專題13 三角形中的線段和角、等腰三角形、直角三角形、全等三角形（解析版）

專題13三角形中的線段和角、等腰三角形、直角三角形、全等三角形考點1：三角形的三邊關(guān)系及特殊線段1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．【詳解】A、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；C、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；D、，能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意．故選：D．2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）以下列每組數(shù)為長度（單位：）的三根小木棒，其中能搭成三角形的是（

）A．2，2，4 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，4，8【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系逐項判斷即可得．【詳解】解：A、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；B、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；C、，滿足三角形的三邊關(guān)系，能搭成三角形，則此項符合題意；D、，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不能搭成三角形，則此項不符合題意；故選：C．3．（2023·江蘇揚州·中考真題）在中，，，若是銳角三角形，則滿足條件的長可以是(

)A．1 B．2 C．6 D．8【答案】C【分析】如圖，作，，則，，，，由是銳角三角形，可得，即，然后作答即可．【詳解】解：如圖，作，，交的延長線于點E

∴，，∴，，∵是銳角三角形，∴，即，∴滿足條件的長可以是6，故選：C．4．（2022·江蘇淮安·中考真題）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9【答案】C【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．【詳解】A.∵，∴長度為3，3，6的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；B.∵，∴長度為3，5，10的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；C.∵，，∴長度為4，6，9的三條線段能組成三角形，本選項符合題意；D.∵，∴長度為4，5，9的三條線段不能組成三角形，本選項不符合題意；故選：C.5．（2022·江蘇南通·中考真題）用一根小木棒與兩根長分別為的小木棒組成三角形，則這根小木棒的長度可以為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)第三根木棒的長為xcm，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出x取值范圍即可．【詳解】解：設(shè)第三根木棒的長為xcm，則6?3＜x＜6＋3，即3＜x＜9．觀察選項，只有選項D符合題意．故選：D．6．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可．【詳解】∵，平分，∴，∴，∵為的中點，∴，故選C．7．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當點E為的中點時，如圖，

∴，②當點E為的四等分點時，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．8．（2023·江蘇連云港·中考真題）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是．（只填一個即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）．9．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，是中線的中點．若的面積是1，則的面積是．【答案】2【分析】根據(jù)的面積的面積，的面積的面積計算出各部分三角形的面積．【詳解】解：是邊上的中線，為的中點，根據(jù)等底同高可知，的面積的面積，的面積的面積的面積，故答案為：2．10．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D．若，則． 【答案】【分析】連接ED，由是的中線，得到，，由，得到，設(shè)，由面積的等量關(guān)系解得，最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)解得，據(jù)此解題即可．【詳解】解：連接ED是的中線，，設(shè)，與是等高三角形，，故答案為：．考點2：三角形中的角度計算11．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D12．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形有一個內(nèi)角為，則這個等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷出的內(nèi)角是這個等腰三角形的頂角，再根據(jù)等腰三角形的定義求解即可得．【詳解】解：等腰三角形有一個內(nèi)角為，∴這個等腰三角形的底角是，故選：C．13．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，中，，將逆時針旋轉(zhuǎn)得到，交于F．當時，點D恰好落在上，此時等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，，∵，∴，，∴，故選：B．14．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)，連接、、、、，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BD，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內(nèi)角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結(jié)果．【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．15．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，若，則°．

【答案】/55度【分析】先由鄰補角求得，，進而由平行線的性質(zhì)求得，，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，，∵，∴，故答案為：．16．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）一副三角板如圖放置，，，，則．【答案】105【分析】根據(jù)平行性的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖，∵，∴，，，，，故答案為：105．17．（2022·江蘇揚州·中考真題）將一副直角三角板如圖放置，已知，，，則°．【答案】105【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對頂角相等即可求解．【詳解】，，，∵∠E=60°，∴∠F=30°，故答案為：10518．（2021·江蘇常州·中考真題）如圖，在中，點D、E分別在、上，．若，則．【答案】100【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A=80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出，即可．【詳解】解：∵，∴∠A=180°-40°-60°=80°，∵，∴180°-80°=100°．故答案是100．19．（2021·江蘇蘇州·中考真題）如圖．在中，，．若，則．【答案】54°【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠A=∠AEF，再根據(jù)三角形的外角和定理得出∠A+∠AEF=∠CFE，求出∠A的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠B的度數(shù)即可．【詳解】∵AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°．故答案為：54°．考點3：等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)與判定20．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，分兩種情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰．【詳解】解：如圖：分情況討論：①AB為等腰直角△ABC底邊時，符合條件的C點有0個；②AB為等腰直角△ABC其中的一條腰時，符合條件的C點有3個．故共有3個點，故選：B．21．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．22．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，中，，，射線從射線開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)角，與射線相交于點D，將沿射線翻折至處，射線與射線相交于點E．若是等腰三角形，則的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知，，再畫出圖形，利用三角形的外角性質(zhì)列式計算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，，當時，，

