2023屆福建省福州市閩侯縣高考數(shù)學四模試卷含解析

2023年高考數(shù)學模擬試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.把函數(shù),f（x）=sin?x的圖象向右平移專個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象.給出下列四個命題

①g（x）的值域為（。川

TT

②g（x）的一個對稱軸是X=—

③g（x）的一個對稱中心是

④g（x）存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

22L

2.雙曲線二-當=1（。＞0力＞0）的左右焦點為￡,居，一條漸近線方程為/：＞=—X%，過點￡且與/垂直的直線分

ab-a

別交雙曲線的左支及右支于P,Q,滿足OP=g。4+goQ,則該雙曲線的離心率為（）

A.MB.3C.V5D.2

3.一個正三角形的三個頂點都在雙曲線V+ay2=i的右支上，且其中一個頂點在雙曲線的右頂點，則實數(shù)。的取值

范圍是（）

A.（3,+oo）B.（G,+oo）C.卜8,-石）D.（-oo,-3）

4.在直三棱柱ABC—A與C中，己知AB=BC=2,CC}=272,則異面直線AG與4g所成的角

為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

22

5.已知雙曲線。：§-3=1（。＞02＞0）的左、右頂點分別為4、4,點P是雙曲線。上與4、4不重合的動點,

若kpA、kp%=3,則雙曲線的離心率為（）

A.72B.V3C.4D.2

6.已知點（叫8）在幕函數(shù)/（x）=（，"-l）x"的圖象上，設。=/（：）,b=/（ln乃）,c=/（〃），貝（J（）

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<h

7.在AA8C中，”是BC的中點，AM=\,點P在AM上且滿足AP=2/W，則+PC）等于（）

4444

A.-B.——C.-D.一一

9933

8.如圖，正四面體P-ABC的體積為V,底面積為S,。是高P”的中點，過。的平面a與棱24、PB、PC分

別交于。、E、F,設三棱錐P—DEE的體積為％，截面三角形。EE的面積為S。，則（）

A.V<8V；）,SK4soB.SN4so

C.VN8%,S<4S0D.V>8^,SN4so

f（x）ex,設”fQn丘）,b=f@）,c=fQn號），

9.已知定義在R上的偶函數(shù)/（x）,當x20時,

則（）

A.b>a>cB.b>a=cC.a=c>bD.0a>h

10.在一ABC中，。為8C邊上的中點，S.\AB\=1,AC\=2,ABAC=120°,貝（l|AQ|二（）

3用

A.C.一

24.~T

11.設過拋物線9=2座（〃>0）上任意一點巴異于原點。）的直線與拋物線尸=8〃*（〃>0）交于48兩點，直線

s

OP與拋物線丁=8〃4。>0）的另一個交點為。，貝!（）

，ABO

A.1B.2C.3D.4

12.下列四個結論中正確的個數(shù)是

(1)對于命題〃：*.€/?使得片-140,則都有爐_]>0；

(2)已知XNQ,6),則P(X>2)=0.5

(3)已知回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),則回歸直線方程為9=2x-3：

(4)“％21”是“x+工22”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為.

14.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且滿足4+34+-+3"-”,=〃，貝!|$4=

15.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,無，8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為.

16.如圖，在長方體A6CO-44G2中，AD=DR=1,AB=6E,F,G分別為A6,BC，G。的中點，點尸在

平面A5CZ)內，若直線RP//平面EFG,則線段長度的最小值是.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)某工廠A,8兩條相互獨立的生產線生產同款產品，在產量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知A,B生產

線生產的產品為合格品的概率分別為P和2P-l(O.5<p<l).

■A生產線OB生產線

70

一三三產品等也

（1）從A,3生產線上各抽檢一件產品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%,求。的最小值小.

（2）假設不合格的產品均可進行返工修復為合格品，以（1）中確定的自作為"的值.

