，a111參考答案一、選擇題（共12小題；共48分）1.【答案】B【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€x=0與軸垂直，所以直線x=0的傾斜角為90°.故選：Bx2.【答案】A【分析】由m//n，得到m=tn，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，空間向量mn=(,，=3=?t1=t13=t(?,?因?yàn)閙//n，可得m=tn，即，可得，解得=?.故選：A3.【答案】D【詳解】【分析】分析：利用兩條直線垂直的充要條件，建立方程，即可求出a的值．詳解：∵直線ax+2y1=0與直線2﹣3y﹣1=0∴2a+2×3）=0解得a故選D．點(diǎn)睛：本題考查直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.【答案】B【分析】利用中點(diǎn)公式即可求出.A(x,y)【詳解】設(shè)點(diǎn)2+x1==?x42則解得3+yy=30=2故選B【點(diǎn)睛】求解點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱問題，主要應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)是中點(diǎn)公式，但在代入數(shù)值是容易出錯(cuò)，必修要對(duì)號(hào)入座.5.【答案】Da2=b+c2即可求解.2【分析】根據(jù)x22y2+=1的一個(gè)焦點(diǎn)為20，c=2，【詳解】橢圓a2x則橢圓的焦點(diǎn)在軸上，且因?yàn)閎=2，2所以a2=b2+c2=2+4=6，x2y2+=1.所以橢圓的方程是62故選：D6.【答案】A【分析】ll2根據(jù)兩點(diǎn)求出直線的斜率，根據(jù)傾斜角求出直線的斜率；可知斜率乘積為1，從而得到垂直關(guān)系.14+1?3+8(?)，(??)兩點(diǎn)lA3,41Bl直線的斜率：1==1【詳解】直線經(jīng)過11直線l直線lk=tan135=?1的斜率：2的傾斜角為13522kk=?11⊥l212本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系的判定，關(guān)鍵是利用兩點(diǎn)連線斜率公式和傾斜角求出兩條直線的斜率，根據(jù)斜率關(guān)系求得位置關(guān)系.7.【答案】B【分析】由圓的方程得出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得出答案.(?)2+y2x+y+1=0d的距離=2的圓心坐標(biāo)為0)【詳解】圓x1|1+0+1|==20)則圓心到直線12+2故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題.8.【答案】B【分析】求得兩圓的圓心與半徑，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，圓1:x2+y2+2x=0，圓C2:x2+y+4y=0，2C(?0),C2)r=r=2可得，且，1212CC=52?152+1r2?rC2r+r，21則，可得，即121所以兩圓相交.故選：B.9.【答案】B【分析】軸上的單位向量j=0)，則軸與平面所成的角的大小，由公式sin|cosj,n|可求解.yy取y【詳解】解：設(shè)軸與平面所成的角的大小為，y軸上的單位向量j=0)，在平面的一個(gè)法向量為n3,，=?33sin|cosj,n==，142=．3故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查用向量方法求線面的夾角，屬于基礎(chǔ)題.10.【答案】B【詳解】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以m?1=5，故選B.考點(diǎn)：本小題主要考查兩圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題與解決問題的能力.【答案】D【分析】由題意畫出圖形，分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得=1，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得合根與系數(shù)的關(guān)系寫出數(shù)量積，由k得范圍求得的范圍．k的范圍，再結(jié)【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為x=0，C，D(0,，此時(shí)=1；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為y=+2()(),Cx,y,Dx,y2k(k0)，設(shè)112則直線方程為，y=+22+4k2)x2+16+12=0，聯(lián)立x，得+y=1243=k)2?+4k2)=64k2?4802k，得．416k1+4k121+4kx+x=?,xx=12，1222121+4k16k1+4k?k1+4k22)yy=(+2)(+2)=k2xx+2k(x+x)+4=k2+2k(?)