2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)考高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2023-2024學(xué)年河南省名校聯(lián)考高一上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．如果直線和同時平行于直線x-2y+3=0，則a,b的值為A.a= B.a=C.a= D.a=2．在區(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)在上的最大值是3的概率為（）A. B.C. D.3．冰糖葫蘆是中國傳統(tǒng)小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫蘆如圖1所示，若將山楂看成是大小相同的圓，竹簽看成一條線段，如圖2所示，且山楂的半徑（圖2中圓的半徑）為2，竹簽所在的直線方程為，則與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為（）A. B.C. D.4．若||=1，||=2，||=，則與的夾角的余弦值為（）A. B.C. D.5．函數(shù)y=1g（1-x）+的定義域是（）A. B.C. D.6．已知集合，，則（）A. B.C. D.7．已知集合，則（）A. B.或C. D.或8．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）A.（0，1） B.（1，2）C.（2，3） D.（3，+∞）9．函數(shù)f(x)＝ln(2x)－1的零點(diǎn)位于區(qū)間()A.(2,3) B.(3,4)C.(0,1) D.(1,2)10．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.11．下列各組函數(shù)與的圖象相同的是（）A. B.C. D.12．已知向量且，則x值為（）.A.6 B.-6C.7 D.-7二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．兩圓x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置關(guān)系是___________________.14．已知扇形弧長為20cm，圓心角為，則該扇形的面積為___________.15．一條從西向東的小河的河寬為3.5海里，水的流速為3海里/小時，如果輪船希望用10分鐘的時間從河的南岸垂直到達(dá)北岸，輪船的速度應(yīng)為______；16．已知半徑為3的扇形面積為，則這個扇形的圓心角為________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)為的零點(diǎn)，為圖象的對稱軸（1）若在內(nèi)有且僅有6個零點(diǎn)，求；（2）若在上單調(diào)，求的最大值18．已知，若在上的最大值為，最小值為，令.（1）求的函數(shù)表達(dá)式；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值.19．（1）計(jì)算：（2）已知，求的值20．已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)，，若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．給出以下四個式子：①；②；③；④.（1）已知所給各式都等于同一個常數(shù)，試從上述四個式子中任選一個，求出這個常數(shù)；（2）分析以上各式的共同特點(diǎn)，寫出能反應(yīng)一般規(guī)律的等式，并對等式正確性作出證明.22．已知方程（1）若方程表示一條直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程表示的直線的斜率不存在，求實(shí)數(shù)的值，并求出此時的直線方程；（3）若方程表示的直線在軸上的截距為，求實(shí)數(shù)的值；（4）若方程表示的直線的傾斜角是45°，求實(shí)數(shù)的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、A【解析】由兩直線平行時滿足的條件，列出關(guān)于方程，求出方程的解即可得到的值.【詳解】直線和同時平行于直線，，解得，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩條直線平行的充要條件，意在考查對基礎(chǔ)知識的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】設(shè)函數(shù)，求出時的取值范圍，再根據(jù)討論的取值范圍，判斷是否能取得最大值,從而求出對應(yīng)的概率值【詳解】在區(qū)間上任取一個數(shù)，基本事件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是，由，得，∴，∴的最大值是或，即最大值是或；令，得，解得；又，∴；∴當(dāng)時，，∴在上的最大值是，滿足題意；當(dāng)時，，∴函數(shù)在上的最大值是，由，得，的最大值不是；3、D【解析】利用平行線間距離公式即得.【詳解】由題可設(shè)與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為，則，∴，∴與該串冰糖葫蘆的山楂都相切的直線方程為.故選：D.4、B【解析】由題意把||兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的定義可得【詳解】||＝1，||＝2，與的夾角θ，∴||27，∴12+2×1×2×cosθ+22＝7，解得cosθ故選：B5、B【解析】可看出，要使得原函數(shù)有意義，則需滿足解出x的范圍即可【詳解】要使原函數(shù)有意義，則：解得-1≤x＜1；∴原函數(shù)的定義域是[-1，1）故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的概念及求法，考查對數(shù)函數(shù)的定義域和一元二次不等式的解法．意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6、B【解析】化簡集合A，由交集定義直接計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】化簡可得，又所以.故選：B.7、C【解析】直接利用補(bǔ)集和交集的定義求解即可.【詳解】由集合，可得：或，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本該考查了集合的運(yùn)算，解決該題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)集和交集的定義..8、B【解析】計(jì)算出,并判斷符號,由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)?,所以根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了利用零點(diǎn)存在性定理判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間,解題方法是計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值并判斷符號,如果異號,說明區(qū)間內(nèi)由零點(diǎn),屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，再利用零點(diǎn)的存在性定理，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)，可得函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)又由f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln4－1＞0，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理可得，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間(1,2)上故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，其中解答中合理使用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理是解答此類問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】由二倍角公式化簡，設(shè)，利用復(fù)合函數(shù)求值域.