①已知A,3生產線的不合格產品返工后每件產品可分別挽回損失5元和3元.若從兩條生產線上各隨機抽檢1000件

產品，以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產線挽回的損失較多？

②若最終的合格品（包括返工修復后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利1（）元、8元、6元，現(xiàn)從A，

3生產線的最終合格品中各隨機抽取10（）件進行檢測，結果統(tǒng)計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠

生產一件產品的利潤為X,求X的分布列并估算該廠產量2000件時利潤的期望值.

18.（12分）以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，判斷

x=1+c

直線/：《c。為參數(shù)）與圓C：22+2Qcose—2「sin6=0的位置關系.

y=\-2t

19.（12分）在創(chuàng)建“全國文明衛(wèi)生城”過程中，運城市“創(chuàng)城辦”為了調查市民對創(chuàng)城工作的了解情況，進行了一次創(chuàng)

城知識問卷調查（一位市民只能參加一次），通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的100人的得分統(tǒng)計結果如表所示：.

組別[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

頻數(shù)212202524134

（1）由頻數(shù)分布表可以大致認為，此次問卷調查的得分Z-N（M，198）,〃似為這100人得分的平均值（同一組中的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表），利用該正態(tài)分布，求產（38.2<ZW80.2）；

（2）在（1）的條件下，“創(chuàng)城辦”為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案:

①得分不低于〃的可以獲贈2次隨機話費，得分低于〃的可以獲贈1次隨機話費;

②每次獲贈的隨機話費和對應的概率為：

贈送話費的金額(單位：元)2050

3

概率

44

現(xiàn)有市民甲參加此次問卷調查，記X(單位：元)為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求X的分布列與數(shù)學期望.

附：參考數(shù)據(jù)與公式：V198?14,若X—則P(4-b<x<4+b)=0.6826,

P(4—2b<XW〃+2cr)=0.9544,—3cr<XW〃+3CT)=0.9974

20.(12分)已知函數(shù)/(x)=e*+or,g(x)=e"nx.

(1)若對于任意實數(shù)x2(),/(x)>0恒成立，求實數(shù)。的范圍；

(2)當。=一1時，是否存在實數(shù)/e[l,e],使曲線C：y=g(x)—/(x)在點/處的切線與>軸垂直？若存在，求

出毛的值；若不存在，說明理由.

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=(x-l)2+ox-alnx

(I)若a2—2討論f(x)的單調性；

(II)若a>(),且對于函數(shù)f(x)的圖象上兩點4(%,/(xJ),鳥(±/(々))(玉<々)，存在不武石,々)，使得函數(shù)

/(x)的圖象在x=/處的切線///《鳥.求證：

22.(10分)如圖，平面四邊形A3C。中，BC//AD,ZADC=90s,ZABC=120°,E是上的一點，

4?=3C=2DE,尸是EC的中點，以EC為折痕把△￡￡>€1折起，使點。到達點P的位置，且PC上BF.

(1)證明：平面PEC_L平面ABCE；

(2)求直線PC與平面Q46所成角的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.C

【解析】

由圖象變換的原則可得g(x)=-gcos(2x—,由cos12x—e[―1,1]可求得值域；利用代入檢驗法判斷②③;

對g(x)求導，并得到導函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

1-cos2x

由題J(x)=sin2x=

2

則向右平移三個單位可得，/、

12g(x)

,「cos(2x-今Je[―1,1],g(x)的值域為[0,1]，①錯誤；

TTTTTT

當x=二時,2x-丁=0,所以x=二是函數(shù)g(x)的一條對稱軸，②正確;

12612

當x=f時,2元—J=g，所以g(x)的一個對稱中心是If,g],③正確；

362132/

g'(x)=sin2x—￡e[-1,1]，則3^,x2e/?,g'(玉)=-1,g'(x,)=1，使得g'(%)?g'(%2)=-1，則g。)在x=內和

I6；

x=A-2處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個.

故選:C

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗法判斷余弦型函數(shù)的對稱軸和對稱中心，考查導函數(shù)的幾何意義的應用.

