2023年內(nèi)蒙古重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷（文科）及答案解析

2023年內(nèi)蒙古重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考高考數(shù)學(xué)模擬試卷(文科)

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)全集U=R,己知集合4={%|%2>4x},B={x|y=—%},則Cu(4nB)=()

A.[0,4]B.(-8,4]C.(—8,0)D.[0,+8)

2.已知復(fù)數(shù)2滿足2(2+5)-3(2—￡)=4+63貝收=()

A.-1+iB.-1—iC.1+iD.1—i

3.已知向量為=(1,2),K=且@一3)〃(28+尤)，則t的值為()

A.B.IC.D.-2

224

4.構(gòu)建德、智、體、美、勞全面培養(yǎng)的教育體系是我國(guó)教育一直以來努力的方向.某中學(xué)為

了落實(shí)五育并舉，全面發(fā)展學(xué)生的素質(zhì)，積極響應(yīng)黨的號(hào)召，開展各項(xiàng)有益于德、智、體、

美、勞全面發(fā)展的活動(dòng).如圖所示的是該校高三(1)、高三(2)班兩個(gè)班級(jí)在某次活動(dòng)中的德、

智、體、美、勞的評(píng)價(jià)得分對(duì)照?qǐng)D(得分越高，說明該項(xiàng)教育越好).下列說法正確的是()

德10

體美

實(shí)線：高三(1)班的數(shù)據(jù)虛線：高三(2)班的數(shù)據(jù)

A.高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為1.5

B.除體育外，高三(1)班的各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分均高于高三(2)班對(duì)應(yīng)的得分

C.各項(xiàng)評(píng)價(jià)得分中，這兩個(gè)班的體育得分相差最大

D.高三(1)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高

%—y—6<0

5.若變量x,y滿足約束條件拉一y+220,貝近=%+3、-1的取值范圍為()

,2x+y-3<0

A.[-34,8]B.[-35,8]C.[-35,7]D.[-34,7]

6.已知拋物線y2=2px（p>0）上有兩點(diǎn)4（xi，%）,B{x2,y2）,X1x2=?是%y2=-2z的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.執(zhí)行如圖的程序框圖，輸出的S值是()

A.0

D.-1

/輸：HS/

8.已知函數(shù)/(x)的部分圖像如圖，則函數(shù)fQ)的解析式可能為

()

A./(%)=(ex-e~x)sinx

B./(%)=(ex+e~x)sinx

C.f(x)=(ex-e~x)cosx

D./(%)=(ex+e~x)cosx

9.已知m,I是兩條不同的直線，a,/?是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出a工/?的是()

A.m1Z,muB,11aB.mil,an/?=Z,mc.a

C.m//l9m1a,/1/?D.Zia,m//Z,m///?

10.若等比數(shù)列｛an｝滿足4+。2=1，a4+a5=8,則劭=()

6464「32「32

AA.-D.——L,.-U.——

11.將函數(shù)f。)=cos(2x—)圖象上的所有點(diǎn)向左平移整個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象,

貝)

A.g(x)=cos(2x+爭(zhēng)B.g(x)在［一抬］上單調(diào)遞增

C.g(x)在(0胃)上的最小值為-1D,直線x=笄是g(x)的一條對(duì)稱軸

12.棱長(zhǎng)為2g的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個(gè)小球,

則這些球的最大半徑為()

A.V2B.巡C.立D.包

246

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知等差數(shù)列｛斯｝中，a2=3,前5項(xiàng)和S5=10,則數(shù)列｛6｝的公差為一.

14.為落實(shí)中央“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某學(xué)校制訂

了“生活、科技、體育、藝術(shù)、勞動(dòng)”五類課程，其中體育課程開設(shè)了“籃球、足球、排球、

乒乓球、羽毛球”五門課程供學(xué)生選修.甲、乙兩名同學(xué)各從體育課程中選擇一門課程，則兩

人選擇課程相同的概率是—.

15.已知圓C的圓心在直線x—2y-3=0上，且過點(diǎn)4(2,—3)、5(-2,-5),則圓C的一般方

程為—.

16.已知a=呼，b=gc=g-與烏則a，b,c的大小關(guān)系是_.

327T96

三、解答題(本大題共7小題，共82.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

在AABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且兒osC=2ccosB.

⑴若tanC=2,求tanA；

(2)若c=2,求△ABC面積的最大值.

