專題01 二次函數（重點）（解析版）

專題01二次函數（重點）一、單選題1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）以下函數式二次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據二次函數的定義：一般地，形如（a、b、c是常數，）的函數叫做二次函數，進行判斷．【解析】解：A、當時，不是二次函數，故本選項錯誤；B、由得到，是一次函數，故本選項錯誤；C、該等式的右邊是分式，不是整式，不符合二次函數的定義，故本選項錯誤；D、由原函數解析式得到，符合二次函數的定義，故本選項正確．應選：D．【點睛】此題考查了二次函數的定義，掌握定義，會根據定義進行判斷是解題的關鍵．2．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由拋物線解析式可得拋物線頂點坐標．【解析】解：，拋物線頂點坐標為，故選：D．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數的頂點式．3．（2023秋·浙江·九年級專題練習）把拋物線向左平移1個單位，再向上平移3個單位，則平移后拋物線為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解．【解析】解：把拋物線向左平移1個單位，然后向上平移3個單位，則平移后拋物線為：，即．故選：D．【點睛】本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的法則是解答此題的關鍵．4．（2023秋·浙江·九年級專題練習）關于二次函數的圖象，下列說法中，正確的是（）．A．對稱軸為直線B．頂點坐標為C．可以由二次函數的圖象向左平移1個單位得到D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降【答案】D【分析】根據二次函數圖象的性質逐項判斷即可．【解析】解：A.二次函數的對稱軸為直線，故A選項不符合題意；B.二次函數的頂點坐標，故B選項不符合題意；C.二次函數的圖像可以由二次函數的圖像向上平移1個單位得到，故C選項不符合題意；D.二次函數的圖像開口向下，在對稱軸左側，圖像上升，在對稱軸右側，圖像下降，故D選項符合題意．故答案為：D．【點睛】本題主要考查了二次函數圖象的性質，理解二次函數圖象與解析式系數的關系是解答本題的關鍵．5．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若二次函數，當時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據二次函數的性質可進行求解．【解析】解：拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向上，當時，y隨x的增大而減小，因為當時，y隨x的增大而減小，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．6．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，某大門的形狀是一拋物線形建筑，大門的地面寬，在兩側距地面高處有兩個掛單位名牌匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離是．若按圖所示建立平面直角坐標系，則拋物線的解析式是（）（建筑物厚度忽略不計）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意設出函數解析式，把和代入拋物線，用待定系數法求函數解析式即可．【解析】解：根據題意，拋物線過四點，∵對稱軸是軸∴設拋物線解析式為把和代入拋物線得：，解得：，∴拋物線解析式為：故選：．【點睛】本題考查二次函數的實際應用，解題的關鍵是掌握待定系數法．7．（2023秋·浙江·九年級專題練習）一次函數與二次函數在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題可先由一次函數圖象得到字母系數的正負，再與二次函數的圖象相比是否一致．【解析】解：．由拋物線開口方向可知，，由直線與軸交點可知，，故本選項不符合題意；B．由拋物線開口方向可知，，由直線與軸交點可知，，故本選項不符合題意；C．由拋物線開口方向可知，，由直線與軸交點可知，，故本選項符合題意；D．由拋物線開口方向可知，，由直線與軸交點可知，，故本選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查拋物線和直線的性質，用假設法以及數形結合的方法是解題的關鍵．8．（2023春·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）已知二次函數，與的部分對應值為：x…-2-1012…y…-1232？…關于此函數的圖象和性質，下列說法正確的是（

）A．當時，函數圖象從左到右上升 B．拋物線開口向上C．方程的一個根在與之間 D．當時，【答案】C【分析】根據表格數據知道函數圖象關于對稱，頂點為，所以圖象的開口向下，則可以判斷選項A、B、D錯誤；根據圖像與軸的交點，即可判斷C選項正確．【解析】和時的函數值相同，都是2，拋物線的對稱軸為，拋物線的頂點為，是函數最大值，拋物線的開口向下，故B選項錯誤；當時，隨的增大而減小，即函數圖象從左到右下降，故A選項錯誤；時，，時，，方程的一個根在與之間，故C選項正確；函數圖象關于對稱，