+4=2．121212122121+4k4?4k1+4k216?4k1+4k21+4k2?17171+4k=+=+==?=?1+xx1y2．12222+2214k34171+4k174k2，1+4k204，，2則1，4綜上，的取值范圍是[13．)4故選：D．12.【答案】C【分析】將所給方程進(jìn)行等價(jià)變形確定x的范圍可得整點(diǎn)坐標(biāo)和個(gè)數(shù)，結(jié)合均值不等式可得曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最值和范圍，利用圖形的對(duì)稱性和整點(diǎn)的坐標(biāo)可確定圖形面積的范圍.2|x|23x23x243x2+y2=1+xyy2?xy=1?x2?=1?,1?【詳解】由得,,y,44+2y=1+xyx所以可為的整數(shù)有0,-1,1,從而曲線C:x2恰好經(jīng)過(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),1,0),(-1,1)六個(gè)整點(diǎn),結(jié)論①正確.x2+y2x2+y2=1+xy得,x2y2+,解得x2+y2所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不2由2超過2.結(jié)論②正確.A?1,B1,0,C,D0,1如圖所示,()()()(),13ABCDS=+=,很明顯“心形”區(qū)域的面積大于2S1111四邊形的面積即“心形”區(qū)22域的面積大于3,說法③錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查曲線與方程?曲線的幾何性質(zhì)，基本不等式及其應(yīng)用屬于難題,注重基礎(chǔ)知識(shí)基本運(yùn)算能力及分析問題解決問題的能力考查,滲透“美育思想”.二、填空題（共6小題；共30分）13.【答案】42,B【分析】根據(jù)給定條件，聯(lián)立方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.y=xx=0x=4(0,0),B(4,4)，不妨令，【詳解】由?2x?6y=0解得y=0或x2+y2y=4=42+42=42.所以故答案為：4214.【答案】4【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出，ba，即可得解.cx2y2?=1，可得a2=2，b=2，【詳解】由雙曲線方程222c2=a2+b2=4，c=2，故焦距為4.故答案為：4.415.【答案】①.##.5【分析】利用橢圓的定義與性質(zhì)計(jì)算即可.25?945【詳解】由已知可得e==，25△PF1F+PF+FF=225+225?9=18.1212的周長為24故答案為：；516.【答案】3【分析】構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，并求出面ABN的一個(gè)法向量、1N，利用點(diǎn)面距離的向量求法求1到平面ABN的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則()，，(C4,0)，()C0,4,4.A0,0B23,2,0)1由N是1的中點(diǎn)，則().N0,4,2n3x+2y=0)，則設(shè)平面ABN的一個(gè)法向量為n=(x,y,z，n4y+2z=0CN2=(?)，1令z2，即=n=?,1,2，而314433設(shè)點(diǎn)1到平面ABN的距離為，則dd=2=3.2n故答案為：3x+2y?3=017.【答案】lllkkl1【分析】先判斷出當(dāng)⊥AB時(shí)、間的距離最大，求出，進(jìn)而求出，即可求出直線的方程.1121ll2【詳解】設(shè)兩平行直線、的距離為.1()，(?)點(diǎn)的兩條平行直線，AB1因?yàn)?、是分別經(jīng)過l1l2dl所以,當(dāng)且僅當(dāng)⊥AB時(shí)取等號(hào).11+11?012因?yàn)橹本€AB的斜率為k==2，所以與直線ABlk=?垂直的直線的斜事為1，AB11ly?1=?(x?x+2y?3=0，即.所以的方程為12x+2y?3=0故答案為：(?)2sin2,1cos2?18.【答案】P(2+cos,1+sin)，然后求代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【分析】根據(jù)題意，由圓O的方程可得【詳解】A(0)，連接OP，設(shè)滾動(dòng)后的圓的圓心為O，切點(diǎn)為xB)過O做與軸正方向平行的射線，交圓O于，設(shè)BOP=，因?yàn)閳AO的方程為(?)2+(?)y1=1，2x2故設(shè)P(2+cos,1+sin)，又單位圓的圓心的初始位置在()，圓滾動(dòng)到圓心位于()，2,133cos=cosπ?2=?sin2，=π?2所以=，可得，則APP22232sin=sinπ?2=?cos2(?)P2sin2,1cos2.?，所以故答案為：(2?sin2,1?cos2)三、解答題（共5小題：共72分）19.