2023-2024學(xué)年廣東省湛江市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年廣東省湛江市高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的的零點，，，，且，則（）A.a的取值范圍是(0,) B.的取值范圍是(0,1)C. D.2．“”是“為第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．已知全集，集合，那么（）A. B.C. D.4．函數(shù)的定義域為（）A. B.C. D.5．過點且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.6．已知，且滿足，則值A(chǔ). B.C. D.7．?dāng)?shù)列滿足，且對任意的都有，則數(shù)列的前100項的和為A. B.C. D.8．已知函數(shù)則A. B.C. D.9．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為()A.2 B.C.1 D.10．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家,近代數(shù)學(xué)奠基者之一,享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號,用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè),用表示不超過x的最大整數(shù),則稱為高斯函數(shù)例如：,,已知函數(shù),則函數(shù)的值域為（）A. B.C.1, D.1,2,11．已知是空間中兩直線，是空間中的一個平面，則下列命題正確的是（）A.已知，若，則 B.已知，若，則C.已知，若，則 D.已知，若，則12．已知，則的最小值為（）A. B.2C. D.4二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13．已知扇形的圓心角為120°，半徑為3，則扇形的面積是________.14．已知，則____________.15．設(shè)平行于軸的直線分別與函數(shù)和的圖像相交于點，，若在函數(shù)的圖像上存在點，使得為等邊三角形，則點的縱坐標(biāo)為_________.16．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17．已知四棱錐的底面是菱形，,又平面，點是棱的中點，在棱上.（1）證明：平面平面.（2）試探究在棱何處時使得平面.18．閩東傳承著中國博大精深的茶文化，講究茶葉茶水的口感，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．如果剛泡好的茶水溫度是，空氣的溫度是，那么分鐘后茶水的溫度（單位：）可由公式求得，其中是一個物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有某種剛泡好的紅茶水溫度是，放在的空氣中自然冷卻，10分鐘以后茶水的溫度是（1）求k的值；（2）經(jīng)驗表明，溫度為的該紅茶水放在的空氣中自然冷卻至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，大約需要多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感?（結(jié)果精確到，附：參考值）19．已知函數(shù)，若同時滿足以下條件：①在D上單調(diào)遞減或單調(diào)遞增；②存在區(qū)間，使在上的值域是，那么稱為閉函數(shù)（1）求閉函數(shù)符合條件②的區(qū)間；（2）判斷函數(shù)是不是閉函數(shù)？若是請找出區(qū)間；若不是請說明理由；（3）若是閉函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍20．計算下列各式的值（1）；（2）21．已知（1）求；（2）若，求.22．進(jìn)入六月，青海湖特有物種湟魚自湖中逆流而上，進(jìn)行產(chǎn)卵.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)湟魚的游速可以表示為函數(shù)，單位是，是表示魚的耗氧量的單位數(shù)（1）當(dāng)一條湟魚的耗氧量是500個單位時，求它的游速是多少？（2）某條湟魚想把游速提高，求它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確答案涂在答題卡上.）1、D【解析】將問題轉(zhuǎn)化為與有四個不同的交點，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想判斷各交點橫坐標(biāo)的范圍及數(shù)量關(guān)系，即可判斷各選項的正誤.【詳解】有四個不同的零點、、、，即有四個不同的解的圖象如下圖示，由圖知：，所以，即的取值范圍是(0,＋∞)由二次函數(shù)的對稱性得：，因為，即，故故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點問題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合判斷交點橫坐標(biāo)的范圍或數(shù)量關(guān)系.第II卷2、B【解析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)解三角形不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分條件、必要條件即可；【詳解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角為，因為真包含于，所以“”是“為第二象限角”的必要不充分條件；故選：B3、C【解析】應(yīng)用集合的補(bǔ)運算求即可.【詳解】∵，，∴.故選：C4、B【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故選：B.5、D【解析】先由題意設(shè)所求直線為：，再由直線過點，即可求出結(jié)果.【詳解】因為所求直線與直線平行，因此，可設(shè)所求直線為：，又所求直線過點，所以，解得，所求直線方程為：.故選D【點睛】本題主要考查求直線的方程，熟記直線方程的常見形式即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、C【解析】由可求得，然后將經(jīng)三角變換后用表示，于是可得所求【詳解】∵,∴,解得或∵,∴∴故選C【點睛】對于給值求值的問題，解答時注意將條件和所求值的式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?，然后合理地運用條件達(dá)到求解的目的，解題的關(guān)鍵進(jìn)行三角恒等變換，考查變換轉(zhuǎn)化能力和運算能力7、B【解析】先利用累加法求出，再利用裂項相消法求解.【詳解】∵，∴，又，∴∴，∴數(shù)列的前100項的和為：故選B【點睛】本題主要考查數(shù)列通項的求法，考查裂項相消求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8、A【解析】，.9、D【解析】圓心為,點到直線的距離為.