與的值相等，時，，故D選項錯誤．故答案選C．【點睛】本題考查了二次函數的圖象與性質，掌握二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．9．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）設函數，，直線的圖象與函數，的圖象分別交于點，，得（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．著，則【答案】C【分析】根據題意分別畫出，的圖象，繼而根據圖象即可求解．【解析】解：如圖所示，若，則，故A選項錯誤；如圖所示，若，則或，故B選項錯誤；如圖所示，若，則，故C選項正確，D選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，理解題意，畫出圖象，數形結合是解題的關鍵．10．（2022秋·浙江金華·九年級校聯(lián)考階段練習）已知二次函數的對稱軸為直線，與x軸的一個交點B的坐標為其圖象如圖所示，下列結論：①；②；③一元二次方程的兩個根是和1；④當時，；⑤當時，y隨x的增大而增大；⑥若點，，是函數圖象上的三點，則，其中正確的有（）個A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據開口向上，故，再由對稱軸為，拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，可得，，可得，①正確；根據對稱軸為直線，通過變形可求出，②正確；求出拋物線與x軸的另一個交點為，然后可得③正確；觀察圖象得，當，即函數圖象在x軸的上方時，或，④錯誤；根據對稱軸是直線，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大可得⑤正確；由拋物線的對稱性可知，和時的函數值相等，都是，然后根據二次函數的增減性進行判斷即可．【解析】解：由拋物線的開口向上，可得，∵對稱軸是直線，∴a、b同號，即，∵拋物線與y軸的交點在y軸的負半軸，∴，∴，①正確；∵對稱軸是直線，∴，即，②正確；∵拋物線的對稱軸為直線，與x軸的一個交點B的坐標為，∴拋物線與x軸的另一個交點為，∴一元二次方程的兩個根是和1，③正確；由圖象可知：時，x的取值范圍為或，④錯誤；∵對稱軸是直線，在對稱軸的右側，y隨x的增大而增大，∴當時，y隨x的增大而增大，⑤正確；由拋物線的對稱性可知，和時的函數值相等，都是，且在對稱軸的左側y隨x的增大而減小，∵，∴，⑥錯誤；綜上所述，正確的結論有4個，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，二次函數與一元二次方程的關系，熟練掌握拋物線的對稱軸公式以及對稱性是解決問題的關鍵．二、填空題11．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）若函數是關于的二次函數，則．【答案】【分析】根據二次函數的定義進行求解即可．【解析】解：∵函數是關于的二次函數，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次函數的定義，熟知二次函數的定義是解題的關鍵：一般地，形如（且a、b、c是常數）的函數叫做二次函數．12．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）寫出一個對稱軸為y軸，且過點的二次函數的表達式．【答案】（答案不唯一）【分析】由題意可知，對稱軸為y軸，則一次項系數為0，經過點，可以得出常數項為，即可寫出符合題意得二次函數的解析式．【解析】解：∵二次函數的對稱軸為軸，∴則一次項系數為0，又∵二次函數經過點，∴常數項為，∴滿足題意的二次函數的解析式為：．故答案為：（答案不唯一）【點睛】本題主要考查了二次函數的性質，正確理解，對稱軸為y軸，則一次項系數為0，經過點，可以得出常數項為是解題的關鍵．13．（2022秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數的圖象與x軸有交點，則k的取值范圍是．【答案】且【分析】根據，且解出k的范圍即可求出答案．【解析】解：由題意可知：且，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查二次函數與x軸的交點，解題的關鍵是正確列出，本題屬于基礎題型．14．（2022秋·浙江杭州·九年級杭州市錦繡中學?？计谥校┤鐖D，已知拋物線與直線交于兩點，則關于x的不等式的解集是．【答案】【分析】根據圖象，寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【解析】解：∵拋物線與直線交于，∴不等式的解集是．故答案為．【點睛】本題考查了二次函數與不等式的關系，主要利用了數形結合的思想，解題關鍵在于對圖像的理解，誰大誰的圖象在上面．15．（2022秋·浙江杭州·九年級?？计谥校┰O二次函數（m，n是實數，）的最大值分別是p，q，若，則，．【答案】00【分析】根據對稱軸公式求出和的對稱軸，再依據二次函數的圖象和性質得出，存在最大值，進而得出，，結合條件得出，列出方程求解即可．【解析】解：由兩函數表達式可知，函數的對稱軸為，函數的對稱軸為，且兩函數圖象均開口向下，即，否則不存在最大值，兩函數均在對稱軸上取到最大值，則有，，若，則有，解得：或（舍去），將代入p，q得：，故答案為：0，0．