2.A

【解析】

2ab3a2b4

設尸（3,芳）,。（W,%），直線PQ的方程為x=—C,聯(lián)立方程得到乂+必

,2_/卜，X為(b2-a2^c2'

根據(jù)向量關系化簡到尸=9a2,得到離心率.

【詳解】

設P（X，y）,Q（W，%），直線PQ的方程為x=2y-c.

a

b

x=-y-c,

a24

聯(lián)立2,整理得伊-叫藤-2ab3cy+ab=0,

￥?

篇―京1,

2ab3a2b4

,2?

因為OP=goK+g。。，所以P為線段。耳的中點，所以為=2x，

26222

4ab(b-a)c4Z?2

,整理得〃=。

y?必一2一92_/)2,2a2。4_伍2_*92,

故該雙曲線的離心率e=

本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.

3.D

【解析】

因為雙曲線分左右支，所以4<0,根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為（1+f,4力。>0）,

將其代入雙曲線可解得.

【詳解】

因為雙曲線分左右支，所以4<0,

根據(jù)雙曲線和正三角形的對稱性可知：第一象限的頂點坐標為"+，，與…）,將其代入雙曲線方程得:

(l+o2+

即>由/得。<—

—1a+1?>03.

3

故選：D.

【點睛】

本題考查了雙曲線的性質，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

4.C

【解析】

由條件可看出AB4與，則NBAG為異面直線AG與所成的角，可證得三角形BAQ中，AB1BC,,解得

tanZBAC,,從而得出異面直線AC,與4片所成的角.

【詳解】

連接AG，Bq,如圖：

又AB則N3AG為異面直線AG與4片所成的角.

因為，BC,且三棱柱為直三棱柱，???AB1C&,1.面BCC—

:.AB1BC],

26，

tanZBAC,=6,解得ZBAC,=60°.

故選C

【點睛】

考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題.

5.D

【解析】

22

設4(—。,0),4(。,。)，根據(jù)射1MM,=3可得y：=3片一3〃①，再根據(jù)又其一與=1②，由①②可

ab-

得僅2一3a2卜；=〃(3a2),化簡可得c=2a,即可求出離心率.

【詳解】

解：設。(%,%)，4(一“，°)，4(。,0)，

kpqkpA]=3,

%%=3即y：=3XQ-3a2,①

/+axQ-a

22

又存一斗=1,②，

a2b2

由①@可得（。2-3a2）片=a1[b1-36z2）,

?:x0^±a,

???/一3。2=0,

Z?2=3a2=c2—a2

??c—2at

即e=2,

故選：D.

【點睛】

本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題.

6.B

【解析】

先利用塞函數(shù)的定義求出機的值，得到惠函數(shù)解析式為/(*)=好，在R上單調遞增，再利用幕函數(shù)/(x)的單調性,

即可得到。，兒C的大小關系.

【詳解】

由易函數(shù)的定義可知，機-1=1,，/n=2,

?,?點(2,8)在塞函數(shù)/(x)=爐上,

,2"=8,An=3,

，塞函數(shù)解析式為/(x)=爐，在R上單調遞增，

m2?

.#—=—,l<lnn<3,〃=3,

n3

m

n

：.a<b〈c,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了幕函數(shù)的性質，以及利用函數(shù)的單調性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.

7.B

【解析】

由M是5c的中點，知AM是5c邊上的中線，又由點尸在AM上且滿足AP=2PM可得：尸是三角形A3C的重心,

根據(jù)重心的性質，即可求解.

【詳解】

解：是BC的中點，知AM是8c邊上的中線，

又由點尸在AM上且滿足AP=2PM

??.尸是三角形A5c的重心

二PA-(PB+PC^

^PAAP=-\PA\i

又

APA^PB+PC)---

故選總

【點睛】

判斷尸點是否是三角形的重心有如下幾種辦法：①定義：三條中線的交點.②性質：PA+P6+PC=0或

AP2+BP+CP取得最小值③坐標法：尸點坐標是三個頂點坐標的平均數(shù)?