18.(本小題12.0分)

如圖，一半圓的圓心為0,AB是它的一條直徑，AB=2,延長(zhǎng)4B至C,使得BC=0B,設(shè)該

半圓所在平面為a,平面a外有一點(diǎn)P,滿足平面POCJ■平面a,且。P=CP=遮，該半圓上

點(diǎn)Q滿足PQ=\/6.

(1)求證：平面POQ1■平面POC；

(2)若線段CQ與半圓交于R,求三棱錐。-PQR的體積.

19.（本小題12.0分）

近年來，美國(guó)方面泛化國(guó)家安全概念，濫用國(guó)家力量，不擇手段打壓中國(guó)高科技企業(yè).隨著貿(mào)

易戰(zhàn)的不斷升級(jí)，我國(guó)內(nèi)越來越多的科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力量.為了不受制于人,

我國(guó)某新能源產(chǎn)業(yè)公司擬對(duì)智能制造行業(yè)的“工業(yè)機(jī)器人”進(jìn)行科技改造和升級(jí)，根據(jù)市場(chǎng)

調(diào)研與模擬，得到科技升級(jí)投入億元）與科技升級(jí)直接受益y（億元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表：

序號(hào)123456789101112

X2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當(dāng)0<xW17時(shí)，建立了y與x的兩個(gè)回歸模型；

;

模型①：y=4.1%+11.8模型②：y=21.3V%-14.4-

當(dāng)x>17時(shí)，確定y與x滿足的線性回歸方程為;=o,7x+a-

（1）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當(dāng)0<xW17時(shí)模型①、②的相關(guān)指數(shù)R2的大小，并選擇

擬合精度更高、更可靠的模型，預(yù)測(cè)對(duì)“工業(yè)機(jī)器人”科技升級(jí)的投入為17億元時(shí)的直接受

益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=4.1%+11.8y=21.3V%—14.4

7八

（

2%-%）2182.479.2

i=l

2

（附：刻畫回歸效果的相關(guān)指數(shù)R2=1一星?/17?4.1）

（2）為鼓勵(lì)科技創(chuàng)新，當(dāng)科技升級(jí)的投入不少于20億元時(shí)，根據(jù)我國(guó)的智能制造專項(xiàng)政策，國(guó)

家科技、工信等部門給予公司補(bǔ)貼5億元，以回歸方程為預(yù)測(cè)依據(jù)，比較科技升級(jí)投入17億

元與20億元時(shí)公司實(shí)際收益的大小.

20.(本小題12.0分)

22

己知曲線的：x-2nx+y=0(n=1,2,“\).從點(diǎn)。(一1,0)向曲線&1引斜率為以(3>。)的切

線4,切點(diǎn)為

(1)求切點(diǎn)Pi坐標(biāo)和切點(diǎn)2的坐標(biāo)；

(2)已知=x—在(0*)上是遞減的，求證：<V2sin^-.

21.(本小題12.0分)

已知橢圓C：5+胃=l(a>b>0)與橢圓卷+9=1的離心率相同，P(孝,1)為橢圓C上一點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程.

(2)若過點(diǎn)Q(g,0)的直線I與橢圓C相交于4B兩點(diǎn)，試問以48為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)r?

若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為卜=里+2(0為參數(shù))；以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，

(y=2y2sina

x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程：&pcos(0+$=3,點(diǎn)P的極坐標(biāo)

為(3,3且在直線,上.

(1)求曲線C的普通方程和直線1的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線2與曲線C交于4,B兩點(diǎn)，求|P川“PB|的值.

23.(本小題12.0分)

不等式選講已知函數(shù)/(%)=|x4-1|-|x-5|.

(1)求不等式/(%)>3的解集；

117

(2)若=6，且正數(shù)Q,b滿足a+b=m,證明：混+記之

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由題可得4=(一8,0)u(4,+8),B=(-00,4],

???/nB=(—00),

???c*u(anB)=品缶nB)=[o,+8),

故選：D.

先化簡(jiǎn)集合4B,再求Cu(/n8)可得正確選項(xiàng).

本題考查集合基本運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：設(shè)2=a+bi(a,b€R),

則z+z=2Q,z—z=2bi,

所以2(z+z)—3(z—z)=4a—6bi=4+63

解得a=1,b=-1,

所以z=1-K

故選：D.