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的對稱軸及二次函數最大（?。┲档那蠓ǎ?6．（2019·浙江杭州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，將二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數圖象，當直線與新圖象有4個交點時，m的取值范圍是．【答案】【分析】如圖，解方程得，，再利用折疊的性質求出折疊部分的解析式為，即，然后求出直線經過點時m的值和當直線與拋物線有唯一公共點時m的值，從而得到當直線與新圖象有4個交點時，m的取值范圍．【解析】解：如圖，當時，，解得，，則，，將該二次函數在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方的部分圖象的解析式為，即，當直線經過點時，，解得；當直線與拋物線有唯一公共點時，方程有相等的實數解，解得，所以當直線與新圖象有4個交點時，m的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數（a，b，c是常數，）與x軸的交點坐標問題轉化為解關于x的一元二次方程．也考查了二次函數圖象與幾何變換．三、解答題17．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）下列式子哪些是二次函數？如果是，請指出其二次項系數、一次項系數和常數項．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(為常數)．【答案】(1)不是二次函數，是一次函數(2)，是二次函數，二次項系數是、一次項系數是0，常數項是0(3)不是二次函數(4)，是二次函數，二次項系數是、一次項系數是2，常數項是-3(5)時，不是二次函數(6)時，不是二次函數【分析】（1）觀察函數解析式，不含二次項，不是二次函數；（2）根據二次函數的定義即可判斷；（3）根據二次函數的定義即可判斷；（4）根據二次函數的定義即可判斷；（5）根據二次函數的定義即可判斷；（6）根據二次函數的定義即可判斷．【解析】（1）不是二次函數，是一次函數；（2），是二次函數，二次項系數是、一次項系數是0，常數項是0；（3）不是二次函數；（4），是二次函數，二次項系數是、一次項系數是2，常數項是；（5）時，不是二次函數；（6）時，不是二次函數．【點睛】本題考查了二次函數的識別，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．二次函數的定義：一般地，形如（是常數，）的函數，叫做二次函數．18．（2022秋·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）已知函數(1)填空：函數圖像的開口方向是___________，對稱軸是直線___________．(2)當___________時，隨的增大而減?。?3)以軸為對稱軸，將拋物線進行軸對稱變換，求變換后所得到的拋物線解析式．【答案】(1)向下，(2)(3)【分析】（1）直接根據拋物線的頂點坐標式直接寫出函數圖象的開口方向，對稱軸；（2）根據二次函數的性質得出結論；（3）根據軸對稱的性質即可得到結論．【解析】（1）解：函數圖象的開口向下，對稱軸為直線；故答案為：向下，；（2）解：當時，隨的增大而減??；故答案為：；（3）解：將拋物線沿軸進行軸對稱變換，得到的新拋物線的解析式是．【點睛】本題主要考查了二次函數的性質和二次函數圖象變換的知識，解答本題的關鍵是記住拋物線頂點坐標式及正確的理解題意．19．（2022秋·浙江衢州·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經過、兩點．

(1)求、兩點的坐標；(2)根據圖象直接寫出當時的取值范圍．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）令，解一元二次方程即可求解；（2）令，求得的坐標，進而結合函數圖象，即可求解．【解析】（1）解：二次函數的圖象與軸交于、兩點，當時，即，解得：，∴，；（2）∵二次函數的圖象與軸交于點，當時，，∴，∵直線經過、兩點，根據圖象可得當時的取值范圍或．【點睛】本題考查了二次函數與坐標軸交點問題，根據交點坐標求不等式的解集，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．20．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）已知拋物線的頂點坐標為，且經過軸上一點．(1)求拋物線解析式；(2)求拋物線與軸的交點坐標；(3)試說明：當時，函數值隨著的增大而變化的情況．【答案】(1)拋物線的解析式為(2)拋物線與軸的交點坐標為(3)時，函數值隨著的增大而減小【分析】（1）設頂點式，然后把代入求出的值即可；（2）計算自變量的值為所對應的函數值即可；（3）根據二次函數的性質解決問題．【解析】（1）設拋物線的解析式為，把代入得，解得，拋物線的解析式為；（2）當時，，拋物線與軸的交點坐標為；（3）拋物線的對稱軸為直線，拋物線開口向下，當時，函數值隨著的增大而減?。