拋物線知識點與性質(zhì)大全

.Word資料拋物線與方程【知識講解】1、定義平面內(nèi)，到定點的距離與到定直線距離相等的點的軌跡（定點不在定直線上）.其中定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準(zhǔn)線.【注】若定點在直線上，則軌跡為過該點垂直于直線的一條直線.2、拋物線的方程及其簡單性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程3、通徑過拋物線的焦點作直線軸，交拋物線于兩點，弦長，此時的弦長稱為通徑，此為所有的焦點弦中最短的弦.4、焦點弦的性質(zhì)（1）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，則①，；②定值，定值；③定值；④.（2）過拋物線的焦點作傾斜角為（斜率為）的直線交拋物線于（在上方）兩點，則①；②；③.（3）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，設(shè)中點為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則①；②；③；④；⑤；⑥以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，切點即為；⑦以為直徑的圓與軸相切；⑧；；⑨.（4）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，分別過作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，準(zhǔn)線與軸交于點，為坐標(biāo)原點，則①；②三點共線；③三點共線；（5）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，線段的垂直平分線交軸于點，則.（6）過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為準(zhǔn)線上的一動點，且直線、、的斜率均存在，則直線、、的斜率成等差數(shù)列，即.5、過點的直線交拋物線于兩點，則①定值；②定值；③；④時，定值.6、設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點，若，則.【典型例題】例1、已知動點的坐標(biāo)滿足方程，則動點的軌跡是（）A．橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓【變式】已知動點的坐標(biāo)滿足方程，則動點的軌跡是（）A．橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.直線例2、點與點的距離比它到直線的距離小2，則的軌跡方程為_______.【變式】動圓與定直線相切且與定圓:相外切，則動圓圓心的軌跡方程為_______.【變式2】到軸的距離比到點的距離小2的動點的軌跡方程為_______.例3、拋物線的焦點坐標(biāo)為_______.【變式】1【2014上?！咳魭佄锞€的焦點與橢圓的右焦點重合，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為_______.【變式2】拋物線恒過定點，的準(zhǔn)線為軸，則的頂點的軌跡方程為_______.例4、在拋物線上一點，使它到定點和焦點的距離之和最小，并求出距離之和的最小值.【變式1】設(shè)是拋物線上的一個動點，則點到直線與點到軸的距離之和的最小值為________.【變式2】設(shè)是拋物線上的一個動點.（1）求點到點的距離與點到直線的距離之和的最小值；（2）求點到直線的距離與點到拋物線焦點距離之和的最小值.【變式3】已知，點的坐標(biāo)為，點、分別在圖中拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，那么的周長的取值范圍為．例5、已知拋物線上存在三點，且的重心為拋物線的焦點為，則_______.【變式】已知拋物線的焦點為，若該拋物線上存在四點、，滿足，則_______.例6、直線過，且與拋物線交于兩點，且，則直線的方程為_________;_______.例7、拋物線的焦點為,若過點的直線與拋物線相交于兩點,若,則直線的斜率為_______.【變式】【2014新課標(biāo)】已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，是上一點，是直線與的一個交點，若,則_______.例8、過拋物線的焦點作弦，點、，且，則_____.【變式1】已知拋物線關(guān)于軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，若點到該拋物線焦點的距離為，則_____.【變式2】過拋物線的焦點作弦，點、，且，則重心的橫坐標(biāo)為_____.【變式3】過拋物線的焦點作弦，點、，且，則_____.例9、拋物線的動弦長為，求弦中點到軸的最短距離.【變式】拋物線的動弦長為，求弦中點到軸的最短距離.例10、若拋物線上存在關(guān)于直線對稱兩點和，求實數(shù)的取值范圍.例11、【2014四川】已知是拋物線的焦點，點，在該拋物線上且位于軸的兩側(cè)，（其中為坐標(biāo)原點），則與面積之和的最小值是____.例12、已知拋物線，過定點作兩條互相垂直的直線,與拋物線交于兩點，與拋物線交于兩點，設(shè)的斜率為，若已知弦的中垂線在軸上的截距為，則弦的中垂線在軸上的截距為__________.例13、設(shè)為拋物線準(zhǔn)線上的任意一點，過點作曲線的兩條切線，設(shè)切點為.直線是否過定點？如果是，求出該定點，如果不是，請說明理由.例14、過拋物線的焦點作相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點與交于點．證明：無論如何取直線,都有為一常數(shù).例15、拋物線的焦點恰是橢圓的一個焦點，過點的直線與拋物線交于點.（1）求拋物線的方程；（2）是坐標(biāo)原點，求的面積的最小值；（3）是坐標(biāo)原點，證明：為定值.【變式1】已知定點，直線，點為坐標(biāo)平面上的動點，過點作直線的垂線，垂足為點，且．設(shè)動點的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線有兩個不同的交點、，求證：；（3）記與的夾角為（為坐標(biāo)原點，、為（2）中的兩點），求的取值范圍．【變式2】已知拋物線，直線交此拋物線于不同的兩個點、，且.（1）證明和均為定值；（2）證明直線恒過定點；（3）求的中點的軌跡方程；（4）過原點作的垂線，垂足為，求的軌跡方程.（5）對于上除原點外的任意一定點，若仍有，請問是否還有直線恒過定點，若是，請求出定點；若否，請說明理由.【變式3】設(shè)拋物線的焦點為，經(jīng)過點的動直線交拋物線于點，且.（1）求拋物線的方程；（2）若(為坐標(biāo)原點)，且點在拋物線上，求直線傾斜角.（3）若點是拋物線的準(zhǔn)線上的一點，直線的斜率分別為.求證：當(dāng)為定值時，也為定值.例16、在平面直角坐標(biāo)系中，點到點的距離比它到軸的距離多1，記點的軌跡為.（1）求軌跡為的方程（2）設(shè)斜率為的直線過定點，求直線與軌跡恰好有一個公共點，兩個公共點，三個公共點時的相應(yīng)取值范圍.例17、已知拋物線，直線交此拋物線于不同的兩個點、．（1）當(dāng)直線過點時，證明為定值；（2）如果直線過點，過點再作一條與直線垂直的直線交拋物線于兩個不同點、．設(shè)線段的中點為，線段的中點為，記線段的中點為．問是否存在一條直線和一個定點，使得點到它們的距離相等？若存在，求出這條直線和這個定點；若不存在，請說明理由．例18、動圓過定點，且與直線相切，其中.設(shè)圓心的軌跡的程為（1）求；（2）曲線上的一定點(0)，方向向量的直線（不過P點）與曲線交與A、B兩點，設(shè)直線與的斜率分別為，，計算；（3）曲線上的兩個定點、，分別過點作傾斜角互補的兩條直線分別與曲線交于兩點，求證直線的斜率為定值.例19、已知拋物線和，過拋物線上一點作兩條直線與相切與兩點，圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為.(1)求拋物線的