8.A

【解析】

設AB=2,取EF與重合時的情況，計算出S。以及匕的值，利用排除法可得出正確選項.

【詳解】

如圖所示，利用排除法，取EE與8c重合時的情況.

不妨設AB=2,延長到N,使得PN//AM.

PD1

PO=OH,:.PN=MH,AH=2MH,，AM=3M”=3PN,則一=—,

AD3

由余弦定理得BO?=AB2+AO2-2AB.AOcos工=22+(。］-2x2x-xl=—,

3\2)224

DM=,S=-x2x-=-,

20°222

又S=乎x2?=5，隼=*=26>1，

、

當平面DEF〃平面ABC時，S=4S0,.??S44S(),排除BD選項;

EALPD1”1...8匕

因為----==—V,此時，=2>1,

AD304V

當平面。砂〃平面ABC時，8%=V,.?.8%NV,排除C選項.

故選：A.

【點睛】

本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法，考查了空間想象能力、

推理能力與計算能力，屬于難題.

9.B

【解析】

r2+2x

根據(jù)偶函數(shù)性質，可判斷出c關系；由X?()時，/(x)=e'-土黃，求得導函數(shù)，并構造函數(shù)g(x)=e'-x-l,

由g'(x)進而判斷函數(shù)/(%)在xN0時的單調性，即可比較大小.

【詳解】

/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

所以c=/In與=于-ln^-^/(lnV2)

所以a=c；

f+2x

當x?0時，/(x)=e'-'5竺，

貝!|尸(幻=6—_],

令g(x)=e*—X—]

貝！|g'(x)=e*—l,當時，g'(x)=e*—120,

則g(x)=e*-x-l在x20時單調遞增，

因為g(O)=e°—0—1=0,所以g(x)=e、—x—120,

即r(x)="-x—120,

Y-4-2x

則/Xx)=d'p在x20時單調遞增，

而0<lnJ5<夜，所以

/(lnV2)</(V2),

綜上可知，/fln^=/(lnV2)</(V2)

即a=c<。，

故選：B.

【點睛】

本題考查了偶函數(shù)的性質應用，由導函數(shù)性質判斷函數(shù)單調性的應用，根據(jù)單調性比較大小，屬于中檔題.

10.A

【解析】

由。為邊上的中點，表示出AO=g(A8+ACj,然后用向量模的計算公式求模.

【詳解】

解：。為8C邊上的中點，

AO=；(AB+AC)

—____,\2

|A*；(AB+ACAB+AC]

4

=^^AB2+AC2+2AB-AC

=A/1

故選：A

【點睛】

在三角形中，考查中點向量公式和向量模的求法，是基礎題.

11.C

【解析】

畫出圖形，將三角形面積比轉為線段長度比，進而轉為坐標的表達式。寫出直線方程，再聯(lián)立方程組，求得交點坐標,

最后代入坐標，求得三角形面積比.

【詳解】

作圖，設AB與。尸的夾角為。，則4AB。中AB邊上的高與A3O中AB邊上的高之比為華”=學，

OPsin0OP

.??［^?=登=①二"=①一1,設p［會,x］，則直線即>="》，與y2=8px聯(lián)立，解得

SABOOPypyp12P)加乂

4y.

y°=4y,從而得到面積比為上一1=3

X

【點睛】

解決本題主要在于將面積比轉化為線段長的比例關系，進而聯(lián)立方程組求解，是一道不錯的綜合題.

12.C

【解析】

由題意，(1)中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，即可判定是正確的；(2)中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質，即可

判定是正確的；(3)中，由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，即可判定是正確；(4)中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，(1)中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關系，可知命題”與小€/?使得考則都有

x2-l>0,是錯誤的;

(2)中，已知X?NR,。?)，正態(tài)分布曲線的性質，可知其對稱軸的方程為x=2,所以P(X>2)=0.5是正確的;

(3)中，回歸直線的斜率的估計值是2,樣本點的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質和直線的點斜式方程，可得

回歸直線方程為y=2x-3是正確；

(4)中，當工?1時，可得乂+工22/十工=2成立,當x+422時，只需滿足尤>0,所以是“x+，N2”

X\XXX

成立的充分不必要條件.

