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試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆福建省廈門市廈門二中高三上學期第三次階段考試數(shù)學試題一、單選題1.已知集合,,則(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】先求出集合,利用集合的交集運算進行求解即可【詳解】由已知可得,,所以.故選:C2.若,則=(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算及共軛復數(shù)的概念求解.【詳解】由已知可得,所以,故選:D3.點在平面上以速度作勻速直線運動,若4秒后點的坐標為,則點的初始坐標為(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)題意,列出方程組,即可求解.【詳解】設點的初始坐標為,因為點在平面上以速度作勻速直線運動,若4秒后點的坐標為,可得,解得,即點的初始坐標為.故選:B.4.已知是定義在上的函數(shù),那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則在上的最大值為,若在上的最大值為,比如,但在為減函數(shù),在為增函數(shù),故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增,故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件,故選:A.5.已知,則(
)A. B. C. D.-【答案】D【分析】根據(jù)角的變換及二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】因為,所以.故選:D6.在四棱錐中,底面為正方形,,則的面積為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】先在中利用余弦定理求得,,從而求得,再利用空間向量的數(shù)量積運算與余弦定理得到關(guān)于的方程組,從而求得,由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】連結(jié)交于,連結(jié),則為的中點,如圖,
因為底面為正方形,,所以,在中,,則由余弦定理可得,故,所以,則,不妨記,因為,所以,即,則,整理得①,又在中,,即,則②,兩式相加得,故,故在中,,所以,又,所以,所以的面積為.故選:C.7.如圖所示,正方形ABCD的邊長為3cm,O為AB的中點,點M從正方形邊上的點A出發(fā),沿順時針方向運動,速度為2cm/s,點N從正方形邊上的點B出發(fā),沿逆時針方向運動,速度為1cm/s.記A={線段OM在正方形ABCD內(nèi)掃過的區(qū)域},B={線段ON在正方形ABCD內(nèi)掃過的區(qū)域}.若M、N同時出發(fā),則當t=4s時,區(qū)域的面積為(
)
A.3m2 B.2cm2C.cm2 D.1cm2【答案】A【分析】畫出圖象,根據(jù)題意確定的區(qū)域,求出面積即可.【詳解】如圖所示,
當時,點走過的路程為,點走過的路程為,的區(qū)域為陰影部分,其中,,所以的區(qū)域的陰影部分面積為,故選:8.已知函數(shù)的定義域為,是奇函數(shù),為偶函數(shù),當時,,則以下各項中最小的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】利用已知條件可知、,進而得到,即周期為8,應用周期性結(jié)合已知區(qū)間解析式,即可知、、、中最小值.【詳解】是奇函數(shù),即關(guān)于對稱,的圖象關(guān)于點對稱,即.又為偶函數(shù),即關(guān)于對稱,的圖象關(guān)于直線對稱,即.,,即,函數(shù)的周期為8,,,,,故最?。蔬x:D【點睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)已知奇偶性推導函數(shù)的周期,應用函數(shù)周期求函數(shù)值,進而比較大小,屬于基礎題.二、多選題9.已知實數(shù),滿足,則下列關(guān)系式中恒成立的是(
)A. B.C. D.【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】因為,所以.A:當時,顯然符合,但是不成立,故本關(guān)系式不恒成立;B:在上是增函數(shù),故,故本關(guān)系恒成立;C:當時,顯然符合,但是沒有意義,故本關(guān)系式不恒成立;D:因為在上是增函數(shù),所以,故本關(guān)系恒成立.故選:BD.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性應用,屬于基礎題.10.已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列,其前n項和為,且滿足,則下列結(jié)論正確(
)A. B.C.當時,最小 D.當時,n的最小值為8【答案】ABD【分析】由遞增的等差數(shù)列可知;由結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得;最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式與可求得最值,即可判斷CD【詳解】因為是遞增數(shù)列,所以.因為,所以,所以,所以,故A,B正確;又因為,所以,且為的最小值,故C錯誤;又,故D正確.故選:ABD11.在如圖所示的三棱錐中,已知,,為線段的中點,則(
)A.與垂直B.與平行C.點到點,,,的距離相等D.與平面所成的角大于【答案】AC【分析】A.取AC的中點Q,連接PQ,BQ,根據(jù)P為中點,易得平面判斷;B.由A得到判斷;C.易得平面,則,得到三角形VAC,VBC是直角三角形,再利用直角三角形中線定理判斷;D.由平面ABC,得到是與平面所成的角,再根據(jù),,利用正切函數(shù)的單調(diào)性判斷;【詳解】A.如圖所示:取AC的中點Q,連接PQ,BQ,因為P為中點,則,又因為,則平面ABC,所以平面ABC,則,又,則,所以平面,則,故正確;B.由A知:,故錯誤;C.因為,,,所以平面,則,所以三角形VAC,VBC是直角三角形,由直角三角形中線定理知,點到點,,,的距離相等,故正確;D.由平面ABC知:是與平面所成的角,因為,所以,即,因為,又在遞增,所以,故錯誤;故選:AC【點睛】本題主要考查線線垂直,線面垂直的轉(zhuǎn)化以及線面角問題,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象、邏輯推理的能力,屬于中檔題.12.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的是(