由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合共舸復(fù)數(shù)的定義求解即可.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共視復(fù)數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：向量W=(l,2),b=?

???五一b=(2,2—t)，2a+h=(1,4+t),

V(a-b)//(2a+b)，

14+t

"2=

解得t=-2.

故選：D.

利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出蒼一方=(2,2-t)，2五+3=(1,4+t)，再由0一另)〃(21+B)，列方

程能求出a

本題考查向量的運(yùn)算，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力,

是基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：高三(1)班德、智、體、美、勞各項(xiàng)得分依次為9.5,9.5,9,9.5,9.25,高三(2)班

德、智、體、美、勞各項(xiàng)得分依次為9,5,9,9.5,9,8.5.

對(duì)于4高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的極差為9.5-8.5=1,A錯(cuò)誤；

對(duì)于兩班的德育得分均為9.5,兩者相等，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：兩班的德育得分相差9.5-9.5=0；兩班的智育、體育和美育得分相差均為9.5-9=0.5,

兩班的勞育得分相差9.25-8.5=0.75,

故兩個(gè)班的勞育得分相差最大，C錯(cuò)誤；

對(duì)于C：高三⑴班得分的平均數(shù)為卷x(9.5+9.25+9.5+9+9.5)=9.35,

高三(2)班得分的平均數(shù)為"x(9.5+8.5+9+9.5+9)=9.1,

v9.35>9.1,

???高三(1)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)比高三(2)班五項(xiàng)評(píng)價(jià)得分的平均數(shù)要高，。正確.

故選：D.

根據(jù)題意可得各班的各項(xiàng)得分，根據(jù)分值逐項(xiàng)分析判斷即可.

本題考查平均數(shù)，極差，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：由約束條件作出可行域如圖,

聯(lián)立｛lx-y+2=0,解得4（一4,-10）,

聯(lián)立圖。之:，解得竭，引

作出直線x+3y=0,由圖可知，平移直線x+3y=0至4B寸，z=%+3y-1有最小值為一35,

至B時(shí)，z=%+3y-l有最大值為卷+蔡一1=7.

z=x+3y-1的取值范圍為[-35,7].

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐

標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：把兩點(diǎn)B（%2，y2）代入拋物線必=2px（p>0）中，

2

得資=2Pxi與賅=2Px2，兩式相乘得（力曠2）2=4pXIX2,

若%逐2=9，則乃丫2=±P2>

2

所以與亞=；是為丫2=-p2的必要不充分條件，

故選C.

把兩點(diǎn)yj,8（刀2，，2）代入拋物線y?=2px（p>0）,然后兩式相乘可求得答案.

本題考查充分、必要條件的判斷，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：根據(jù)題中所給的框圖，可知輸出的S的值：S=0+c嗎+COS:+…+COS型|3=

0+337x（cos+cos當(dāng)+cos等+cos與+cos+cos寫）=337x（寺-1-2+^+1）=0.

故選：A.

根據(jù)程序框圖理解可得：輸出的S的值為有關(guān)余弦值求和問題，在解題的過程中，把握住余弦函數(shù)

的周期性的應(yīng)用，從而求得結(jié)果.

本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是

基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：由于圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)為奇函數(shù)，

對(duì)于4：由/(x)=(ex-e~x)sinx^：f(—x)=(e~x—ex)sin(—x)=(ex-e~x)sinx=f(x),/(x)

為偶函數(shù)，故可排除小

對(duì)于。：由/'(%)=(ex+e-")cosx得：/(—x)=(e~x+ex)cos(-x)=(ex+e~x)cosx=/(x),f(x)

為偶函數(shù)，故可排除。；

由圖知f(x)圖象不經(jīng)過點(diǎn)弓,0)，

而對(duì)于Cf(2)=(e2-e-2)cos2=0,故可排除C；

故選:B.

由奇偶性可排除4D,由特殊點(diǎn)可排除C,即可求解.

本題主要考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】

【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

在A中，a與0相交或平行；在B中，a與￡相交但不一定垂直；在C中，a〃色在。中，推導(dǎo)出m1a,

由m〃。，得到a_L0.

【解答】

解：在4中，ml/,me/?,11a,貝Ua與/?相交或平行，故A錯(cuò)誤；

在B中，ml/,aC0=I,mua,貝?。輆與￡相交但不一定垂直，故B錯(cuò)誤；

在C中，由m/〃，mla,得，1a,又l_LS，則a〃夕，故C錯(cuò)誤；

在。中，/1a,m//l,則m1a,又m〃？，設(shè)過?n的平面與夕交于直線c,得c||m,則c1a,又cu￡,

則a_L/?,故￡)正確.

