人教A版高中數(shù)學(必修第一冊)培優(yōu)講義+題型檢測專題4.9 函數(shù)的應用（二）-重難點題型精講（原卷版）

專題4.9函數(shù)的應用（二）-重難點題型精講1．函數(shù)的零點(1)函數(shù)零點的概念：對于一般函數(shù)y=f(x)，我們把使f(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點.即函數(shù)的零點就是使函數(shù)值為零的自變量的值.(2)函數(shù)的零點與方程的解的關系函數(shù)y=f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)解，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標.所以方程f(x)=0有實數(shù)解函數(shù)y=f(x)有零點函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.(3)幾種常見函數(shù)的零點①二次函數(shù)的零點

一元二次方程SKIPIF1<0+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根也稱為函數(shù)y=SKIPIF1<0+bx+c(a≠0)的零點.②正比例函數(shù)y=kx(k≠0)僅有一個零點0.

③一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)僅有一個零點SKIPIF1<0.

④反比例函數(shù)y=SKIPIF1<0(k≠0)沒有零點.

⑤指數(shù)函數(shù)y=(a>0,且a≠1)沒有零點.

⑥對數(shù)函數(shù)y=SKIPIF1<0(a>0,且a≠1)僅有一個零點1.

⑦冪函數(shù)y=,當a>0時,僅有一個零點0;當a≤0時,沒有零點.2．函數(shù)零點存在定理(1)函數(shù)零點存在定理：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)<0，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個c也就是方程f(x)=0的解.(2)函數(shù)零點存在定理的幾何意義：在閉區(qū)間[a,b]上有連續(xù)不斷的曲線y=f(x)，且曲線的起始點(a,f(a))與終點(b,f(b))分別在x軸的兩側(cè)，則連續(xù)曲線與x軸至少有一個交點.3．二分法(1)二分法的定義：

對于在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷且f(a)f(b)<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.(2)區(qū)間的中點：一般地，我們把x=SKIPIF1<0稱為區(qū)間(a,b)的中點.

(3)用二分法求方程的近似解：

用二分法求方程的近似解：先找一個包含根的區(qū)間，然后多次將包含根的區(qū)間一分為二，直至根落在要求的區(qū)間內(nèi)，即用區(qū)間中點SKIPIF1<0將區(qū)間(a,b)一分為二，從而得到兩個區(qū)間(a,SKIPIF1<0)和(SKIPIF1<0,b)，其中一個區(qū)間一定包含根，如若f(a)<0，f(SKIPIF1<0)>0，我們便知區(qū)間(a,SKIPIF1<0)包含根，如圖，不斷重復上述步驟，根最終落在要求的區(qū)間內(nèi).(4)用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟

給定精確度SKIPIF1<0，用二分法求函數(shù)y=f(x)零點SKIPIF1<0的近似值的一般步驟如下：

1.確定零點SKIPIF1<0的初始區(qū)間[a,b]，驗證f(a)f(b)<0.

2.求區(qū)間(a,b)的中點c.

3.計算f(c)，并進一步確定零點所在的區(qū)間：

(1)若f(c)=0(此時SKIPIF1<0=c)，則c就是函數(shù)的零點；

(2)若f(a)f(c)<0(此時SKIPIF1<0∈(a,c))，則令b=c；

(3)若f(c)f(b)<0(此時SKIPIF1<0∈(c,b))，則令a=c.