由三角形的外角性質(zhì)得，即，此情況不存在；當時，

，，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，由三角形的外角性質(zhì)得，解得；當時，，

∴，∴；綜上，的度數(shù)為或或．故答案為：或或．23．（2021·江蘇連云港·中考真題）在數(shù)學興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學探究活動．（1）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一點，且，小亮以為邊作等邊三角形，如圖1，求的長；（2）是邊長為3的等邊三角形，E是邊上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖2，在點E從點C到點A的運動過程中，求點F所經(jīng)過的路徑長；（3）是邊長為3的等邊三角形，M是高上的一個動點，小亮以為邊作等邊三角形，如圖3，在點M從點C到點D的運動過程中，求點N所經(jīng)過的路徑長；（4）正方形的邊長為3，E是邊上的一個動點，在點E從點C到點B的運動過程中，小亮以B為頂點作正方形，其中點F、G都在直線上，如圖4，當點E到達點B時，點F、G、H與點B重合．則點H所經(jīng)過的路徑長為______，點G所經(jīng)過的路徑長為______．【答案】（1）1；（2）3；（3）；（4）；【分析】（1）由、是等邊三角形，，，，可證即可；（2）連接，、是等邊三角形，可證，可得，又點在處時，，點在A處時，點與重合．可得點運動的路徑的長；（3）取中點，連接，由、是等邊三角形，可證，可得．又點在處時，，點在處時，點與重合．可求點所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，由∠CGA=90°，點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的上運動，由四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，設(shè)OC=x，由勾股定理即，可求，點G所經(jīng)過的路徑長為長=，點H所經(jīng)過的路徑長為的長．【詳解】解:（1）∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴；（2）連接，∵、是等邊三角形，∴，，．∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，又點在處時，，點在A處時，點與重合．∴點運動的路徑的長；（3）取中點，連接，∴，∴，∵，∴，∴，∵、是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∴，又點在處時，，點在處時，點與重合，∴點所經(jīng)過的路徑的長；（4）連接CG,AC，OB，∵∠CGA=90°，∴點G在以AC中點為圓心，AC為直徑的上運動，∵四邊形ABCD為正方形，BC為邊長，∴∠COB=90°，設(shè)OC=x，由勾股定理即，∴，點G所經(jīng)過的路徑長為長=，點H在以BC中點為圓心，BC長為直徑的弧上運動，點H所經(jīng)過的路徑長為的長度，∵點G運動圓周的四分之一，∴點H也運動圓周的四分一，點H所經(jīng)過的路徑長為的長=，故答案為；．24．（2021·江蘇徐州·中考真題）如圖，將一張長方形紙片沿折疊，使兩點重合．點落在點處．已知，．（1）求證：是等腰三角形；（2）求線段的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得,則,因為折疊，，即可得證；（2）設(shè)用含的代數(shù)式表示，由折疊，，再用勾股定理求解即可【詳解】（1）四邊形是矩形因為折疊，則是等腰三角形（2）四邊形是矩形,設(shè)，則因為折疊，則，,在中即解得：考點4：直角三角形的性質(zhì)、勾股定理25．（2022·江蘇南京·中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點距離最大的是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小即可．【詳解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴選B．26．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為．【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．【詳解】如圖：過點作于點，

，由題意得：平分，，，，，，，；故答案為：．27．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點的對應(yīng)點首次落在斜邊上，則點的運動路徑的長為.【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點的運動路徑的長為．故答案為：．28．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點，．M是邊BC上的一點（點M與點B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點P，連接，則的取值范圍是．【答案】【分析】過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，分析可知為的最大值，為的最小值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：過點B作交的延長線于點，連接，過點P作的平行線交于點，交于點，連接，過點作，如圖所示：

