2023-2024學(xué)年北京西城區(qū)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)班級(jí)______姓名______學(xué)號(hào)______成績______1．本試卷共4頁，共五道大題，24道小題，答題卡共8頁，滿分150分，考試時(shí)間分鐘．考生須知2．在試卷和答題卡上準(zhǔn)確填寫班級(jí)、姓名、學(xué)號(hào)．3．試卷答案一律填寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）E,FABCD?BCDAB,CDAB+CF的中點(diǎn)，則等于（1．如圖，分別是長方體的棱）ACAE（D）（A）2．直線x+3y?1=0的傾斜角是（（A）30（B）60（C）120（D）150（B）（C））()3．若拋物線x2=ay0,1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則其準(zhǔn)線方程為（）（A）x=?1（B）x=1（C）y=1（D）y=14．如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于EFBCa,E,F,G分別是棱AB,AD,GFAC的中點(diǎn)．則與分別等于（）a2a2a2a2a2a2a2a2（A）?和（B）和?（C）和（D）?和24242422x2y2+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F,F，過點(diǎn)F的直線交橢圓于,B兩點(diǎn)，如果AB=8，那么5．設(shè)橢圓121259+的值為（）22（A）2（B）10（C）12（D）146．拋物線y=4x上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離的最小值為（）21（A）（B）1（C）2（D）42x22y227．若雙曲線?=1的焦點(diǎn)F0)到其漸近線的距離為5，則雙曲線的方程為（）abx2y2x2y2x2y2x2y2（A）?=1（B）?=1（C）?=1（D）?=1455436638．如圖，在正方體ABCD?ABCD中，點(diǎn)P為棱DD的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為面ADDA內(nèi)一點(diǎn)，BQ⊥，11111111則（）（A）S=2△1（B）2S=3△1（D）3S=△1△ADQ△ADQ1111（C）2S=2△1△ADQ11△ADQ11二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）()(0)a,?+=a=垂直，則______．x2y309．若經(jīng)過點(diǎn)的直線與直線10．已知平面的法向量為(??)2，平面的法向量為(?1,2,k)，若//，則k=______．1:x2+y2+2x+3y+1=0和C2:x2+y+4x+3y+2=0相交，則圓C與圓C的公共2．已知兩圓12弦所在直線的方程為______．12．設(shè)v=1,2,v=2,3,2分別是空間兩直線l,l的方向向量，則直線l,l所成角的大小為______．121212()=(?)13．已知P2,3是直線l上一點(diǎn)，且n2是直線l的一個(gè)法向量，則直線l的方程為______．x214．設(shè)點(diǎn)F,F分別為橢圓C:+y=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若使得2124PFPF=mm成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)的一個(gè)取值可以為______．12三、解答題（本大題共3小題，共30分）1510分）已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A8,5,B2,C6,3，求經(jīng)過兩邊()(?)(?)AB和AC的中點(diǎn)的直線的方程．1610分）已知直線l:x+?3=0與圓(?)C:x22+(+)y3=9．2（Ⅰ）若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)m的值；（П）當(dāng)m=?2時(shí)，直線l與圓C交于點(diǎn)1710分）E,F，設(shè)O為原點(diǎn)，求△EOF的面積．如圖，四棱錐P?ABCD的底面是矩形，⊥底面，為ABCDPD=DC=AD=MBC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AD//平面PBC；PCD所成的角的余弦值．（П）求平面與平面第П卷（共50分）四、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）()(2),C),D2)，若A,1,B,B,C,D18．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)則m=______．四點(diǎn)共面，x22y2219．已知雙曲線?=()的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作x軸的垂線l,l在第一象限與雙曲線1ab0ab,BA兩點(diǎn)．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為______．及其漸近線分別交于20．如圖，在長方體ABCD?ABCD中，===1，點(diǎn)P在側(cè)面AABB上．若點(diǎn)P到直1111111線和CD的距離相等，則AP的最小值是______．11(?)()21．在平面直角坐標(biāo)系中，到兩個(gè)點(diǎn)A2,0和B0的距離之積等于4的軌跡記作曲線，對(duì)于曲線ΩΩP及其上一點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：Ω①曲線關(guān)于軸對(duì)稱；xP②曲線上有且僅有一點(diǎn)，滿足=；y1；Ω③曲線上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x22,22，縱坐標(biāo)④+的取值范圍是22,5．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．五、解答題（本大題共3小題，共34分）2212分）如圖，直四棱柱ABCD?ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E1111在棱1上（Ⅰ）求證：AC⊥；111（П）從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得⊥平面EAC，并給出證明．