【點睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質、回歸直線方程的性

質，以及基本不等式的應用等知識點的應用，逐項判定是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.現(xiàn)

4

【解析】

一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均

等于長方體的體對角線的長，長方體的體對角線的長為Vl2+22+22=3，所以容器體積的最小值為兀x(|)2x3=等.

40

14.—

27

【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得明的表達式，判斷出數(shù)列｛a,,｝是等比數(shù)列，由此求得S&的值.

【詳解】

1

解：q+3a2++3"an=n,可得〃=1時，q=1,

〃22時，q+3a,+...+3"~=〃—1,又％+3a,+…+3"?a”=〃，

1

兩式相減可得3"4=1,即%I,上式對〃=1也成立，可得數(shù)列｛?！埃鞘醉棡?,公比為3的等比數(shù)列，可

13

1__L

得S--31-40

1-----

3

【點睛】

本小題主要考查已知S“求4,考查等比數(shù)列前〃項和公式，屬于中檔題.

15.1

【解析】

7+9+X+8+10

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得=9,解得x的值，進而由方差公式計算，可得答案.

5

【詳解】

根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7,9,x,8,10的平均數(shù)為9,

7+9+X+8+10

則=9,解得:x=ll,

5

則其方差S2=-[(7-9)2+(9—9)2+(11—9)2+(8—9)2+(10—9)2]=2.

故答案為：L

【點睛】

本題考平均數(shù)、方差的計算，考查運算求解能力，求解時注意求出x的值，屬于基礎題.

【解析】

如圖，連接RAACRC，證明平面AC，//平面EkG.因為直線。平面EFG,所以點P在直線AC上.當

D.PLAC時.線段2P的長度最小，再求此時的2p得解.

【詳解】

如圖，連接AA,AC,￡>C，

因為E,F,G分別為AB,BC,G2的中點，

所以AC//EF,七五.平面

則E五//平面.因為EG//，

所以同理得EG//平面AC。i又EFEG=E.

所以平面ACD、I/平面EFG.

因為直線。P”平面E尸G,所以點尸在直線AC上.

在△ACR中，AD.=41,AC=2,CD.=2,S=-xy/2xj22-

1I-Aac2

也

故當AP_LAC時.線段D,P的長度最小，最小值為=立.

1x22

2

故答案為：叵

2

【點睛】

本題主要考查空間位置關系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)p0=0.95(2)①B生產線上挽回的損失較多.②見解析

【解析】

(1)由題意得到關于P的不等式，求解不等式得到P的取值范圍即可確定其最小值；

(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學期望的性質給出結論即可；

②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤的期望值.

【詳解】

(1)設從A,3生產線上各抽檢一件產品，至少有一件合格為事件C,設從A,8生產線上抽到合格品分別為事件

N,則N互為獨立事件

由已知有p(M)=p,p(N)=2p-l(0.5Wp<l)

貝Up(C)=l-p(C)=l-p(MN)=l-p(M)p(N)=1-(1—“)(2—2”)20.995

解得，20.95,貝ij。的最小值p°=0.95

(2)由(1)知A,8生產線的合格率分別為0.95和0.9,即不合格率分別為0.05和0.1.

①設從A,8生產線上各抽檢1000件產品，抽到不合格產品件數(shù)分別為X1,X”

則有％~3(10(X),0.05),X2~3(10(X),().l),所以A，B生產線上挽回損失的平均數(shù)分別為:

E(5X,)=5￡X,=5x1000x0.05=250,E(3X2)=3￡X2=3x1000x0.1=300

所以B生產線上挽回的損失較多.

