人教A版高中數(shù)學(xué)(必修第一冊(cè))培優(yōu)講義+題型檢測(cè)專題2.1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講（原卷版）

專題2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過來也對(duì)．這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>b?a－b>0，a＝b?a－b＝0，a<b?a－b<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大?。?．等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果a＝b，那么b＝a；性質(zhì)2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性質(zhì)3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性質(zhì)4如果a＝b，那么ac＝bc；性質(zhì)5如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).3．不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b?b<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c?a>c.(3)如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．【題型1不等關(guān)系的建立】【方法點(diǎn)撥】在用不等式(組)表示實(shí)際問題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來，即得不等式或不等式組．【例1】（2021秋?石鼓區(qū)校級(jí)月考）鐵路乘車行李規(guī)定如下：乘動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過Mcm．設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（）A．a(chǎn)+b+c≤M B．a(chǎn)+b+c＞M C．a(chǎn)+b+c≥M D．a(chǎn)+b+c＜M【變式1-1】（2021秋?龍巖期中）為安全燃放某種煙花，現(xiàn)收集到以下信息：①此煙花導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.6厘米；②人跑開的速度為每秒4米；③距離此煙花燃放點(diǎn)50米以外（含50米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（厘米）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.6＜50 B．4×x0.6【變式1-2】（2021秋?龍崗區(qū)期中）在開山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5cm，人跑開的速度為每秒4m，為了使點(diǎn)燃導(dǎo)火索的人能夠在爆破時(shí)跑到100m以外的安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度x（cm）應(yīng)滿足的不等式為（）A．4×x0.5≥100 B．4×x0.5≤100 C．4×x【變式1-3】（2021秋?龍江縣校級(jí)月考）下列結(jié)論不正確的是（）①用不等式表示某廠最低月生活費(fèi)a元不低于300元為a≥300；②完成﹣項(xiàng)裝修工程，請(qǐng)木工需付工資每人500元，請(qǐng)瓦工需付工資每人400元，現(xiàn)有工資預(yù)算20000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，則滿足的關(guān)系式是5x+4y＜200；③設(shè)M＝x2+3，N＝3x，則M與N的大小關(guān)系為M＞N；④若x≠﹣2且y≠1，則M＝x2+y2+4x﹣2y的值與一5的大小關(guān)系是M＞﹣5．A．① B．② C．③ D．④【題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤】【方法點(diǎn)撥】(1)直接法：對(duì)于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性．【例2】（2022春?大名縣校級(jí)期末）如果a，b，c，d∈R，則正確的是（）A．若a＞b，則1a＜1b B．若a＞b，則ac2C．若a＞b，c＞d，則a+c＞b+d D．若a＞b，c＞d，則ac＞bd【變式2-1】（2022?孝義市開學(xué)）已知1aA．a(chǎn)＜b B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＞|b| D．a(chǎn)b＞b2【變式2-2】（2022春?包頭期末）a，b∈R，下列命題正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．c∈R，若a＞b，則ac2＞bc2 C．若﹣3a＞﹣3b，則a＜b D．a(chǎn)≠0，b≠0，若a＞b，則1【變式2-3】（2021秋?賀州期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．1a＜1b B．a(chǎn)b＜b2 C．a(chǎn)b＞a2【題型3利用作差法比較大小】【方法點(diǎn)撥】(1)作差法比較的步驟：作差―→變形―→定號(hào)―→結(jié)論．(2)變形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分類討論．【例3】（2022春?九江期末）已知a=2，b=7?3，c=6?2A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【變式3-1】（2022春?安徽期中）已知a＜b，x＝a3﹣b，y＝a2b﹣a，則x，y的大小關(guān)系為（）A．x＞y B．x＜y C．x＝y(tǒng) D．無法確定【變式3-2】（2021秋?靖遠(yuǎn)縣期末）已知P＝x2+xy+y2，Q＝3xy﹣1，則（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．P，Q的大小關(guān)系不確定【變式3-3】（2021秋?灤南縣校級(jí)月考）設(shè)m＞1，P＝m+4m?1，Q＝5，則P，A．P＜Q B．P＝Q C．P≥Q D．P≤Q【題型4利用作差法比較大小的應(yīng)用】【例4】（2022春?蕪湖期末）甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，則（）A．甲先到教室 B．乙先到教室 C．兩人同時(shí)到教室 D．誰先到教室不確定【變式4-1】（2021秋?金華期末）某次全程馬拉松比賽中，選手甲前半程以速度a勻速跑，后半程以速度b速跑；選手乙前一半時(shí)間以速度a勻速跑，后半時(shí)間以速度b勻速跑（注：速度單位m/s），若a≠b，則（）A．甲先到達(dá)終點(diǎn) B．乙先到達(dá)終點(diǎn) C．甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn) D．無法確定誰先到達(dá)終點(diǎn)【變式4-2】（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）現(xiàn)有A，B，C，D四個(gè)長(zhǎng)方體容器，A，B的底面積均為x2，高分別為x，y；C，D的底面積均為y2，高分別為x，y（其中x≠y）．現(xiàn)規(guī)定一種兩人的游戲規(guī)則：每人從四種容器中取兩個(gè)盛水，盛水多者為勝．問先取者在未能確定x與y大小的情況下有沒有必勝的方案？若有的話，有幾種？【變式4-3】（2021秋?懷仁市校級(jí)月考）某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊(duì)說：“如領(lǐng)隊(duì)買全票一張，其余人可享受7.5折優(yōu)惠”．乙車隊(duì)說：“你們屬團(tuán)體票，按原價(jià)的8折優(yōu)惠”．這兩車隊(duì)的原價(jià)、車型都是一樣的，試根據(jù)單位去的人數(shù)，比較兩車隊(duì)的收費(fèi)哪家更優(yōu)惠．【題型5利用不等式的性質(zhì)證明不等式】【方法點(diǎn)撥】(1)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用．(2)應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則．【例5】（2021春?迎澤區(qū)校級(jí)月考）證明：ab【變式5-1】（2022春?庫爾勒市校級(jí)期末）已知a＞1，求證：a+1+a?【變式5-2】（2021秋?故城縣校級(jí)月考）求證：（1）a2+b2+c2≥ab+bc+ac（2）（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2）【變式5-3】用比較法證明以下各題：（1）已知a＞0，b＞0．求證：1a（2）已知a＞0，b＞0．求證：ba【題型6利用不等式的性質(zhì)求取值范圍】【方法點(diǎn)撥】同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來求范圍，注意變形的等價(jià)性．【例6】（2021秋?武昌區(qū)校級(jí)月考）已知1≤a+b≤4，﹣1≤a﹣b≤2，求4a﹣2b的取值