111E的中點(diǎn)；1條件①：為條件②：//平面EAC；111條件③：⊥．11ED的中點(diǎn)，且點(diǎn)到平面C的距離為，求的長度．11（Ⅲ）若為112312分）x22y22已知橢圓Γ:+1ab0=()的左、右頂點(diǎn)分別為A,A，上、下頂點(diǎn)分別為B,B,BB=22，122112ab四邊形ABAB的周長為82．1122Γ（Ⅰ）求橢圓的方程；)FΓF（П）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)T(m，過點(diǎn)的垂線交橢圓于點(diǎn)作TFΓP,Q，連接與OTPHPQH交于點(diǎn)．試判斷是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說明理由．HQ2410分）n個(gè)有次序的實(shí)數(shù)1()稱為一個(gè)n維向量，其中in()所組成的有序數(shù)組a2n12()，若稱為該向量的第i個(gè)分量．特別地，對(duì)一個(gè)n維向量aai，稱為an12n)=()，則a和b的內(nèi)積定義為，且維信號(hào)向量．設(shè)aa⊥bab=0．=(a,a,,a,bb,b,,ba12n12niii1（Ⅰ）直接寫出4個(gè)兩兩垂直的4維信號(hào)向量．（П）證明：不存在14個(gè)兩兩垂直的維信號(hào)向量．（Ⅲ）已知k個(gè)兩兩垂直的2024維信號(hào)向量x,x,,x滿足它們的前m個(gè)分量都是相同的，求證：12k45．參考答案第Ⅰ卷（共100分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）1．D5．C2．D6．B3．C7．A4．A8．A二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）9．?10101．2x+1=012．2x?2y+4=013．三、解答題（本大題共3小題，共35分）1513分）AB和AC的中點(diǎn)分別為D,E，解：設(shè)3()D,E4()(?)(?)因?yàn)锳8,5,B2,C6,3，所以232?4y?4（或求一點(diǎn)，BC斜率）所以直線x+2y?9=0，的方程為：=，x?16?1整理得：經(jīng)過兩邊AB和AC的中點(diǎn)的直線的方程為x+2y?9=0．1612分）4m=．3（П）當(dāng)m=?2時(shí)直線l:x?2y?3=0，點(diǎn)C到直線l的距離為5．求得EF=4，351655原點(diǎn)O到直線l的距離為h1710分）=，△EOF的面積為S=EFh=．52P?ABCD的底面是矩形，所以AD//BC，又因?yàn)锳D平面所以AD//平面PBCPBC,BC平面PBC，DDA、DC、DP、、z所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)（П）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，D?系，C=AD=M為BC的中點(diǎn)．(D0,0,A2,0,0,M0,P0,1)()()()，=(?)=(?)，PA1,PM1n=(x,y,z)，設(shè)平面的法向量為n2xz?=即x+y?z=nPM=z=2x=y=1n12)令，則平面PCD的法向量為m=10)，11+01+02,n，m+2+212+12+210026平面與平面PCD所成的角的余弦值．6第П卷（共50分）四、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）2318219．20．33五、解答題（本大題共3小題，共35分）2213分）BD,BD．11ABCD?ABCDBB1⊥ABCD1，111由直四棱柱知，平面．1111ACABCD⊥AC1，所以111又平面11111因?yàn)锳BCD為正方形，所以AC⊥BD．又BD11，111111111所以AC⊥平面DDBB．1111又平面DDBB，所以AC⊥．111111（П）選條件①、條件③，可使⊥平面EAC．證明如下：設(shè)ACO，連結(jié)OE,BD1．11111E,OBB,BD的中點(diǎn)，所以O(shè)E//BD．1111又分別是因?yàn)椤?，所以DB⊥OE．111由（Ⅰ）知AC⊥平面DDBB，所以AC⊥．1111111又1，所以⊥平面EAC．111（П）選條件②、條件③，可使⊥平面EAC．證明如下：111設(shè)1O，連結(jié)OE．因?yàn)?/平面EAC,平面DDBB，平面D平面EAC=，所以BD//OE．11111111111因?yàn)椤?，所以DB⊥OE．111由（Ⅰ）知AC⊥平面DDBB，所以AC⊥．1111111又1，所以⊥平面EAC．111BBtt=()0．（Ⅲ）設(shè)1因?yàn)?DC,DD1兩兩垂直，()()()()D0,0,0,A2t,C2t,Et，所D如圖，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D?，則11)以1=(?=(?)．0,EAt1n?x+y=設(shè)平面DAC的法向量為n=(x,y,z)，則即11?y+tz0.=nA1z=1，則x=y=tn=()=t)．令點(diǎn)，于是t,t,1,DEDEAC的距離為1到平面nt7277d==1，解得t=BB1=則，所以．n+17t22312分）b=22,．解得a2=b=2．2解：依題意可得：4a2+b2=82x2y2Γ所以橢圓的方程為+=1．62PH（П）為定值1，理由如下：HQ(?)(?)=?m，TF由Tm,F2,0，顯然斜率存在，kPHHQ當(dāng)m=0時(shí)，=1．1當(dāng)m0時(shí)，直線PQ過點(diǎn)F且與直線TF垂直，則直線PQ方程為y=(+)．x2m1yx=(+)x2,m得m2+3x)+12x+12?6m=0．由222y2+=162顯然Δ0．1212?6m2()()+=?2,1x=Px,y,Qx,yx12設(shè)則，則．1122m2+m2+331+x26mP,Qx==?．直線OTy=?x，中點(diǎn)的方程為2m2+331y=(+)x2,6PHHQPHHQm由得xH=?H，所以為線段PQ的中點(diǎn)，所以=1．綜上為定值．mm2+3y=?x32410分）()(??)(??)(??)1,1,,1．（П）假設(shè)存在14個(gè)兩兩垂直的14維信號(hào)向量y,y,,y，1214將這14個(gè)向量的某個(gè)分量同時(shí)變號(hào)或?qū)⒛硟蓚€(gè)位置的分量同時(shí)互換位置，任意兩個(gè)向量的內(nèi)積不變，不妨設(shè)y=),y=1)，123有7個(gè)分量為1設(shè)y的前7個(gè)分量中