②由已知得X的可能取值為1(),8,6,用樣本估計總體，則有

20+351160+40120+459

p(X=10)p(X=8)=p(X=6)=

20040200-520040

所以X的分布列為

X1()86

119

P

40240

1119

所以EX=10x—+8x-+6x—=8.1(元)

40240

故估算估算該廠產量2000件時利潤的期望值為2000x8.1=16200（元）

【點睛】

本題主要考查概率公式的應用，二項分布的性質與方差的求解，離散型隨機變量及其分布列的求解等知識，意在考查

學生的轉化能力和計算求解能力.

18.直線/與圓C相切.

【解析】

首先把直線和圓轉換為直角坐標方程，進一步利用點到直線的距離的應用求出直線和圓的位置關系.

【詳解】

x=1+2/

直線?為參數(shù)），轉換為直角坐標方程為x+y-2=0.

y=\-2t

圓C:+22cos。-2。sin。=0轉換為直角坐標方程為x2+y2+2x-2y=0,轉換為標準形式為

(x+l)2+(y-l)2=2,

,1-1+1-21/-

所以圓心（-1,1）到直線x+y-2=0的距離d=----j=---=V2=r.

直線/與圓C相切.

【點睛】

本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，直線與圓的位置關系式的應用，點到直線的

距離公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

19.（1）0.8185（2）詳見解析

【解析】

（1）由題意，根據(jù)平均數(shù)公式求得〃=66.2,再根據(jù)°=麻。14,參照數(shù)據(jù)求解.

（2）由題意得P（Z<〃）=P（ZN〃）=；,獲贈話費X的可能取值為20,40,50,70,100,求得相應的概率，列出分布

列求期望.

【詳解】

35x2+45x12+55x20+65x25+75x24+85x13+95x14“一

（1）由題意得------------------------------------------------------------------------------------------------=66.2

100

4=66.2

<T=7198a14

2(66.2-14<Z<66.2+14)=P(52.2<Z<80.2)=0.6826

P(66.2-2xl4<Z<52.2)=|[P(38.2<Z<94.2)-P(52.2<Z<80.2)]=0.1359

綜上，尸(38.2<Z<80.2)=尸(38.2<Z<52.2)+尸(52.2<Z<80.2)=0.1359+0.6826=0.8185

（2）由題意得P（Z＜〃）=P（Z?〃）=；，獲贈話費X的可能取值為20,40,50,70,100

i□a1aag

尸(X=20)=—x二=工=40)=-x-x-=—

'7248,724432

DVcn\111V1311133

P(/X=50)=-x—=—,P(X=70)=-x—x—I—x—x—=—

,7248'724424416

=100)=-xlxi=—

,724432

X的分布列為:

X20405070100

3931

P

83281632

,-.￡：X=20x-+40x—+50xl+70x—+100x—=—

832816324

【點睛】

本題主要考查正態(tài)分布和離散型隨機變量的分布列及期望，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.

20.（1）（-e,yo）；⑵不存在實數(shù)&使曲線），=M（x）在點x=x0處的切線與）'軸垂直.

【解析】

（1）分類x=0時，恒成立，XHO時，分離參數(shù)為。＞一交，引入新函數(shù)”（＞）=—《，利用導數(shù)求得函數(shù)最值即

XX

可;

(2)M(x)=f(x)-g(x)=exInx-e'+x,導出導函數(shù)M'(x),問題轉化為M'(x)=O在［l,e］上有解.再用導數(shù)研

究M(x)的性質可得.

【詳解】

解：(1)因為當x20時，/(x)=e*+ar>0恒成立，

所以，若x=0,。為任意實數(shù)，/(6="+依>0恒成立.

若x>0,/(xbe'+ca>。恒成立，

即當x>0時，a>-—,

X

設H(X)=---,H(x)=------——=---Y—,

XXX

當xe(O,l)時，"'(x)>0,則”(x)在(0,1)上單調遞增，

當xe(l,+8)時，”'(x)<0,則”(x)在(1,內)上單調遞減，

所以當x=l時，"(X)取得最大值.

