第22章 相似形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷（解析版）

第22章相似形全章復(fù)習(xí)攻略與檢測卷【目錄】倍速學(xué)習(xí)六種方法【5個(gè)專題】1.利用比例的性質(zhì)求值2.相似三角形的判定定理3.相似三角形的性質(zhì)4.相似三角形的應(yīng)用5.相似三角形中的輔助線【3種思想】1.方程思想2.分類討論思想3.數(shù)形結(jié)合思想【檢測卷】【倍速學(xué)習(xí)二種方法】【5個(gè)專題】1.利用比例的性質(zhì)求值1．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．【解答】解：（1）設(shè)，∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴＝5；（2）設(shè)＝k，則a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，解得k＝2，所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，所以a：b：c＝4：8：7．2．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知線段，，滿足，且．(1)求線段，，的長．(2)若線段是線段，的比例中項(xiàng)，求線段的長．【答案】(1)，，(2)線段【詳解】（1）設(shè)，則，，，，解得，，，；（2）線段是線段、的比例中項(xiàng)，，或舍去，線段．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谀┮阎猘，b，c為的三邊長，且，．(1)求線段a，b，c的長；(2)若線段x是線段a，b的比例中頂（即），求線段x的長．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意可設(shè)，則，∵，∴，解得：，∴；（2）∵，∴，整理，得：，解得：（舍去負(fù)值）．4．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長．【解答】解：（1）設(shè)＝k，∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a+b﹣2c＝6，∴6k+5k﹣8k＝6，∴k＝2，∴a＝6k＝12，∴a的值為12；（2）∵線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，a＝4cm，b＝9cm，∴c2＝ab＝36，解得：c＝±6，又∵線段長是正數(shù)，∴c＝6cm．5．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x．【解答】解：（1）設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴線段x＝2．2.相似三角形的判定定理6.（2022秋·安徽安慶·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知：如圖，在中，于D，E為直角邊的中點(diǎn)，過D，E作直線交的延長線于F．求證：．【分析】利用互余的性質(zhì)可得，再直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可證明．【詳解】證明，，，，即，又∵E為的中點(diǎn)，，，，又，，，．7．（2022秋·安徽馬鞍山·九年級馬鞍山八中?？计谥校┤鐖D，在中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且，．求證：【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由AB=AD推出根，由題意可知，進(jìn)而根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行證明即可．【詳解】∵AB＝AD∴∠B＝∠ADB∵∠DEC＝∠B∴∠ADB＝∠DEC∴∠AED＝∠ADC又∵∠DAE＝∠CAD∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形找到使的條件：∠AED＝∠ADC，∠DAE＝∠CAD．8．（2023春·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，是等邊三角形，D、E在BC所在的直線上，且．求證：．【分析】先由等邊三角形的性質(zhì)推出∠ABD=∠ECA，再由，得到，即可推出△ABD∽△ECA．【詳解】解；∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴180°-∠ABC=180°-∠ACB，∴∠ABD=∠ECA，又∵，∴，∴△ABD∽△ECA．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．9．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，將矩形紙片沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)A落在邊上，落點(diǎn)為F，折痕交邊于點(diǎn)E，(1)求證：；(2)若，求的長；【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，從而得到，再由根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而得到，即可求證；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，∴，∴，∴；（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定，矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽蕪湖·九年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，則相似嗎？說明理由．【分析】根據(jù)∠1=∠2證明∠BAC=∠DAE，根據(jù)∠1=∠3證明∠B=∠ADE，從而證明相似.【詳解】解：相似.理由如下：∵，，且∠1=∠3，∴，∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵.11．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形的邊上，并且使一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)．另一條直角邊與交于點(diǎn)．求證：．【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得到角的關(guān)系，從而根據(jù)判定兩三角形相似的方法證明△BPQ∽△CDP．【詳解】證明：四邊形是正方形，．，，，，．12．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在和中，，．求證：．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴．又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．（1）求證：；（2）請你再寫出兩對相似三角形．【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和證即可；（2）根據(jù)公共角相等，利用兩個(gè)角對應(yīng)相等，寫出相似三角形即可．【詳解】解：（1）證明：∵，，，∴，∵，∴；（2）∵，∠E=∠E，∴，同理，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，熟記相似三角形判定定理并能靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．14．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考三模）如圖所示，在的正方形方格中，和的頂點(diǎn)都在邊長為的小正方形的頂點(diǎn)上．(1)填空：______，______；(2)判斷與是否相似？并證明你的結(jié)論．【答案】(1)；(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合網(wǎng)格可以求出的度數(shù)，利用勾股定理即可求出線段的長；（2）根據(jù)相似三角形的判定定理，夾角相等，對應(yīng)邊成比例即可證明與相似．【詳解】（1）解：，；故答案為；；（2）解：．證明：在的正方形方格中，，，．，，，，．∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，得出兩個(gè)三角形角和角，邊和邊的關(guān)系．3.相似三角形的性質(zhì)15．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則與面積的比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】兩三角形相似，面積比等于相似比的平方；據(jù)此即可求解．【詳解】解：，，，，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（2022秋·安徽合肥·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別交，于點(diǎn)D，E，若，，則與的周長比為．

