2023年高考數(shù)學(xué)第07講 直線的傾斜角與斜率

第07講直線的傾斜角與斜率、直線的點方向式方程與點法向

式方程

一、知識概要

1直線的傾斜角

一條直線/向上的方向與X軸的正方向所成的最小正角叫作這條直線的傾斜角.當(dāng)直線/與X軸

平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為。

直線的傾斜角a的取值范圍是［0,兀）.

2直線的斜率

直線/的傾斜角的正切叫作直線/的斜率.

直線的斜率常用攵表示，即左=tana.

若已知直線的方向向量〃=（"/）,則左=：（“H0）.

若已知直線的法向量〃=（。功），則左=一￡（6力0）.

3斜率公式

p

給定兩點片（玉,y）,6（x2,%），玉。%，經(jīng)過6,2兩點的直線的斜率公式為k="二M.

4直線的點方向式方程與點法向式方程

名稱已知條件方程說明

工一汽_y_yo

點方向式點P（?io，）o）及方向向量［=（“，加u2+vz7^0

uV

點法向式點P（zo，y＞）及法向量克=Q,6）a（工一工。）+6（y—了（））=0a2+/KO

二、題型精析

【例1】⑴已知3點A（0,5）,5（5,0）,。（＜一3）,過點A的直線/與線段相交，試求直

線/的斜率左和傾斜角a的取值范圍；

（2）判斷以A（l』），8（3,2）,C（T,5）為頂點的三角形的形狀.

【策略點擊】

第⑴問，思路一是利用構(gòu)造點T所在的線段束求直線AT（即/）的料率，實質(zhì)是構(gòu)造新的函數(shù)

%=/?）并利用函數(shù)/?）的單調(diào)性求解，在求得料率之后根據(jù)斜率的變化范圍進(jìn)而求得傾斜

角的變化范圍;思路二是充分利用圖形的直觀性，從直線/的動態(tài)變化來求左的取值范圍，同時

也求得傾科角的變化范圍.第⑵問，利用直線的斜率判斷三角形邊的位置關(guān)系，可先求出所在直

線的料率，再依據(jù)涂率關(guān)系，判斷三角形的形狀.

解:（D【解法一】

由題設(shè)知CB=（9,3）為直線CB的一個方向向量，直線的方程為平=1，即

x—3y—5=0.

在線段CB:x—3y—5=0（—3效/0）上任取一點T（3r+5,f）,te[—3,0]聯(lián)結(jié)AT,當(dāng).工一（

時，直線AT的斜率即為左，"=3/+5=1-3（3/+5]

設(shè)k=f（。，已知一^^在（一8,-（-1,+8）上分別是增函數(shù).

故％=/（。在一3,-|）3（-|,0上分別為增函數(shù).

又1=—3時，攵=2;1=0時左=—1.

故當(dāng)，w-3,—時，k..2;當(dāng)7w1一§,0時，K,—1.

:.k的變化范圍為攵￡（-8,—l]u[2，+8）?

當(dāng)女時，傾斜角口￡[5,彳；

當(dāng)左￡[2,+8）時，傾斜角aearctan2,^

TT

當(dāng)人不存在時，傾斜角a=一.

2

【解法二】

如圖2—1所示，直線/過定點4（0,5）,心°=:三號=2,

L=?=—L

AB0-5

當(dāng)直線/從AC處繞點N逆時針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸時,

圖2-1

斜率%由2增大趨近于+8,

當(dāng)直線/從A3處繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸時,

斜率%由-1減小趨近于-8.的變化范圍為4€（-8,-1]u[2,+co）.

7t34,71]

當(dāng)左€（一?,—1]時，傾斜角ae；當(dāng)Ze[2,+oo）時，傾斜角aearctan2,—;

萬'彳2

rr

當(dāng)人不存在時，傾斜角a=二.

2

13

(2)kAB=—,kAC——2,kBC=——..kAlj-kAC=-1,..AB.LAC.

又|AB國aq,.?.三角形為直角三角形.

【例2】（1）已知3x+5y+14=0,其中xe[—3,2],求若的最小值;

（2）已知2x+3y—6=0,且掇/3,求上的最大值和最小值.

x

【策略點擊】

第Q）問，求線段上的.點與點P（—l,—2）連線料率的絕對值，解題時要抓住線段端點并注意當(dāng)傾

科角變化時料率的變化情形.第⑵問，如何把一個代數(shù)問題疏予幾何背景，實現(xiàn)曲線與方程的溝

通是解析幾何問題破解的一種重要思路，不同的溝通可以產(chǎn)生不同的解法，但實質(zhì)都是數(shù)形結(jié)

合思想方法的靈活運用.

【解】

(1)由已知得線段3x+5y+14=0,1W一3,2］的兩個端點4(—3,—1),B(2,T),而巳丁可

以看作線段A8上的點與點(-1,-2)連線斜率的絕對值.

?2

記P(—1,-2),則左小=一1，kpB=一飛.