故選：D.

10.【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.

由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求q,然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.

【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則需=勺3=8,

所以q=2,

%+a2=%+qa1—1,

所以為=

6

a7=a#=jx2=y.

故選：A.

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本題主要考查余弦型函數(shù)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題.

由題意，利用函數(shù)、=4。。5(3%+3)的圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【解答】

解：將函數(shù)/'(%)=C0S(2x-?圖象上的所有點(diǎn)向左平移能個(gè)單位長(zhǎng)度，

得到函數(shù)g(x)=cos(2x+y-^)=cos(2x+y)=sin2x的圖象，故A錯(cuò)誤；

在［一抬］上，2%€［-丁等,g(x)不單調(diào)，故8錯(cuò)誤；

在(0,勺上,2x6(0,當(dāng)，故g(x)的最小值趨于cos>=-)故C錯(cuò)誤；

令％=會(huì)求得g(x)=l,為最大值，可得直線％=*是g(x)的一條對(duì)稱軸，故。正確，

故選：D.

12.【答案】C

【解析】解：由題意，此時(shí)的球與正四面體相切，

由于棱長(zhǎng)為2代的正四面體，故四個(gè)面的面積都是2gx

2V3sinz60°=373

又頂點(diǎn)4到底面BCD的投影在底面的中心G,此G點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的|倍，

又高為2Ksin/60。=3.故底面中心G到底面頂點(diǎn)的距離都是2

由此知頂點(diǎn)4到底面BCD的距離是J(2V3)2-22=2V2

此正四面體的體積是4x2V2x3V3=2V6,

又此正四面體的體積是"xrx36x4,故有「=整=苧.

上面的三棱錐的高為企，原正四面體的高為2vL

所以空隙處放入一個(gè)小球，則這球的最大半徑為a,

V2

?_T,

頁-亞

V2

???a=—■

4

故選C.

棱長(zhǎng)為2舊的正四面體內(nèi)切一球，那么球。與此正四面體的四個(gè)面相切，即球心到四個(gè)面的距離都

是半徑，由等體積法求出球的半徑，求出上面三棱錐的高，利用相似比求出上部空隙處放入一個(gè)

小球，求出這球的最大半徑.

本題考查球的體積和表面積，用等體積法求出球的半徑，熟練掌握正四面體的體積公式及球的表

面積公式是正確解題的知識(shí)保證.相似比求解球的半徑是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】-1

【解析】解：前5項(xiàng)和S5=10,

則55=%詈Q=5a3=10,解得。3=2,

故等差數(shù)列｛6｝的公差d==2—3=-1.

故答案為：-L

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求出。3,再結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案”

【解析】解：由題意可知，基本事件總數(shù)為九=5x5=25,兩人選擇課程相同的包含的基本事件

數(shù)為7H=5,

故兩人選擇課程相同的概率是言=i

故答案為：卷.

根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型及其概率計(jì)算公式，即可求解.

本題主要考查古典概型及其概率計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】x2+y2+2x+4y-5=0

【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)4(2,—3)、5(—2,—5),

所以4B的中點(diǎn)坐標(biāo)為。(0,-4),直線4B的斜率為k=*=”,

由垂徑定理知，直線CC的斜率為一：=-2,

k

所以直線CD的方程為y4-4=—2%,BP2%+y+4=0,

聯(lián)立《竺；學(xué)二:，解得尤=—1,y=—2,即C(-l,-2),

所以圓的半徑為|4C|=’(2+1產(chǎn)+(—3+2尸=V10.

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(久+1產(chǎn)+(y+2)2=10,化成一般方程為/+y2+2%+4y—5=0.

故答案為：%2+y2+2%4-4y—5=0.

先求出線段的中垂線所在直線的方程，再將其與已知直線聯(lián)立求得圓心C的坐標(biāo)，及圓C的半徑

\AC\,然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并化成一般方程，即可.