【答案】【分析】由平行線可得兩個(gè)三角形相似，再由其周長比等于其對應(yīng)邊的比，進(jìn)而即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，又相似三角形的周長比等于其對應(yīng)邊的比，∴與的周長比．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記相似三角形的周長之比等于相似比是解本題的關(guān)鍵．17.（2022秋?金寨縣校級月考）如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成長方形零件PQMN，使長方形PQMN的邊QM在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，求這個(gè)長方形零件PQMN面積S的最大值．【分析】設(shè)長方形零件PQMN的邊PN＝a，PQ＝x，則AE＝80﹣x，利用△APN∽△ABC得相似比，用相似比可得出用含x的式子表示a，故S＝x?a，從而得出二次函數(shù)解析式，根據(jù)解析式及自變量取值范圍求S的最大值．【解答】解：設(shè)長方形零件PQMN的邊PN＝a，PQ＝x，則AE＝80﹣x．∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．∴＝．因此，＝．解得a＝120﹣x．所以長方形PQMN的面積S＝xa＝x（120﹣x）＝﹣x2+120x．（3分）當(dāng)x＝﹣＝40時(shí)，a＝60．（4分）S最大值＝40×60＝2400（mm2）．所以這個(gè)長方形零件PQMN面積S的最大值是2400mm2．【點(diǎn)評】本題用二次函數(shù)的方法解決面積問題，是函數(shù)性質(zhì)的實(shí)際運(yùn)用，需要從計(jì)算矩形面積著手，求矩形的長、寬．18.（2022秋?大觀區(qū)校級月考）一塊三角形材料如圖所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12．用這塊材料剪出一個(gè)矩形CDEF，其中，點(diǎn)D、E、F分別在BC，AB，AC上．要使剪出的矩形CDEF的面積最大．點(diǎn)E應(yīng)選在何處？【分析】利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BC，進(jìn)而利用勾股定理表示出AC，由AC﹣AF表示出CF，根據(jù)CF與EF乘積列出二次函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)確定出面積的最大值，以及此時(shí)AE的值即可．【解答】解：∵四邊形CDEF是矩形，∴∠AFE＝90°，∵∠A＝30°，∴EF＝AE，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，∴BC＝AB＝6，根據(jù)勾股定理得：AC＝＝6，∴CF＝AC﹣AF＝6﹣AE，∴S矩形CDEF＝CF?EF＝AE（6﹣AE）＝﹣（AE﹣6）2+9，∴當(dāng)x＝6時(shí)，矩形CDEF的面積最大，即當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，矩形CDEF的面積最大．【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．4.相似三角形的應(yīng)用19．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，D，E分別是的邊，上的點(diǎn)，，若，求的值．【答案】【分析】得到，得到，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．20．（2023?蕪湖模擬）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且∠CAD＝∠B．（1）求證：；（2）若AC＝2，BC＝4，設(shè)△ADC面積為S1，△ABD面積為S2，求證：S2＝3S1．【分析】（1）由于∠CAD＝∠B，加上∠C為公共角，則可證明△CAD∽△CBA，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，即S△ABC＝4S1，則4S1＝S2+S1，從而得到S2＝3S1．【解答】證明：（1）∵∠DCA＝∠ACB，∠CAD＝∠B，∴△CAD∽△CBA，∴＝；（2）∵△CAD∽△CBA，∴＝（）2＝（）2＝，即S△ABC＝4S1，又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，∴4S1＝S2+S1，∴S2＝3S1．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)利用相似比進(jìn)行幾何計(jì)算．21.（2023?天長市校級二模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD上的點(diǎn)，連接EF，EF⊥FG且EF＝FG．?（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí)，求證：DG＝BE；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)，EG，F(xiàn)G分別交CD于點(diǎn)M，N，求證：MG2＝MN?MD．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，而∠EFG＝90°，則∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，即可證明△AEF≌△DFG，得AF＝DG，AE＝DF，則BE＝AF，所以DG＝BE；（2）作GH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，可證明△HFG≌△ABF，則HF＝AB＝AD，HG＝AF，可推導(dǎo)出HD＝AF，則HG＝HD，所以∠HDG＝∠HGD＝45°，則∠MGN＝∠MDG＝45°，而∠GMN＝∠DMG，即可證明△MGN∽△MDG，得＝，所以MG2＝MN?MD．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥FG，∴∠EFG＝90°，∴∠AEF＝∠DFG＝90°﹣∠AFE，在△AEF和△DFG中，，∴△AEF≌△DFG（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AB﹣AE＝AD﹣DF，∴BE＝AF，∴DG＝BE．