【答案】（1）a=13313（2），913）由余弦定理求解，（2）由正弦定理與三角形面積公式求解．【小問14因?yàn)閎=c=A=，由余弦定理知：54a2=b2+c2?bcA=25+36?256=13=13.，則a5【小問243cosA=A為三角形內(nèi)角，則sinA=1?cosA=2由又且，5535ab=bsinA313.，所以sinB=5==sinAsinBa1313113S=bcsinA=56=9.22520.【答案】（1）相交，截得的弦長為2.（2）x=4或4x3y130.+?=）利用點(diǎn)到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解；（2）利用直線與圓相切與點(diǎn)到直線的距離公式的關(guān)系求解.【小問14+16+16由圓C:x2+y2?2x+4y?4=0可得，圓心C2),半徑r=?=3，21+2+1圓心C2)到直線l:x?y+1=0的距離為d=所以直線l與圓C相交，=22r，2直線l被圓C截得的弦長為2r2【小問2.若過點(diǎn)(?)的直線斜率不出在，則方程為，x=4此時(shí)圓心C2)4?1=3=r，滿足題意；到直線x=4的距離為若過點(diǎn)(?)且與圓C相切的直線斜率存在，y+1=k(x??y?4k?1=0，則設(shè)切線方程為，即4?y?4k?1=0k=?則圓心到直線的距離為，解得，，k23413?x?y+=04x+3y?13=0，即所以切線方程為33綜上，過點(diǎn)(?)且與圓C21.【答案】（1）證明見解析10x=4或4x+3y?13=0.相切的直線方程為（2）10）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為軸，xAD為y軸，AZz為軸建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量即可得證，（2）先根據(jù)題意求出F點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用空間向量即可求出面面夾角的余弦值.【小問1如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為軸，xAD為y軸，z為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?==2,AB=1,點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，所以(),()()()()B1,0,0C2,0D2,0P2E,,,,BE=(),PD=(0,2,2),因?yàn)樗訮D=0,即BE⊥PD，所以BEPD.⊥【小問2BC=2,0)，CP=(??2)，AC=(2,0)由（1）可得∵上一點(diǎn)，設(shè)CF==??CP(2,2,2)(0)由F為棱，=+=(??)()BFBCCF12,22,201，故由BF⊥AC=(?)+(?)=BFAC2122220，，得3=解得，4113=?,,即，222設(shè)平面的法向量為n=(a,b,c)，a=0n1，得13由?a+b+c=0nF222令c1，則n=()，=i=0,1)，(取平面ABD的法向量設(shè)平面FAB與平面ABD的平面角為，由圖可知為銳角，10cos==所以，in1010故平面FAB與平面ABD的余弦值為．x2+y2=122.【答案】（1）（2）證明見解析2a,b,c）根據(jù)離心率以及短軸長，結(jié)合的關(guān)系即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，由兩點(diǎn)斜率公式，結(jié)合韋達(dá)定理即可化簡求解.【小問12c=2ab=2，解得b=a=2，由題意可知：a2?b2=c2x2+y=12所以橢圓方程為2【小問2由于()，F(xiàn)1,0當(dāng)直線無斜率時(shí)，此時(shí)直線方程為x=1，此時(shí),Bx=關(guān)于軸對(duì)稱，顯然滿足，y=kx?)，(當(dāng)直線有些率時(shí)，可設(shè)直線方程為2x+y=12()x12k+22?4k2x+2k2?2=02聯(lián)立直線與橢圓方程，ykx1=(?)4k+22k?22設(shè)()()，則，Ax,y,Bx,yx+x=,xx=2121122121+2k212k1x?222?k=k=，,21(2)+(12)??(?)(x2)+?(?)(1?2)2?(+)+4k11?y22?12y2k12k121xk1x2kAM+kAN=+===2，(x?)(x?)1(x?)(x?)1(x?)(x?)122222222224k+22k2?2將12+=,12=代入可得12k21+2k222k2?24k+2k?k+4k221x2?kx1+x2)+4k1+2k212k2k(k2)22??12k3+4k(12+k2)=0，(kAM+kAN===(x?)(x?)1(x?)(x?)1+2k(x?2)(x?2)1222222212所以=，綜上可知：=a=a=223.【答案】（1）22（2）證明見解析3505）根據(jù)定義找出a1=()，a2=0,1)，從而得到a2a，；2（2）利用反證法，假設(shè)對(duì)kN,k10，然后導(dǎo)出矛盾，命題得證；a