由題意得：點在線段上運動（不與點重合），點在線段上運動（不與點重合）故：為的最大值，為的最小值∵∴∵∴∵且∴∵P為的中點∴∵P為的中點∴為的中點∴∵∴故∵點M與點B、C不重合∴的取值范圍是故答案為：29．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，若，則的度數(shù)是．【答案】/40度【分析】根據(jù)平行四邊形對邊平行可得，利用平行線的性質(zhì)可得，因此利用直角三角形兩個銳角互余求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．30．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則．【答案】1【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AB=2DE，再由三角形中位線的性質(zhì)可得FG的長；【詳解】解：∵Rt△ABC中，點E是AB的中點，DE=1，∴AB=2DE=2，∵點F、G分別是AC、BC中點，∴，故答案為：131．（2021·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在Rt中，為斜邊上的中線，若，則．【答案】4【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半即可解決問題；【詳解】解：如圖，∵△ABC是直角三角形，CD是斜邊中線，∴CDAB，∵CD＝2，∴AB＝4，故答案為4．32．（2021·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，點D是的中點，過點D作，垂足為點E，連接，若，，則．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再說明DE∥AC，得到，即可求出DE．【詳解】解：∵∠ACB=90°，點D為AB中點，∴AB=2CD=10，∵BC=8，∴AC==6，∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥AC，∴，即，∴DE=3，故答案為：3．33．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑（步），即直徑為6步，故答案為：6．34．（2023·江蘇·中考真題）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機能從角落自由進出，則圖中的x至少為（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）．【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實際問題．【詳解】解：如圖過點A、B分別作墻的垂線，交于點C，則，，在中，，即∵這臺掃地機能從角落自由進出，∴這臺掃地機的直徑不小于長，即最小時為，解得：（舍），，∴圖中的x至少為，故答案為：．

35（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．36．（2023·江蘇無錫·中考真題）若直三棱柱的上下底面為正三角形，側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，則該直三棱柱的表面積為．【答案】/【分析】根據(jù)題意得出正三角形的邊長為，進而根據(jù)表面積等于兩個底面積加上側(cè)面正方形的面積即可求解．【詳解】解：∵側(cè)面展開圖是邊長為的正方形，∴底面周長為，∵底面為正三角形，∴正三角形的邊長為作，是等邊三角形，，，在直角中，，；

∴該直三棱柱的表面積為，故答案為：．37．（2023·江蘇無錫·中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．【答案】8【分析】設(shè)門高尺，則竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)門高尺，依題意，竿長為尺，門的對角線長為尺，門寬為尺，∴，解得：或（舍去），故答案為：．38．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為．【答案】【分析】連接，過點作于點，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．39．（2023·江蘇揚州·中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個直角三角形的面積為．【答案】96【分析】由題意知，，由，可得，計算求出滿足要求的，然后求，根據(jù)每個直角三角形的面積為，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∵，∴，解得，（舍去），∴，∴每個直角三角形的面積為，故答案為：96．40．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，，，點是邊上的一點，過點作，交于點，作的平分線交于點，連接．若的面積是2，則的值是．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)的面積是2，求出點到的距離為，根據(jù)的面積，求出點到的距離為，即可得出點到的距離為，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出，求出，，根據(jù)等角對等邊求出，即可求出，即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：在中，由勾股定理得，，∵的面積是2，∴點到的距離為，在中，點到的距離為，∴點到的距離為，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．41．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片ABCD沿CE折疊，使點B落在邊AD上的點F處．若點E在邊AB上，AB＝3，BC＝5，則AE＝．【答案】/【分析】由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，勾股定理求得DF，AF．設(shè)BE=EF=x，則AE=AB-BE，在直角三角形AEF中，根據(jù)勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可得CF=BC=5，BE=EF，由矩形性質(zhì)有CD=AB=3，BC=AD=5，∵∠D=90°，∴，所以，所以BE=EF=x，則AE=AB-BE=3-x，在直角三角形AEF中:，∴，解得，∴，故答案為：．42．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為.【答案】2或/或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．43．（2021·江蘇南通·中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號）．【答案】．【分析】先作PC⊥AB于點C，然后利用勾股定理進行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．44．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)作圖見解析【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質(zhì)，過點尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：

在中，，，，，，在中，，，，則；（2）解：如圖所示：

考點5：全等三角形的性質(zhì)與判定45．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為與點D不重合的動點，以DE一邊作正方形DEFG.設(shè)DE=d1，點F、G與點C的距離分別為d2，d3，則d1＋d2＋d3的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】連接CF、CG、AE，證可得，當A、E、F、C四點共線時，即得最小值；【詳解】解：如圖，連接CF、CG、AE，∵∴在和中，∵∴∴∴當時，最小，∴d1＋d2＋d3的最小值為，故選：C．46．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【詳解】A.．根據(jù)SSS一定符合要求；B.．根據(jù)SAS一定符合要求；C.．不一定符合要求；D.．根據(jù)ASA一定符合要求．故選：C．47．（2021·江蘇泰州·中考真題）如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形PBEF,設(shè),則為（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α【答案】B【分析】根據(jù)題意可得，從而即可．【詳解】∵四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，∴AP=CP，PF=PB，，∴，∴∠AFP=∠CBP，又∵，∴，故選：B．48．（2021·江蘇鹽城·中考真題）工人師傅常常利用角尺構(gòu)造全等三角形的方法來平分一個角．如圖，在的兩邊、上分別在取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點、重合，這時過角尺頂點的射線就是的平分線．這里構(gòu)造全等三角形的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定條件判斷即可．【詳解】解：由題意可知在中∴(SSS)∴∴就是的平分線故選：D49．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面直角坐標系中，正方形如圖所示，點的坐標，點的坐標是，則點的坐標是．【答案】【分析】由全等三角形的判定得到，再利用全等三角形的性質(zhì)得到即可解答．【詳解】解：作軸，軸于點，與交于點，∵點的坐標，點的坐標是，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴點，故答案為．