军c睛】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式；解題的關鍵是在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解，數量掌握二次函數的性質．21．（2022秋·浙江溫州·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，過點、兩點的拋物線的頂點C在x軸正半軸上．(1)求拋物線的解析式；(2)求點C的坐標；(3)為線段AB上一點，，作軸交拋物線于點M，求PM的最大值？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據題意設拋物線的解析式為，然后把點、代入關系式進行計算即可解答；（2）把代入（1）中所求的拋物線的解析式進行計算即可解答；（3）先求出解析式，然后計算當，，，的長度，然后設，，表示出的值，然后再進行計算即可解答．【解析】（1）解：拋物線的頂點在軸正半軸上，設拋物線的解析式為，把點、代入中可得：，解得：（舍去）或，，拋物線的解析式為：；（2）把代入中可得：，，點的坐標為；（3）設的解析式為：，把點、代入中可得：，解得：，的解析式為：，點為線段上一點，點為拋物線上一點，且，軸，當時，，，，當時，，，，當時，，，，設，，，當時，的最大值為：．【點睛】本題考查了二次函數的最值，待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數圖象上點的坐標特征，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．22．（2023春·浙江臺州·九年級臺州市書生中學?？计谥校┰卣鏀S實心球是中招體育考試項目之一．受測者站在起擲線后，被擲出的實心球進行斜拋運動，實心球著陸點到起擲線的距離即為此項目成績．實心球的運動軌跡可看作拋物線的一部分．如圖，建立平面直角坐標系，實心球從出手到著陸的過程中，豎直高度與水平距離近似滿足函數關系．小明使用內置傳感器的智能實心球進行擲實心球訓練．(1)第一次訓練時，智能實心球回傳的水平距離與豎直高度的幾組對應數據如下：水平距離x/m01234567豎直高度y/m1.82.32.62.72.62.31.81.1則：①拋物線頂點的坐標是______，頂點坐標的實際意義是________；②求y與x近似滿足的函數關系式，并直接寫出本次訓練的成績．(2)第二次訓練時，y與x近似滿足函數關系，則第二次訓練成績與第一次相比是否有提高？為什么？(3)實心球的拋物線軌跡是影響成績的重要因素，可以通過多種方法調整實心球的軌跡．小明擲實心球的出手高度不變，即拋物線中c的值不變，要提高成績應使a，b的值做怎樣的調整?【答案】(1)①，頂點坐標的實際意義是實心球拋出后達到的最大垂直高度；②，本次訓練的成績?yōu)?2)有提高，理由見解析(3)a變大，b變大【分析】（1）①根據表格數據和題意可解答；②利用待定系數法求解即可；（2）求出第二次著陸的距離，與第一次比較即可得出結論；（3）可根據拋物線的最大垂直高度、對稱軸的位置和著陸距離，結合前兩次的函數解析式和結論可作出結論．【解析】（1）解：①根據表格數據，當和時，y值相等，則直線是對稱軸，∴頂點坐標為，由于頂點是拋物線的最高點，故實際意義為實心球拋出后達到的最大垂直高度，故答案為：，頂點坐標的實際意義是實心球拋出后達到的最大垂直高度；②設y與x近似滿足的函數關系式為，將，代入，得，解得，∴y與x近似滿足的函數關系式為；令，由得，（負值舍去），∴本次訓練的成績?yōu)?；?）解：有提高，理由為：對于函數，拋物線的頂點坐標為令，由得，（負值舍去），∵，，∴第二次拋出的最大垂直高度大于第一次，著陸更遠，成績更集中，即第二次訓練成績與第一次相比有提高；（3）解：對于函數的頂點坐標為，對稱軸為直線，由題意，，，著陸距離為（負值舍去），最大垂直高度為，要提高成績，只需提高最大垂直高度，對稱軸盡可能的遠離拋出位置，著陸距離盡可能的遠，結合第一次和第二次的拋物線方程，可將a變大，b變大．【點睛】本題是二次函數的綜合應用題，涉及待定系數法求函數解析式、二次函數的圖象與性質、二次函數圖象與x軸的交點問題等知識，解答的關鍵是理解題意，熟練運用二次函數的圖象與性質分析解答．23．（2023春·浙江杭州·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數為常數．(1)若該函數圖象過點，求的值和圖象頂點坐標；(2)在（1）的情況下，當時，求的取值范圍；(3)當，隨的增大而增大，，是該函數圖象上的兩個點，對任意的，，，總滿足，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；(3)【分析】（1）求出頂點坐標為，把點代入中，求出a即可；（2）求得對稱軸為直線，故當時取最小值，時取最大值，據此即可求得的取值范圍；（3）由題意，即可得到，，從而求得，，根據二次函數圖象上點的坐標特征求得時，最小為，時，最大為，即可得到，即可求得．【解析】（1）解：，頂點坐標為，把點代入中得：，解得：，拋物線的頂點為；（2）由（1）得二次函數解析式為，拋物線開口向上，對稱軸為直線，當時函數在時取最小值為，在時取最大值為，故的取值范圍；（3）由題意得，拋物線開口向上，當，隨的增大而增大，對稱軸，即，，，時，最小為，時，最大為，所以，解得，綜上所述．【點睛】本題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標特征，熟練