（2）如圖2，作GH⊥AD交AD的延長線于點(diǎn)H，則∠H＝∠A＝90°，∵點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF⊥FG且EF＝FG，∴BF⊥FG，BF＝FG，∴∠BFG＝90°，∴∠HFG＝∠ABF＝90°﹣∠AFB，在△HFG和△ABF中，，∴△HFG≌△ABF（AAS），∴HF＝AB＝AD，HG＝AF，∴HF﹣DF＝AD﹣DF，∴HD＝AF，∴HG＝HD，∴∠HDG＝∠HGD＝45°，∵∠MDH＝90°，∴∠MDG＝45°，∵∠MGN＝∠GBF＝45°，∴∠MGN＝∠MDG，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴＝，∴MG2＝MN?MD．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，正確地作出所需要的輔助線是解直角的關(guān)鍵．22.（2023?瑤海區(qū)校級一模）將矩形ABCD沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為DE，其中AB＝2，AD＝3．（1）如圖（1），若點(diǎn)F恰好在邊BC上，連接AF，求證：△ABF∽△DAE；（2）如圖（2），若E是AB的中點(diǎn)，EF的延長線交BC于點(diǎn)G，求BG的長．【分析】（1）根據(jù)矩形，可得∠BAD＝∠B，根據(jù)折疊可知AF⊥DE，即∠FAD+∠ADE＝90°，由此即可求解；（2）根據(jù)題意可證，△EFM∽△FDN，再證△EMF∽△EBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°，由翻折可知，AF⊥DE，∴∠BAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠BAF，∴△ABF∽△DAE；（2）解：如圖2中，過點(diǎn)F作MN∥BC交AB于M，交CD于N，四邊形AMND是矩形，設(shè)EM＝x，∵∠A＝∠EFD＝90°，∠EMF＝∠DNF＝90°，∴∠EFM+∠DFN＝90°，∠DFN+∠FDN＝90°，∴△EFM∽△FDN，∴，∴FN＝3EM＝3x，F(xiàn)M＝3﹣3x，在Rt△EFD中，EF＝EA＝1，x2+（3﹣3x）2＝12，解得x1＝1（舍去），，∴，∵FM∥BC，∴△EMF∽△EBG，∴，即，∴．【點(diǎn)評】本題主要考查矩形，折疊，相似三角形的綜合，掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.（2022秋?滁州期末）如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD邊AD上一點(diǎn)，Q是邊BC延長線上一點(diǎn)，若AB＝12，PA＝5，PQ⊥BP．求CQ的長．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理求出BP的長度，再通過證明△PQB∽△ABP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，∠ABC＝∠PBA+∠QBP＝90°，∵AB＝12，PA＝5，∴，∵PQ⊥BP，∴∠BPQ＝90°，∴∠Q+∠QBP＝90°，∴∠Q＝∠PBA，∵∠QPB＝∠A，∴△PQB∽△ABP，∴，即，∴，∴．【點(diǎn)評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并能夠綜合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．24.（2022秋?宣城期末）如圖，△ABC中，分別在邊AB、AC上取點(diǎn)D、E，使，再取BC的中點(diǎn)M，連接AM交DE于點(diǎn)N．（1）求證：DE∥BC；（2）判斷線段DN與NE的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)兩邊成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似得△ADE～△ABC，即而得∠ADE＝∠B，從而可得結(jié)論；（2）由△ADN∽△ABM和△ANE∽△AMC得，再由BM＝CM，從而得DN＝NE．【解答】（1）證明：∵，∴△ADE∽△ABC∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC；（2）解：結(jié)論：DN＝NE．理由：∵DE∥BC，∴，∵，∴，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，∴DN＝NE．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)表示線段之間的關(guān)系．25.（2022秋?貴池區(qū)期末）如圖，在△ABC中，BC＝3，D為AC延長線上一點(diǎn)，AC＝3CD，∠CBD＝∠A，過D作DH∥AB，交BC的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：△HCD∽△HDB；（2）求BH的長．【分析】（1）由DH∥AB，得∠HDC＝∠A，而∠CBD＝∠A，所以∠HDC＝∠CBD，即可根據(jù)“兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似”證明△HCD∽△HDB；（2）由DH∥AB證明△DHC∽△ABC，得＝＝，HC＝BC＝1，則BH＝3+1＝4．【解答】（1）證明：∵DH∥AB，∴∠HDC＝∠A，∵∠CBD＝∠A，∴∠HDC＝∠CBD，∵∠H＝∠H，∴△HCD∽△HDB．（2）解：∵AC＝3CD，∴＝，∵DH∥AB，∴△DHC∽△ABC，∴＝＝，∵BC＝3，∴HC＝BC＝×3＝1，∴BH＝BC+HC＝3+1＝4，∴BH的長為4．【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明∠HDC＝∠CBD及△DHC∽△ABC是解題的關(guān)鍵．5.相似三角形中的輔助線26．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在上，將沿翻折得到，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)F恰好落在線段上，線段的延長線交于點(diǎn)G，，則的值為．