本題考查圓的一般方程的求法，熟練掌握兩條直線的垂直關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵，考

查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

16.【答案】c>a>b

【解析】解：設(shè)/(%)=粵，

則((x)=甯泮，

當(dāng)％e(0,今上，tanx>x恒成立，

則s譏x>xcosx恒成立，

???f(x)<0在(0,今上恒成立，

???函數(shù)f(x)在(0,今單調(diào)遞減，

.71廠

???/■⑴>/?),即等>毅=奈，即a>b,

D3oX,^-LTl

n2-V3sinl27r-6+36一6s譏1

?<-C-a=9一-6-----F=------------W-----------

.<‘.兀V3

sinl<sin-=

?，?c-Q>—6>o,即c>a,

lo

故c>a>b.

故答案為：c>a>b.

構(gòu)造函數(shù)f(%)=要，對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)由bcosC=2ccosB及正弦定理得，sinBcosC=2sinCcosB,

所以￡an8=2tanC=4,

tanB+tanC4+2_6

因?yàn)?+B+C=TT,所以tcmA=-tan(B+C)

1—tanBtanC1-4x2―7

(2)由(1)知,tanB=2tanC,

則一72：cosBsinCcosC=-r===

設(shè)tcmB=2tanC=2x>0,sinB==-7==,=-7==,f

7>/4AMLJ/+JV?TF

由正弦定理知，熹=肅，

所以△ABC血積S=gbcsinA=；b?2.sin(B+C)=:+1?(-7====,+/1?/:)=

22vV4x2+1V4x2+1Vx2+1v4x2+lVX2+1

12x_1212

菽干=工口<7岸=3,當(dāng)且僅當(dāng)4x=%即.次寸，等號(hào)成立，

Xv

所以△ABC面積的最大值為3.

【解析】(1)結(jié)合正弦定理與同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，可得tcmB=2tanC=4,再由兩角和的正

切公式，展開運(yùn)算，得解；

(2)設(shè)tcmB=2tcmC=2x>0,由同角三角函數(shù)的關(guān)系式求得s譏B,cosB,sinC和cosC的值，再

利用正弦定理，用含x的式子表示出b,然后結(jié)合三角恒等變換公式與基本不等式，得解.

本題考查解三角形，熟練掌握正弦定理，兩角和差公式，基本不等式是解題的關(guān)鍵，考查邏輯推

理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

18.【答案】（1）證明:連接PB,???OP=CP,OB=CB,：.PBLOC,.........................................（1分

）

又???平面POC1平面a,平面POCn平面a=0C,PB1a,???PB1OQ.............................（2分）

AOP=V5,0Q=1,PQ=V6，OP2+OQ2=PQ2,

■■■PO1OQ,OQ_L平面POC,y.ABU平面POC,???OQ1AB,..........（4分）

由平面POC1?平面a,且交于AB,.?.OQJ_平面POC,

5LOQ故平面POQ_L平面POC.....................（6分）

（2）解：過點(diǎn)。作OD1QR于。，則。為QR的中點(diǎn)，

^.Rt^COQ^t■■■^OCxOQ=^CQxOD,即：。。=等.............（8分）

RQ=2yj0Q2-0D2=詈，........................（9分）

c1nc八八12V52\/52nZ\\

?，?SAORQ='RQx。。=2x-yX虧=￡....................（10分）

又rPB=y/OP2-OB2=2，

S

VO-PQR=VP-OQR-JAOQRxPB=§xmx2=訪.............（12分）

【解析】(1)連接PB,證明PB1OC,PB1OQ,推出P。1OQ,得到OQ_L平面POC,推出。Q1AB,

證明OQ1平面POC,即可證明平面POQ_L平面POC.

(2)過點(diǎn)。作。D1QR于。，則。為QR的中點(diǎn)，利用％_PQR=VP-OQR求解即可.

本題考查直線與平面垂直的判斷定理的應(yīng)用，幾何體的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中

檔題.

19.【答案】解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,

182.4、79.2

所以U~~(飛>而~z=72，

￡品優(yōu)一切工品仇一y)

-182.479.2

故1-----；---------^~27<1-----3---------^-7,

取E/Li(y,-y)^=1(y-yy

可見模型①的相關(guān)指數(shù)居小于模型②的相關(guān)指數(shù)彩,

所以回歸模型②的擬合效果更好,

所以當(dāng)x=17億元時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為:

y=21.3xV17-14.4?21.3x4.1-14.4=72.93億元；

(2)當(dāng)x>18時(shí)，由己知可得，x=1x(21+22+23+24+25)=23,

y=1x(68.5+68+67.5+66+66)=67.2,

所以a=工-0.7x=67.2+0.7X23=83.3'

所以當(dāng)x>17時(shí)，y與x的線性回歸方程為y=_0,7x+83.3，

當(dāng)x=20時(shí)，科技升級(jí)直接收益的預(yù)測(cè)值為y=_o,7x20+83.3=69.3億元，

當(dāng)x=20億元時(shí)，實(shí)際收益的預(yù)測(cè)值為69.3+5=74.3億元〉72.93億元，

所以技術(shù)升級(jí)投入20億元時(shí)，公司的實(shí)際收益更大.