故當(dāng)3x+5y+14=0,xe［-3,2］時，左=^!，晨一：或左…一；.

??八當(dāng)即普的最小值W

(2)【解法一】

如圖2—2所示，方程2x+3)—6=0表示直線A3,把

%=1與/=3代入2%+3曠一6=0,

4

得M=§，%=。?

2x+3y-6=0且1毅Ik3表示以8(3,0)為

端點的線段，工是直線。P的斜率，其中。是坐標(biāo)原點，P是線段AB上的任意一點，用左表

X

y4

示斜率，2的最大值、最小值分別為人3=彳，30.

x3

【解法二】

2

2x+3y—6=0且1釜/3可化為y=—§x+2（l領(lǐng)k3）.

領(lǐng)k3）.①

2

如圖2-3所示，函數(shù)y=—（1勃k3）是減函數(shù)，它的最大值、

x

最小值分別是［2］=2,②⑶=3.③

1X人axJ人in3

由①③③可知，上的最大值、最小值分別是

X

2c4

---F2=—=+圖2-3

X人/max33^L-tr°

方法提煉一

⑴斜率％是一個實數(shù)，每條直線都存在唯一的傾斜角，但并不是每條直線都存在斜率.

⑵當(dāng)傾斜角二=0時,斜率女=0;當(dāng)時，女〉0;當(dāng)［=、時，左不存在;當(dāng)ae■，兀

時，k<Q.

arctank,（女〉。）,

⑶若已知直線的斜率為k,則其傾斜角a=，0,（左=0）,

it+arctank.（k<0）.

⑷直線的斜率可以用來描述直線的方向，要特別注意正切函數(shù)攵=tana在［0,兀）上并不是單調(diào)

的，因此當(dāng)已知斜率左的取值是連續(xù)區(qū)間時，傾斜角a的取值范圍有時是斷開的兩個區(qū)間，求

傾斜角a的取值范圍的一般步驟是:①求出斜率左=tane的取值范圍;②利用三角函數(shù)的單調(diào)性

借助圖像，數(shù)形結(jié)合，確定傾斜角a的取值范圍.

【例3】（1）求過點4（—2,5）且平行于直線4：4》—3y一9=0的直線方程；

（2）求過點8（3,-4）且垂直于直線/2：3犬+7曠一6=0的直線方程；

⑶已知ABC,4（3,2）,8（9,—8）,C（—1,4）,試求.ABC的外心。的坐標(biāo)；

（4）有兩條直線它們的方向向量均為。,一2）,另有兩條直線44，它們的法向量均為

（1,-2）,其中4與4交于點（2,T）,4與乙交于點（2,4）,求44,4/4的直線方程.

【策略點擊】

對于第Q）問和第（2）問，由直線/:ar+/?y+c=0的一個法向量為”=,一個方向向量為

d=（—b,a）,根據(jù)此條件可求出與直線/平行或垂直的直線方程,對于第⑶問，_ABC的外心0

是中垂線交點，易求得3條中垂線方程（用點法向式），再通過解方程組求外心坐標(biāo).對于第⑷問，

確定直線需要兩個獨立條件（位置和方向），而題設(shè)中兩個條件是具備的，求之極易.

【解】

（1）4=（4,-3）是4的一個法向量，也是所求的與4平行直線的法向量，由點法向式方程得所求

直線方程是4（x+2）-3（y-5）=0,即4x—3y+23=0.

⑵4=（3,7）是L的一個法向量，也是所求的與4垂直直線的一個方向向量，由點方向式方程

得所求直線方程是一=皇，即7x—3y—33=0.

⑶設(shè)點。,分別為A5,5C,C4的中點，3條中垂線方程分別為/“Jg，由中點坐標(biāo)公式知

:D（6,-3）,E（4,-2）,F（1,3）.

A5=（6,—10）為直線4的一個法向量，由于直線4經(jīng)過點。（6,—3）,

直線4的點法向式方程為：6（x—6）—10（y+3）=0,即3x—5y-33=0；同理可知，直線乙的

點法向式方程為：一10。―4）+12（丁+2）=0,即5n一6），-32=0；直線&的點法向式方程為

:4（x-l）-2（y-3）=0,即2x-y+l=0.

由一ABC三邊的垂直平分線交于同一點易得o",-：）.

⑷由方向向量4=（1,一2）及直線上點（2,-4）知：，的點方向式方程為三2=券,即

1—2

2x+y=0.同理可知的點方向式方程為：三2=哼,即2x+y-8=0.由法向量

1—2

〃=（1,—2）及直線上點（2,—4）知：4的點法向式方程為：（x—2）—2（y+4）=0,即

x-2y-10=0.同理可知:4的點法向式方程為:（x—2）—2（y—4）=0,即x-2y+6=0.

方法提煉二

（1）直線的法向量和方向向量的關(guān)系互相轉(zhuǎn)化：

直線的一般式方程以+6y+c=0中，的系數(shù)可構(gòu)成直線的一個法向量〃=（。力），也可構(gòu)

成直線的一個方向向量d=（—"。）；

(2)與直線/:av+加+c=0平行的直線可以統(tǒng)一寫成以+制+j=0的形式;

(3)與直線/:dx+打+c=。垂直的直線可以統(tǒng)一寫成bx-ay+c2=0的形式.