50．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

51．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，B是AC的中點，點D，E在同側(cè)，，．(1)求證：≌．(2)連接，求證：四邊形是平行四邊形．【分析】（1）由B是的中點得，結(jié)合，，根據(jù)全等三角形的判定定理“”即可證明≌；（2）由（1）中≌得，進一步得，再結(jié)合，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明．【詳解】（1）解：∵B是的中點，∴．在和中，∴≌（）．（2）如圖所示，∵≌，∴，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．52．（2023·江蘇·中考真題）已知：如圖，點為線段上一點，，，．求證：．【分析】根據(jù)得到，結(jié)合，，即可得到即可得到證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴．53．（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．(1)求證：；(2)點、分別是、的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則與的關(guān)系是________．【分析】（1）可證得，結(jié)合，即可證明結(jié)論．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點即為所求．②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，據(jù)此即可求得答案．【詳解】（1）∵，，，∴．在和中∴．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的平分線的交點，作，的角平分線，其交點即為點．

②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，根據(jù)平移的性質(zhì)可知．故答案為：．54．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同學的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）解：則小虎同學的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．55．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．56．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為M，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請從中選擇適當信息，將對應(yīng)的序號填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補全圖形，并加以證明．【答案】②③，①；證明見詳解【分析】根據(jù)題意補全圖形，連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等可得出，在求證三角形全等得出角相等，求得，進而得出結(jié)論平分．【詳解】②③，①證明：根據(jù)題意補全圖形如圖所示：

垂直平分，，（線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等），在與中，，，，在與中，，，，又，，即，平分．故答案為：②③①．57．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴58．（2022·江蘇淮安·中考真題）已知：如圖，點、、、在一條直線上，且，，．求證：．【分析】根據(jù)證明，即可得出答案．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵在和中，∴，∴．59．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，在?ABCD中，點O為對角線BD的中點，EF過點O且分別交AB、DC于點E、F，連接DE、BF．求證：(1)△DOF≌△BOE；(2)DE=BF．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形ABCD的性質(zhì)，利用ASA即可證明△DOF≌△BOE；（2）證明四邊形BEDF的對角線互相平分，進而得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O是BD的中點，∴AB∥DC，OB=OD，∴∠OBE=∠ODF．在△BOE和△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）證明：∵△BOE≌△DOF，∴EO=FO，∵OB=OD，∴四邊形BEDF是平行四邊形．∴DE=BF．60．（2022·江蘇蘇州·中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對角線AC折疊，點B的對應(yīng)點為E，AE與CD交于點F．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由矩形與折疊的性質(zhì)可得，，從而可得結(jié)論；（2）先證明，再求解，結(jié)合對折的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：將矩形ABCD沿對角線AC折疊，則，．在△DAF和△ECF中，∴．（2）解：∵，∴．∵四邊形ABCD是矩形，∴．∴，∵，∴．61．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，分別平分，交于點．(1)求證：；(2)過點作，垂足為．若的周長為56，，求的面積．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)證即可求證；（2）作，由即可求解；【詳解】（1）證明：在中，∵，∴，∵分別平分，，∴，在和中，∵∴，∴，∴．（2）如圖，作，∵的周長為56，∴，∵平分，∴，∴．62．（2021·江蘇淮安·中考真題）【知識再現(xiàn)】學完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡單應(yīng)用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關(guān)系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點D在邊AC上．（1）若點E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關(guān)系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．【答案】【簡單應(yīng)用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見解析【分析】簡單應(yīng)用：證明Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），可得結(jié)論．拓展延伸：（1）結(jié)論：AE＝AD．如圖（2）中，過點C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點N作BN⊥CA交CA的延長線于N．證明△CAM≌△BAN（AAS），推出CM＝BN，AM＝AN，證明Rt△CME≌Rt△BND（HL），推出EM＝DN，可得結(jié)論．（2）如圖（3）中，結(jié)論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．在AB上取一點E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點C作CT⊥AE于T．證明TE＝TE′，求出AT，可得結(jié)論．【詳解】簡單應(yīng)用：解：如圖（1）中，結(jié)論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△A