)A.B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.若方程恰有3個實根,則D.若函數(shù)在上有6個零點,則的取值范圍是【答案】BCD【分析】利用函數(shù)的圖象結(jié)合四個選項進行分析,注意函數(shù)在大于0部分的周期性,從而進行選項判斷,即可得到答案.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示:對A,,,所以,故A錯誤;對B,由圖象可知在區(qū)間上是增函數(shù),故B正確;對C,由圖象可知,直線與函數(shù)圖象恰有3個交點,故C正確;對D,由圖象可得,當函數(shù)在上有6個零點,則,所以當時,;當時,,所以的取值范圍是,故D正確.故選:BCD.【點睛】本題考查利用函數(shù)的圖象研究分段函數(shù)的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應用,求解時畫出函數(shù)圖象是求解問題的關(guān)鍵.三、填空題13.已知函數(shù),則.【答案】1【分析】根據(jù)給定條件,把代入,利用指數(shù)、對數(shù)運算計算作答.【詳解】函數(shù),所以.故答案為:114.已知函數(shù),且,則.【答案】【分析】根據(jù)題中已知函數(shù)值與所求函數(shù)值之間的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)的解析式進行求解即可.【詳解】因為,所以,因為,所以.故答案為:.15.已知函數(shù),且,則方程的解為.【答案】3【分析】分類討論和,解方程的解,即可得出答案.【詳解】當時,,解得:,當時,,解得:(舍去),所以方程的解為.故答案為:3.16.已知等差數(shù)列的公差不為0,等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù),若,且是正整數(shù),則.【答案】【解析】運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式,確定的表達式,利用是正整數(shù),是小于1的正有理數(shù),通過驗證的方法可以求解.【詳解】解:由已知,,∵∴,且,∴,∴,又q為小于1的正有理數(shù),∴是一個完全平方數(shù),可得或或或,則(舍)或或(舍)或(舍)∴.故答案為:.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的應用,考查運算能力,是一道中檔題.四、解答題17.已知函數(shù),,且.(1)當時,若的最大值為,求的值;(2)求使成立的的取值范圍.【答案】(1)2;(2)當時,,當時,.【分析】(1)當時,判斷函數(shù)單調(diào)性,找到函數(shù)取最大值時的取值,代入函數(shù)解方程求出的值;(2)討論底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性解不等式.【詳解】(1),當時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,∴當時,有最大值,即,∴;(2),當時,,當時,,綜上,當時,,當時,.【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的值域與最值,是中檔題.18.在,角所對的邊分別為,已知,.(I)求a的值;(II)求的值;(III)求的值.【答案】(I);(II);(III)【分析】(I)由正弦定理可得,即可求出;(II)由余弦定理即可計算;(III)利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值,再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】(I)因為,由正弦定理可得,,;(II)由余弦定理可得;(III),,,,所以.19.已知函數(shù)f(x)=log2.(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),求a的值;(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù),求a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值與最小值的差不小于2,求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)a=0;(2)a≥0;(3)-<a≤-.【分析】(1)由解得,然后檢驗函數(shù)是奇函數(shù)即可;(2)由真數(shù)恒大于0即恒成立可得;(3)由函數(shù)單調(diào)性得,解之可得.【詳解】(1)若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù),則f(0)=0,解得a=0.當a=0時,f(x)=-x=-f(-x)是R上的奇函數(shù),所以a=0為所求.(2)若函數(shù)f(x)的定義域是一切實數(shù),則+a>0恒成立,即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0),故只要a≥0即可.(3)由已知,得函數(shù)f(x)是減函數(shù),故f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),最小值是f(1)=log2.由題設,得log2(1+a)-log2≥2?,解得-<a≤-.【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),掌握對數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的研究方法是解題關(guān)鍵.20.已知數(shù)列是等差數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,設數(shù)列滿足,,求數(shù)列的前項和.【答案】(1)或;(2).【解析】(1)設等差數(shù)列的基本量,根據(jù)條件建立方程組解出,可求解通項公式(2)由數(shù)列的前項和為,可先求出的通項公式(注意分類討論),再求出,再求出的前項和.【詳解】(1)∵,∴,
①∵,∴,
②由①②得:或,當時,.當時,.所以數(shù)列的通項公式為或.(2)∵,∴,,
①,
②①-②得:,,得,,時,不滿足上式,所以,所以時,,當時,滿足上式,所以.【點睛】1、利用基本量,根據(jù)通項公式和求和公式,列出方程組,雖有一定量的運算,但思路簡潔,目標明確;2、給出與的遞推關(guān)系,求,常用思路是:一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系,再求其通項公式;二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系,先求出與之間的關(guān)系,再求.21.如圖,三棱錐中,,,,E為BC的中點.
(1)證明:;(2)點F滿足,求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2).【分析】(1)根據(jù)題意易證平面,從而證得;(2)由題可證平面,所以以點為原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,再求出平面的一個法向量,根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.【詳解】(1)連接,因為E為BC中點,,所以①,因為,,所以與均為等邊三角形,,從而②,由①②,,平面,所以,平面,而平面,所以.(2)不妨設,,.,,又,平面平面.以點為原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:
設,設平面與平面的一個法向量分別為,二面角平面角為,而,因為,所以,即有,,取,所以;,取,所以,所以,
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