【答案】【分析】延長交于點(diǎn)H，設(shè)，則，再證明，可得，，再根據(jù)，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，延長交于點(diǎn)H，

設(shè)，則，∵四邊形矩形，∴，∴，∵將沿翻折得到，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2021秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，過上一點(diǎn)D作直線交于點(diǎn)E，使所得的三角形與原三角形相似，這樣的直線可作多少條？【答案】2條【分析】作∠ADE=∠ABC，則△ADE∽△ABC，因此DE符合所求直線的要求．過D作DE∥BC，那么DF符合所求直線的要求．【詳解】解：如圖作∠ADE=∠ABC，則△ADE∽△ABC；過D作DE∥BC，則△ADE∽△ABC，所以，這樣的直線可作2條．28．（2023·江蘇·九年級專題練習(xí)）由教科書知道，相似三角形的定義：如果兩個(gè)三角形各角分別相等，且各邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似；由教科書中實(shí)踐操作可得基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．(1)請依據(jù)上面定義和事實(shí)，完成下列問題：①已知，如圖甲，中，點(diǎn)、分別在、上，且．問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形________．(2)依據(jù)（1）中②的結(jié)論完成下列問題：已知，如圖乙，在和中，，．①問：與相似嗎？試證明．②你得到的結(jié)論是：________________的兩個(gè)三角形相似．【答案】(1)①相似；證明見解析；②相似(2)①相似；證明見解析；②兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等【分析】（1）①過點(diǎn)D作DF∥AC，利用三角形相似的定義證明即可；②由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似；（2）①根據(jù)兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似即可證明；②由①中可知兩邊成比例且夾角相等，可以判定三角形相似進(jìn)而可得答案．【詳解】（1）①相似．證明如下：如圖，過點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)F易得：四邊形DECF是平行四邊形，即DE=FC由已知得，，∵DE∥BC∴又∵DF∥AC∴∴∴由相似三角形定義得：∽．②