三、易錯警示

【例】直線/過不同的兩點A(cos6,sin%),5(0,1),求直線/的傾斜角a的取值范圍.

sin%-1-cos26^

【【錯解】一】:tana==—cosOw[―1,1].

cosff-0cosff

0?a＜肛.?.直線/的傾斜角a的取值范圍是：aG

TT

H錯解】二】：在上述【解法一】中，還要考慮cos。=0的情形，此時a=萬.故tana不存在.

..?直線/的傾斜角a的取值范圍是:a￡0,—D.

【評析及正解】

上述【錯解】中討論了cos6=0時的情況，但此時點A的坐標(biāo)也是(0,

1),與B,點重合，可見cosOwO,由此tanaw0,從而aw0,因此正

確的結(jié)果應(yīng)是a0，Wu彳,4J.本例還可以運用數(shù)形結(jié)合法求解:

如圖2—4所示，點A的軌跡是拋物線丁=一%2+1(0＜兇,，1),直線/的

傾料角a的取值范圍應(yīng)滿足＜tana,,kRA或kRA?tana＜kRA.

7C..3乃c(八兀7134)

因此0<a,、—或—,，a<7c、即aw|0,—D

44I4

(注:此處就不再另附正確解法的具體步聚)

四、難題攻略

【例】已知以點E(0,4)為中心的正方形A8CD的頂點，按逆時針方向排列，且％＞4,

|AB|=|V2,對角線8。所在直線的斜率為研=：下(10,4)為定點，過動點P&0)作直線

PQ,使kg。+嚷=0.

若直線尸。與正方形ABC。的邊界有公共點，求實數(shù)f的取值范圍.

【破解析疑】

本題中P,Q都是動臭，P在x軸上移動，Q在正方形邊界上移動，解決此題最關(guān)鍵的是運用化

歸思想，把直線PQ與正方形邊界有公共，點轉(zhuǎn)化為與正方形對角線BO有公共點，繼而又轉(zhuǎn)化

為求直線滿足某種傾斜程度的條件，通過解不等式求，的取值范

圍，在化歸過程中，數(shù)形結(jié)合化"形"為"數(shù)”，通過對“數(shù)”

的求解完成對“形”的刻畫，非常精彩.

4

【解】如圖2—5所示，易得直線8。的方程為＞=§x+4,

設(shè)點。的坐標(biāo)為0（xgx+4）,由四=|正知，

|班=；|明考.網(wǎng)=|.

由此得（X—0）2+.解得

8,16?,_4

而可'叨=—可7刁,又稱=_而'

4

知kpQ+kpF0,故kpQ

t-10

直線尸。與正方形ABC。邊界有公共點的充要條件是:直線尸。與線段8。有公共

點,故效kpQkpB＜0、從而得_3（；匕）刃二0＜。，

即-6（1+1）轟*（1-10）—3（Z—1）,解得m麴）-y.

~1743~

即實數(shù)/的取值范圍為—.

五、舉一反三

1.⑴分別在X軸和直線y=x上各找一點民C,使它們與點4（4,2）組成的

三角形的周長最短；

⑵已知。為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（4,2）,P為線段0A的垂直平分線上一

點，若20P4為鈍角，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍；

⑶如圖2-6所示，P是直線3x-y=0上位于第一象限的點，M（3,2）為

一定點，直線QM交x軸正半軸于點面積的最小值及此時直線PQ的方程.

【解】

⑴易知點4（4,2）關(guān)于x軸的對稱點A（4,-2）點4（4,2）關(guān)于直線y=x的對稱點A,（2,4）.

AA=（—2,6）,直線442的方程為^^=?.即*+k10=0.

—26

3x+y-10=0y-x55

由，得由??得C

y=03x+y-10=02,2

⑵OA=（4,2）為。4垂直平分線I的一個法向量，又/過04的中點（2,1）,

故/的方程為4（x—2）+2（y_l）=0,即2x+y—5=0.

點P在/上，可設(shè)P（x,-2x+5）,PA=（4—x,2x-3）,PO=（—x,2x-5）,

.?.NPO=（4—祖一x）+（2x—3）（2x—5）=5/-20x+15.

PA-PO5x"—20x+15

又ZOPA為鈍角，故cos/OPA=?—---1=-一^r一---1~-<0.

附n叫n「。|

解得I<x<3,又xw2,否則尸（2,1）恰為0A中點，與NOPA為鈍角矛盾，故點P橫坐標(biāo)

xe（l,2）。（2,3）.

⑶由點P在直線3x-y=0上且位于第一象限，可設(shè)P（a,3a）（a>0）.

又設(shè)點Q&0）在x正半軸上j>0.

而MP=（a-3,3。-2）為直線MP的一個方向向量,MP方程:、|=卷二方