4.判斷是否達到精確度SKIPIF1<0：若|a-b|<SKIPIF1<0，則得到零點近似值a(或b)；

???????否則重復步驟2~4.【題型1求函數(shù)的零點】【方法點撥】(1)代數(shù)法：根據(jù)零點的定義，解方程f(x)=0，它的實數(shù)根就是函數(shù)y=f(x)的零點.(2)幾何法或性質(zhì)法：若方程f(x)=0的解不易求出，可以根據(jù)函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)及圖象求出零點.例如，已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，且f(x)為奇函數(shù)，求f(x)的零點；因為f(x)是奇函數(shù)，那么由奇函數(shù)的性質(zhì)可知f(0)=0，因為f(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以不存在其他的x使f(x)=0，從而y=f(x)的零點是0.【例1】（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)fx=log3A．10 B．9 C．（10，0） D．（9，0）【變式1-1】（2022·全國·高一課時練習）若32是函數(shù)fx=2x2A．1 B．2 C．（1，0） D．（2，0）【變式1-2】（2022·河北·高一開學考試）函數(shù)y=x2?4x+3A．（1，0） B．（1，3）C．1和3 D．（1，0）和（3，0）【變式1-3】（2021·全國·高一課時練習）函數(shù)f(x)的零點與函數(shù)g(x)=4x+2x?2的零點之差的絕對值不超過0.25A．f(x)=4x?1 B．f(x)=C．f(x)=4x?1【題型2函數(shù)零點存在定理的應用】【方法點撥】確定函數(shù)的零點(方程的根)所在的區(qū)間時，通常利用函數(shù)零點存在定理將問題轉(zhuǎn)化為判斷區(qū)間的兩個端點對應的函數(shù)值是否異號.【例2】（2022·內(nèi)蒙古·高一階段練習（文））函數(shù)fx=6A．0，1 B．1，2【變式2-1】（2022·全國·模擬預測（文））函數(shù)f(x)=2x+3xA．0 B．1 C．2 D．3【變式2-2】（2022·天津·模擬預測）函數(shù)y=lnx?2A．(1eC．(2,e)【變式2-3】（2022·河南·高二期末（理））若函數(shù)f(x)=?x2+(k?1)x+1?k在區(qū)間(?1,0)和(0,2)上各有一個零點，則實數(shù)kA．12,1 B．1,32【題型3利用圖象交點來處理函數(shù)零點（方程的根）問題】【方法點撥】函數(shù)零點問題可看成與函數(shù)圖象有關的問題的行生與升華，研究此類問題除二分法外，多采用數(shù)形結(jié)合法，把方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點問題，解題時要準確把握各類函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)簡圖，準確找到交點所在的位置.【例3】（2022·江西·高三階段練習（文））函數(shù)f(x)=lnx?xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式3-1】（2022·四川·高二階段練習（文））已知函數(shù)fx=e?x+3,x≤0lnx,x>0A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25【變式3-2】（2022·河南·高三階段練習（文））已知函數(shù)fx=2x,0?x?1,ln?x,x<0,若關于A．[2,4] B．(22,4] C．[2,3]【變式3-3】（2022·江蘇·高三階段練習）已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+1)是偶函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)=?log2(x+1)．若關于x的方程f(x)+f(xA．16,15 B．1【題型4用二分法確定函數(shù)零點（方程的根）所在的區(qū)間】【方法點撥】根據(jù)二分法的步驟進行求解，即可確定.【例4】（2021·全國·高一課前預習）方程x3?2x2+3x?6=0A．?2,1上 B．52,4上 C．1,7【變式4-1】（2021·四川省高一階段練習）用二分法求函數(shù)f(x)=x+lgx?2的零點，可以取的初始區(qū)間是（A．(0,1) B．(1,2)【變式4-2】（2022·新疆昌吉·高一期末）在用“二分法”求函數(shù)f(x)零點近似值時，若第一次所取區(qū)間為[?2,6]，則第三次所取區(qū)間可能是（

）A．[?2,?1] B．[?1,1] C．[2,4] D．[5,6]【變式4-3】（2021·湖北·高一階段練習）在用二分法求方程3x+3x﹣8=0在（1，2）內(nèi)近似根的過程中，已經(jīng)得到f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0，則方程的根落在區(qū)間（

）A．（1，1.25） B．（1.25，1.5） C．（1.5，2） D．不能確定【題型5用二分法求方程的近似解】【方法點撥】由函數(shù)的零點與相應方程根的關系，我們可用二分法來求方程的近似解，即對于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通過移項轉(zhuǎn)化為求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照用二分法求函數(shù)F(x)零點近似值的步驟求解.【例5】（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)fx=xx11.51.251.3751.3125f－10.875－0.29690.2246－0.05151則方程x3?x?1=0的一個近似根（誤差不超過0.05）為（A．1.375 B．1.34375 C．1.3125 D．1.25【變式5-1】（2022·全國·高一課時練習）若函數(shù)f(x)=x3+x2f(1)=?2f(1.5)=0.625f(1.25)≈?0.984f(1.375)≈?0.260f(1.4375)≈0.162A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【變式5-2】（2021·廣東·高一階段練習）若函數(shù)fx=x3+ffffffA．1.5 B．1.25 C．1.375 D．1.4375【變式5-3】（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)f(x)的一個正數(shù)零點附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下：f1=?2

ff1.375=?0.260

f那么方程的一個近似解（精確度為0.1）為（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【題型6用二分法求函數(shù)的近似值】【方法點撥】用二分法求函數(shù)零點的近似值的步驟往往比較煩瑣，一般借助表格，利用表格可以清晰地表示逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也利用數(shù)軸來表示這一過程.【例6】（2022·陜西·模擬預測（理））某同學用二分法求函數(shù)fx=2x+3x?7的零點時，計算出如下結(jié)果：fA．1.4065是滿足精度為0.01的近似值.B．1.375是滿足精度為0.1的近似值C．1.4375是滿足精度為0.01的近似值D．1.25是滿足精度為0.1的近似值【變式6-1】（2022·全國·高一課時練習）用二分法研究函數(shù)fx=x5+8x3A．0,0.5，f0.125 B．0,0.5，C．0.5,1，f0.75 D．0,0