解：由①可知平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似故答案為：相似．（2）①相似．證明如下：如圖，在AB上取一點(diǎn)D，使，過點(diǎn)D作交AC于點(diǎn)E∵，，∴∽∴，，，∵，，∴∴在和中，∴≌（SAS）又∵∽∴∽．②解：由題意知，兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等的兩個(gè)三角形相似故答案為：兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的定義及事實(shí)的應(yīng)用，全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)．理解題意綜合運(yùn)用知識是解決本題的關(guān)鍵．29．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，中，，，，，分別是邊，的中點(diǎn)，為邊上一動點(diǎn)，于，交于．

(1)_____；(2)當(dāng)和相似時(shí)，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）過作于交于，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的中位線定理得到，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）先根據(jù)角的大小關(guān)系判斷相似三角形的對應(yīng)關(guān)系，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過作于交于，

在中，，，，∴，∵，分別是邊，的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，當(dāng)和相似時(shí)，則，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【3種思想】1.方程思想30．（2023·安徽滁州·校考一模）在中，，，現(xiàn)有動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)方向運(yùn)動：動點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)方向運(yùn)動．如果點(diǎn)的速度是，點(diǎn)的速度是，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒．求：(1)當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)之間的距離是多少？(2)若的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．(3)當(dāng)為多少時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）在中，當(dāng)秒，可知、的長，運(yùn)用勾股定理可將的長求出；（2）由點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度和運(yùn)動時(shí)間，又知的長，可將用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式求解；（3）應(yīng)分兩種情況：當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可將時(shí)間t求出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可求出時(shí)間t．【詳解】（1）由題意得則（1）當(dāng)秒時(shí)，，，由勾股定理得；故、兩點(diǎn)之間的距離是（2）由題意得則∴由題意可知∴關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為（3）當(dāng)時(shí)即解得當(dāng)時(shí)即解得綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在解第三問時(shí)應(yīng)分兩種情況進(jìn)行求解防止漏解或錯(cuò)解，注意方程思想與分類討論思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．2.分類討論思想31．（2022秋·安徽滁州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向點(diǎn)以的速度移動，如果、分別從A、同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)幾秒后，點(diǎn)、、構(gòu)成的三角形與相似