【詳解】函數(shù)，設(shè)，，則，由二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)可知，所以的值域?yàn)?，故選：C.11、B【解析】根據(jù)相等函數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】若函數(shù)與的圖象相同則與表示同一個函數(shù)，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，故B正確；C：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，故排除C；D：與的解析式不相同，故排除D.故選：B12、B【解析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示可以求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量垂直的坐標(biāo)表示，熟記公式是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、外切【解析】先把兩個圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程，分別得到圓心坐標(biāo)和半徑，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩個圓心之間的距離與半徑比較大小來判別得到這兩個圓的位置關(guān)系【詳解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圓心O（-3，2），半徑為r=2；由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圓心P（3，-6），半徑為R=8則兩個圓心的距離，所以兩圓的位置關(guān)系是：外切即答案為外切【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生會利用兩點(diǎn)間的距離公式求兩點(diǎn)的距離，會根據(jù)兩個圓心之間的距離與半徑相加相減的大小比較得到圓與圓的位置關(guān)系14、【解析】求出扇形的半徑后，利用扇形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由已知得弧長，，所以該扇形半徑，所以該扇形的面積.故答案為：15、15海里/小時【解析】先求出船的實(shí)際速度，再利用勾股定理得到輪船的速度.【詳解】設(shè)船的實(shí)際速度為，船速，水的流速，則海里/小時，∴海里/小時.故答案為：15海里/小時16、【解析】由扇形的面積公式直接求解.【詳解】由扇形面積公式，可得圓心角，故答案為：.【點(diǎn)睛】(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷(2)求扇形面積的最值應(yīng)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)的零點(diǎn)和對稱中心確定出的取值情況，再根據(jù)在上的零點(diǎn)個數(shù)確定出，由此確定出的取值，結(jié)合求解出的取值，再根據(jù)以及的范圍確定出的取值，由此求解出的解析式；（2）先根據(jù)在上單調(diào)確定出的范圍，由此確定出的可取值，再對從大到小進(jìn)行分析，由此確定出的最大值.【詳解】（1）因?yàn)槭堑牧泓c(diǎn)，為圖象的對稱軸，所以，所以，因?yàn)樵趦?nèi)有且僅有個零點(diǎn)，分析正弦函數(shù)函數(shù)圖象可知：個零點(diǎn)對應(yīng)的最短區(qū)間長度為，最長的區(qū)間長度小于，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，代入，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，所以，又由（1）可知，所以，所以，當(dāng)時，，所以，所以，所以此時，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵跁r顯然不單調(diào)所以在上不單調(diào)，不符合；當(dāng)時，，所以，所以，所以此時，因?yàn)椋?，又因?yàn)樵跁r顯然單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，符合；綜上可知，的最大值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解動態(tài)的三角函數(shù)涉及的取值范圍問題的常見突破點(diǎn)：（1）結(jié)論突破：任意對稱軸（對稱中心）之間的距離為，任意對稱軸與對稱中心之間的距離為；（2）運(yùn)算突破：已知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則有且；已知在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則有且.18、(1)；(2)答案見解析.【解析】解：(1)函數(shù)的對稱軸為直線,而∴在上最小值為，①當(dāng)時，即時，②當(dāng)2時，即時，，(2)請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可得解；（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，再化弦為切即可得解.【詳解】解：（1）原式；（2）原式.20、(1)(2)【解析】(1)由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到關(guān)于a的表達(dá)式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍即可；(2)利用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，然后求解實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】（1）由題設(shè)，若在上是減函數(shù)，則任取，，且，都有，即成立.∵.又在上是增函數(shù)，且，∴由，得，即，且.∴只須，解.由，，且，知，∴，即，∴.所以在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由題知方程有且只有一個實(shí)數(shù)根，令，則關(guān)于的方程有且只有一個正根.若，則，不符合題意，舍去；若，則方程兩根異號或有兩個相等的正根.方程兩根異號等價于解得；方程有兩個相等的正根等價于解得；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，二次方程根的分布等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.21、（1）；（2）見解析【解析】分析：(1)利用第二個式子，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，以及正弦的倍角公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，求得結(jié)果；(2)根據(jù)題中所給的角之間的關(guān)系，歸納推理得到結(jié)果，證明過程應(yīng)用相關(guān)公式證明即可.詳解：（1）.（2）.證明如下：.點(diǎn)睛：該題考查是有關(guān)三角公式的問題，涉及到的知識點(diǎn)有同角三角函數(shù)的關(guān)系式，正弦的倍角公式，余弦的差角公式等，正確使用公式是解題的關(guān)鍵.22、（1）；（2）；；（3）；（4）.【解析】（1）先令，的系數(shù)同時為零時得到，即得時方程表示一條直線；（2）由（1）知時的系數(shù)為零，方程表示的直線的斜率不存在，即得結(jié)果；（3）由（1）知的系數(shù)同為零時，直線在軸上的截距存在，解得截距構(gòu)建關(guān)系，即解得參數(shù)m；（4）由