所以，要使*0時，/(x)>0恒成立，。的取值范圍為(—4+8).

(2)由題意，曲線C為：y=ex\nx-ex+x.

令A/(x)=e*Inx—e*+x,

所以A/'(x)-—+exlnx-ev+1=+lnx-l+1,

設〃(x)='+lnx-l,貝！|"(x)=--y+—=^^->

XXXX

當xe［l,e］時，/?'(%)>0,

故〃(x)在［\,e］上為增函數(shù)，因此〃(x)在區(qū)間［l,e］上的最小值〃⑴=in1=0,

所以=—+lnx-l>0,

當Xoe[l,e]時，e*>0,—+lnx0-l>0,

xo

1

所以M'(%)=—+lnx0-le%+l〉O,

I*。y

曲線y=e，Inx-e'+x在點x=/處的切線與)，軸垂直等價于方程"'(%)=0在xe[1,e]上有實數(shù)解.

而AT(不)>0,即方程"(而)=0無實數(shù)解.

故不存在實數(shù)占e[1,e],使曲線y=M(x)在點x=/處的切線與>軸垂直.

【點睛】

本題考查不等式恒成立，考查用導數(shù)的幾何意義，由導數(shù)幾何把問題進行轉化是解題關鍵.本題屬于困難題.

21.⑴見解析⑵見證明

【解析】

(1)對函數(shù)/(X)求導，分別討論-2<。<0以及。=一2,即可得出結果；

aln三

⑵根據(jù)題意，由導數(shù)幾何意義得到了,?)_?一一〃人)一〃內)_(/t2)?/n%,將證明/<朕&

X]+X2

轉化為證明In衛(wèi)>坐/即可，再令設g")=im-坐J。>1),用導數(shù)方法判斷出g(。的單調

性，進而可得出結論成立.

【詳解】

(1)解：易得，函數(shù)“X)的定義域為(0,+8),

r(xU)+a，=(l)(2x+a),

XX

令r(x)=o,得x=i或x=q.

①當a?0時，0<%<1時,/'(x)<(),函數(shù).f(x)單調遞減；

x>i時，r(x)>o,函數(shù)/(X)單調遞增.

此時，/(力的減區(qū)間為(0,1),增區(qū)間為(1,+8).

②當一2<。<0時，一時，f'(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減；

0<x<—搭或%>1時，_f(x)>0,函數(shù)/(x)單調遞增.

此時，/(x)的減區(qū)間為增區(qū)間為(0,高，(1,+co).

③當。=一2時，x>0時，〃x）=2（x-l）>0，函數(shù)/（x）單調遞增；

X

此時，/（力的減區(qū)間為（0,+8）.

綜上，當時，“X）的減區(qū)間為（0,1）,增區(qū)間為（1,+8）:

當—2<a<0時，/（X）的減區(qū)間為（―￡,1],增區(qū)間為1o,-|[.（L+co）；

當a=—2時，“X）增區(qū)間為（0,+8）.

(2)證明：由題意及導數(shù)的幾何意義，得/'(/):不，=""2)―/(內)

x2—玉

2-

(x2—l)+ax2-?lnx2-(%j—l)*-\-axx-alnx1

X2—Xy

alnE

=(%+%2—2)+a+

x2+x2

由（1）中/'（X）得/

I，）I*^2

易知，導函數(shù)/'（x）=2（x-l）+a-g（a>0）在（0,+8）上為增函數(shù),

所以，要證與〈工產，只要證了'（/）<r（血產），

alnZ2a,即證In迄〉2（3一內）

即_

X]X]+x2

X2—XyXy+X2

因為々>玉>0,不妨令則g(f)=inf—*^9(r>l).

14(r-1)2

所以g'")=;_;_-r=-：--v>0(，>1)，

t(r+l)r(r+l)

所以g⑺在/e(1,+8)上為增函數(shù)，

所以g(f)>g(l)=O，即In"2,：；)〉0,

b,,