【解析】(1)利用表格中的數(shù)據(jù)，判斷模型①的相關(guān)指數(shù)號(hào)與模型②的相關(guān)指數(shù)賬的大小關(guān)系，

即可確定回歸模型，然后將x=17代入回歸模型計(jì)算即可；

(2)先求出樣本中心，利用公式求出:，進(jìn)而得到%>17時(shí)的線性回歸方程，將尤=20代入求解，

然后進(jìn)行比較即可.

本題考查了線性回歸方程的求解和應(yīng)用，要掌握線性回歸方程必過樣本中心這一知識(shí)點(diǎn)，考查了

邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于中檔題.

22

20.【答案】解：⑴當(dāng)n=l時(shí)，J：x-2x+y=0,直線小y=^(x+1),

聯(lián)立解得與專務(wù)

設(shè)直線Zn：y=kn(x+1),聯(lián)立/一2n%+y2=o,

得(1+k^)x2+(2kn-2n)x+k]=0,

則由△=(),即△=(2Q-2n)2-4\(1+必)=0,得%=衣黑(負(fù)值舍去)，

可得=潦=3,%="1+XJ=嚕^

入，rinV2n+l.

證明：（2）:包=匠二段，

2n+1

'/ynNQi+期

又/（%）=%—V^sbix在（0*）上遞減，

.??x<&s出％在（0,1）上恒成立.

又忌：.忌i<&sin忌^成立，

即乒<缶心

<1+如yn

【解析】（1）寫出直線匕，，九的方程，分別與曲線G，的聯(lián)立即可求得切點(diǎn)P］坐標(biāo)和切點(diǎn)心的坐標(biāo)；

（2）求得資=［鼻=jm，說明J』€（o,力，再由f（x）=x—應(yīng)S譏x在（0,9上是遞減的證

明結(jié)成立.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21.【答案】解：（1）、?橢圓方程為9+4=1,

ax-2V2.瓦=2,q=\8-4=2,離心率e=言=5=亨

在橢圓C：馬+馬=l(a>b>0)中，e=￡=叵￡=

baaa

2,化簡(jiǎn)得。2=2爐，

2

???P修,1）在橢圓C：卷+2=l（a>b>0）上,

?U2bz+』屋=1,?,2二/+2々d=1，

/.b2=1,。2=2,

.??橢圓C：%2+^-=1；

（2）當(dāng)直線I的斜率為0時(shí)，線段AB是橢圓的短軸，

以4B為直徑的圓的方程為/+丫2=1,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線，的方程為x=/代入/+1=1，得、=士*

以48為直徑的圓的方程為（x-/+V=導(dǎo),

令y-0,可得x——1,

由此猜想存在7(-1,0),使得以力B為直徑的圓是經(jīng)過定點(diǎn)T(一1,0),

證明如下：

當(dāng)直線/的斜率不為0且斜率存在時(shí)，設(shè)直線〃x=my+%

x=my+1

23,消去x并整理得：

2!222

(m+^)y+1my-1=0,4=^m+4(m+1)-1>0,

設(shè)4(%i，%)、8(*2,、2)，

2m8

則為+為=一曰，%y2=-E，

,1,,1,,、，22m2,2

x+x=my+-+my+-=+y)+o=-i；+辛

121323233(mz2+2)$

2

X1X2=(my1+1)(my2+1)=my1y2+gm(yi+y2)+5

_8m22m21_10m21

—9(m2+1)9(m2+1)§-9(源+務(wù)中

?：TA-TB-(%1+1,%)-(X2+l,y2)

=(%+1)(X2+1)

1

=XXX2+X1+x2++yi?2

10m2,12m2,2,r8

9(m2+1)93(m2+1)39(m2+1)

=_16降+8+至=0

9(m2+i)9，

TA1TB,