【答案】經(jīng)過或后，與相似．【分析】分兩種情況討論，可得或，求得t的值．【詳解】解：①設(shè)經(jīng)過后，，根據(jù)已知條件，可得，，∵，∴，∴，解得；②設(shè)經(jīng)過后，，∵，∴，∴，解得．故經(jīng)過或后，與相似．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，利用分類思想解決問題是本題的關(guān)鍵.32．（2023·安徽·一模）已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=3cm，點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動，速度為2cm/s；點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動，速度為cm/s；若設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為t(s)(0＜t＜3)，解答下列問題(1)如圖①，連接PC，當(dāng)t為何值時(shí)△APC∽△ACB，并說明理由；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分線上，請說明理由；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動時(shí)，線段BC上是否存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形？若存在，試求出BG長；若不存在請說明理由．【答案】(1)；理由見解析(2)存在；理由見解析(3)不存在；理由見解析【分析】（1）結(jié)合直角三角形性質(zhì)，由△APC∽△ACB，得，即可求解；（2）過點(diǎn)P作PM⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)，求QM，AM的表達(dá)式，證△APM∽△ABC，得，即可求解；（3）假設(shè)線段BC上是存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，則PQ∥BG，PQ=BG，由△APQ∽△ABC，得，得BP=2t=3，故PQ≠BP.【詳解】（1）在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=3cm，∴AB=6，由運(yùn)動知，BP=2t，AQ=，∴AP=6﹣2t，∵△APC∽△ACB，∴t=；（2）存在，理由：如圖②，由運(yùn)動知，BP=2t，AQ=，∴AP=6﹣2t，CQ=，∵點(diǎn)P是CQ的垂直平分線上，過點(diǎn)P作PM⊥AC，∴QM=CM=∴AM=AQ+QM=，∵∠ACB=90°，∴PM∥BC，∴△APM∽△ABC∴，即∴解得t=1；（3）不存在理由：由運(yùn)動知，BP=2t，，∴AP=6﹣2t，假設(shè)線段BC上是存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為平行四邊形，∴PQ∥BG，PQ=BG，∴△APQ∽△ABC，，∴BP=2t=3，∴PQ≠BP，∴平行四邊形PQGB不可能是菱形．即：線段BC上不存在一點(diǎn)G，使得四邊形PQGB為菱形．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)．解題關(guān)鍵時(shí)注意相似三角形的對應(yīng)邊成比例與分類討論思想的應(yīng)用．3.數(shù)形結(jié)合思想33．（2022秋·安徽宣城·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，直線，交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)，動點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，速度為1單位每秒，另一動點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，速度為2個(gè)單位每秒，它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動的時(shí)間為秒，當(dāng)一動點(diǎn)先到達(dá)后，另一動點(diǎn)隨之停止．(1)求．(2)設(shè)的面積為，求與的關(guān)系？并求的最大值？【答案】(1)(2)，的最大值是【分析】（1）根據(jù)直線，可以求得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，然后即可求得；（2）根據(jù)題意，可以表示出和，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，可以得到點(diǎn)到的距離，從而可以寫出與的關(guān)系，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到的最大值．【詳解】（1）解：直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，；（2）解：由題意可得，，，作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，如圖所示，軸，軸，，，，，，，，，解得，，，，點(diǎn)從到用的時(shí)間為：，點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)用的時(shí)間為：，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值14.4，由上可得，，的最大值是14.4．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【檢測卷】一、單選題1．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┡c的相似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方可得答案．【詳解】解：∵與的相似比為，∴與的面積比為；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解本題的關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽合肥·九年級校考期中）如圖，已知中，，且D、E分別為的中點(diǎn)，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，則，證即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∵，∴，∴，解得：，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．熟記相關(guān)結(jié)論進(jìn)行幾何推理是解題關(guān)鍵．3．（2023春·安徽宿州·九年級校考開學(xué)考試）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知路燈高，樹影，樹AB與路燈O的水平距離，則樹的高度AB長是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相似三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊成比例，列出等式后求解即可．【詳解】解：由題可知，，∴,∴，∴，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能讀懂題意，建立相似關(guān)系，得到對應(yīng)邊成比例，完成求解即可，本題較基礎(chǔ)，考查了學(xué)生對相似的理解與應(yīng)用等．5．（2018秋·安徽合肥·九年級合肥市第四十五中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長，得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，∴，由題意得，，相似比為1：2，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，位似圖形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·安徽滁州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，不能判定的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)求出，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【詳解】解：，，A、添加，可用兩角法判定，故本選項(xiàng)不符合題意；B、添加，可用兩角法判定，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加，可用兩邊及其夾角法判定，故本選項(xiàng)不符合題意；D、添加，不能判定，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．7．（2020秋·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考期中）如圖，各正方形的邊長均為1，則四個(gè)陰影三角形中，一定相似的一對是：

A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出4個(gè)圖形中的每個(gè)三角形的邊長，通過三角形三邊的比是否相等就可以判斷出結(jié)論，從而得出正確答案．【詳解】解：①三邊長為：1，，；②三邊長為：，2，；③三邊長為：1，，；④三邊長為：2，，；則可得①和②三邊成比例，故一定相似的是①和②．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題需要我們熟練運(yùn)用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，難度一般．8．（2022秋·安徽·九年級校聯(lián)考期中）已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．【詳解】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是黃金分割的概念，熟記黃金比值為是解題的關(guān)鍵．9．（2023秋·安徽六安·九年級校考期中）如果，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)N，則的值是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】過點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,可證．同理，可得，，；由,得，于是；設(shè)，則，，，從而得．【詳解】解：過點(diǎn)F作交AC于點(diǎn)G,∴∴．∵，∴．∴．∵，∴．∵,∴．∴．設(shè)，則，∴∴．∴．∴．∴．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理；由平行線得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·安徽滁州·九年級校考期中）四條線段、、、是成比例線段，其中、、，則cm．【答案】4【分析】根據(jù)成比例線段的定義，將a，b及c的值代入即可求得d.【詳解】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴即，代入、、，得，解得：（cm）．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，掌握成比例線段的定義是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023春·安徽蚌埠·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，，則．