故選D.10、C【解析】由分式函數(shù)值域的求法得：,又,所以,由高斯函數(shù)定義的理解得：函數(shù)的值域為,得解【詳解】解：因為,所以,又,所以,由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)的值域為,故選C【點睛】本題考查了分式函數(shù)值域的求法及對新定義的理解,屬中檔題11、D【解析】A.n和m的方向無法確定,不正確；B.要得到,需要n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,不正確；C.直線n有可能在平面內(nèi),不正確；D.平行于平面的垂線的直線與此平面垂直,正確.【詳解】A.一條直線與一個平面平行,直線的方向無法確定,所以不一定正確；B.一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直,則直線垂直于平面,無法表示直線n垂直于平面內(nèi)兩條相交直線,所以不一定正確；C.直線n有可能在平面內(nèi),所以不一定正確；D.,則直線n與m的方向相同,,則,正確；故選D【點睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系的判斷,遇到不正確的命題畫圖找出反例即可.本題屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計算作答.【詳解】因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，所以的最小值為.故選：C二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫在答題卡上.）13、【解析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度制，再利用扇形面積公式計算即可.【詳解】扇形的圓心角為120°，即，故扇形面積.故答案為：.14、【解析】求得函數(shù)的最小正周期為，進(jìn)而計算出的值（其中），再利用周期性求解即可.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，當(dāng)時，，，，，，，所以，，，因此，.故答案為：.15、【解析】設(shè)直線的方程為，求得點，坐標(biāo)，得到，取的中點，連接，根據(jù)三角形為等邊三角形，表示出點坐標(biāo)，根據(jù)點在函數(shù)的圖象上，得到關(guān)于的方程，求出，進(jìn)而可得點的縱坐標(biāo).【詳解】設(shè)直線的方程為，由，得，所以點，由，得，所以點，從而，如圖，取的中點，連接，因為為等邊三角形，則，所以，，則點，因為點在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以點的縱坐標(biāo)為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于先由同一參數(shù)表示出點坐標(biāo)，再代入求解；本題中，先設(shè)直線，分別求出，坐標(biāo)，得到等邊三角形的邊長，由此用表示出點坐標(biāo)，即可求解.16、【解析】先求出函數(shù)定義域，再換元，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法求解【詳解】由，得，所以函數(shù)的定義域為，令，則，因為在上遞增，在上遞減，而在上為增函數(shù)，所以在上遞增，在上遞減，故答案為：三、解答題（本大題共6個小題，共70分。解答時要求寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）17、（1）證明見解析；（2）當(dāng)時，平面【解析】（1）證明：,又底面是的菱形，且點是棱的中點，所以，又,所以平面.平面平面.（2）解：當(dāng)時，平面，證明如下：連接交于，連接.因為底面是菱形，且點是棱的中點，所以∽且,又，所以，平面.18、（1）（2）【解析】（1）由解方程可得解；（2）令，解方程可得解.【小問1詳解】由題意可知，，其中，所以，解得小問2詳解】設(shè)剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感，由題意可知，，令，所以，，，所以，所以剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感.19、（1），；（2）見解析；（3）【解析】（1）由在R上單減，列出方程組，即可求的值；（2）由函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增可知即，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷（3）易知在[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增．設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組有解，方程至少有兩個不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個都不小于k的不根．結(jié)合二次方程的實根分布可求k的范圍【詳解】解：（1）∵在R上單減，所以區(qū)間[a，b]滿足，解得a=﹣1，b=1（2）∵函數(shù)y=2x+lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增假設(shè)存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，a＜b，則，即∴l(xiāng)gx=﹣x在（0，+∞）有兩個不同的實數(shù)根，但是結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lgx與y=﹣x只有一個交點故不存在滿足條件的區(qū)間[a，b]，函數(shù)y=2x+lgx是不是閉函數(shù)（3）易知在[﹣2，+∞）上單調(diào)遞增設(shè)滿足條件B的區(qū)間為[a，b]，則方程組有解，方程至少有兩個不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有兩個都不小于k的不根∴得，即所求【點睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)與方程的交點相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，合理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了函數(shù)知識及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，試題有較強(qiáng)的綜合性，屬于難題.20、（1）；（2）0.【解析】進(jìn)行分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的運算即可；進(jìn)行對數(shù)的運算即可【詳解】原式；原式【點睛】本題考查分?jǐn)?shù)指數(shù)冪、根式和