【答案】【分析】求出，然后證明，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握證明三角形相似的方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┰诘冗吶切沃校?，、是上的動點(diǎn)，是上的動點(diǎn)，且，連接，；【答案】【分析】證明，利用相似三角形的面積等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：是等邊三角形，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023春·安徽合肥·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，個(gè)邊長為2的等邊三角形有一條邊在同一直線上，且這些等邊三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)位于該直線的同一側(cè)．設(shè)的面積為，的面積為，…，的面積為，請?zhí)骄坎⒔鉀Q下列問題：

（1）等邊三角形的面積等于．（2）等于．【答案】【分析】根據(jù)已知再結(jié)合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形面積公式計(jì)算即可．根據(jù)已知得出，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊的比例，求出面積，以此類推得出規(guī)律即可求出最終結(jié)果．【詳解】（1）等邊三角形的邊長為2等邊三角形的高等邊三角形的面積故答案為：（2）連接點(diǎn)，顯然它們共線且平行于，如圖

是等邊三角形，且邊長為2同理：∴同理：…由以上規(guī)律可得出：【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的應(yīng)用知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，同時(shí)善于觀察規(guī)律式解答此題的關(guān)鍵．三、解答題15．（2022秋·安徽滁州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足，試求的值．【答案】4．【分析】設(shè)，從而可得，再代入計(jì)算即可得．【詳解】解：設(shè)，則，，．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022秋·安徽安慶·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，D，E分別是的邊，上的點(diǎn)，，若，求的值．【答案】【分析】得到，得到，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1個(gè)單位長度的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上．

(1)將向左平移5個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，畫出；(2)以點(diǎn)O為位似中心，在網(wǎng)格范圍內(nèi)畫出與相似比為2的．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)平移的特點(diǎn)找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可；（2）先根據(jù)位似圖形的特點(diǎn)找到A、B、C對應(yīng)點(diǎn)的位置，然后順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．（2）解：如圖所示，即為所求．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了畫位似圖形，畫平移圖形，正確找到對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．18．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1，正方形與正方形有公共頂點(diǎn)C，連接，其中．

(1)試判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若B、E、F三點(diǎn)共線，如圖2，連接并延長交于點(diǎn)H．若，，求的長．【答案】(1)線段與之間的數(shù)量關(guān)系為，理由見解析(2)【分析】（1）連接，證明，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，然后判定，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理可得答案．【詳解】（1）線段與之間的數(shù)量關(guān)系為連接，

∵四邊形是正方形，且分別為對角線，∴，，∴，∴∴，∴，∴線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；（2）∵，B、E、F三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，即．【點(diǎn)睛】此題考查的是正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．19．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D是邊AB一點(diǎn)，連接，的平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，．

(1)求證：；(2)若，，，求AF的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由，得，進(jìn)一步證得，于是；（2）由，得，，可證，得，可得，相應(yīng)求得．【詳解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵，∴．（2）解：∵，∴，．又∵，∴．∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)；由相似三角形得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．20．（2022秋·安徽阜陽·九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．(1)求證：；(2)若，，求的長．(3)當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用同角的余角相等，先說明，再利用相似三角形的判定得結(jié)論；（2）先利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質(zhì)得方程，求解即可．（3）由，可得，結(jié)合為的中點(diǎn)，可得，結(jié)合，可得，從而可得答案．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴．∵沿翻折得到，∴．∵，∴．又∵，∴．（2）∵四邊形是矩形，，