2024屆福建省廈門市廈門二中高三上學(xué)期第三次階段考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第Page\*MergeFormat1頁共NUMPAGES\*MergeFormat16頁2024屆福建省廈門市廈門二中高三上學(xué)期第三次階段考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】先求出集合，利用集合的交集運(yùn)算進(jìn)行求解即可【詳解】由已知可得，，所以.故選：C2．若，則=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】由已知可得，所以，故選：D3．點(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的初始坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，列出方程組，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的初始坐標(biāo)為，因為點(diǎn)在平面上以速度作勻速直線運(yùn)動，若4秒后點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，解得，即點(diǎn)的初始坐標(biāo)為.故選：B.4．已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.5．已知，則（

）A． B． C． D．-【答案】D【分析】根據(jù)角的變換及二倍角的余弦公式求解即可.【詳解】因為，所以.故選：D6．在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，

因為底面為正方形，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因為，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.7．如圖所示，正方形ABCD的邊長為3cm，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M從正方形邊上的點(diǎn)A出發(fā)，沿順時針方向運(yùn)動，速度為2cm/s，點(diǎn)N從正方形邊上的點(diǎn)B出發(fā)，沿逆時針方向運(yùn)動，速度為1cm/s．記A={線段OM在正方形ABCD內(nèi)掃過的區(qū)域}，B={線段ON在正方形ABCD內(nèi)掃過的區(qū)域}．若M、N同時出發(fā)，則當(dāng)t=4s時，區(qū)域的面積為（

）

A．3m2 B．2cm2C．cm2 D．1cm2【答案】A【分析】畫出圖象，根據(jù)題意確定的區(qū)域，求出面積即可.【詳解】如圖所示，

當(dāng)時，點(diǎn)走過的路程為，點(diǎn)走過的路程為，的區(qū)域為陰影部分，其中，，所以的區(qū)域的陰影部分面積為，故選：8．已知函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則以下各項中最小的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用已知條件可知、，進(jìn)而得到，即周期為8，應(yīng)用周期性結(jié)合已知區(qū)間解析式，即可知、、、中最小值.【詳解】是奇函數(shù)，即關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即．又為偶函數(shù)，即關(guān)于對稱，的圖象關(guān)于直線對稱，即．，，即，函數(shù)的周期為8，，，，，故最?。蔬x：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)已知奇偶性推導(dǎo)函數(shù)的周期，應(yīng)用函數(shù)周期求函數(shù)值，進(jìn)而比較大小，屬于基礎(chǔ)題.二、多選題9．已知實(shí)數(shù)，滿足,則下列關(guān)系式中恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】因為，所以.A：當(dāng)時，顯然符合，但是不成立，故本關(guān)系式不恒成立；B：在上是增函數(shù)，故，故本關(guān)系恒成立；C:當(dāng)時，顯然符合，但是沒有意義，故本關(guān)系式不恒成立；D：因為在上是增函數(shù)，所以，故本關(guān)系恒成立.故選：BD.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，其前n項和為，且滿足，則下列結(jié)論正確（

）A． B．C．當(dāng)時，最小 D．當(dāng)時，n的最小值為8【答案】ABD【分析】由遞增的等差數(shù)列可知；由結(jié)合等差數(shù)列通項公式可得；最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式與可求得最值，即可判斷CD【詳解】因為是遞增數(shù)列，所以.因為，所以，所以，所以，故A，B正確；又因為，所以，且為的最小值，故C錯誤；又，故D正確.故選：ABD11．在如圖所示的三棱錐中，已知，，為線段的中點(diǎn)，則（

）A．與垂直B．與平行C．點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等D．與平面所成的角大于【答案】AC【分析】A.取AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，根據(jù)P為中點(diǎn)，易得平面判斷；B.由A得到判斷；C.易得平面，則，得到三角形VAC，VBC是直角三角形，再利用直角三角形中線定理判斷；D.由平面ABC，得到是與平面所成的角，再根據(jù)，，利用正切函數(shù)的單調(diào)性判斷；【詳解】A.如圖所示：取AC的中點(diǎn)Q，連接PQ，BQ，因為P為中點(diǎn)，則，又因為，則平面ABC，所以平面ABC，則，又，則，所以平面，則，故正確；B.由A知：，故錯誤；C.因為，，，所以平面，則，所以三角形VAC，VBC是直角三角形，由直角三角形中線定理知，點(diǎn)到點(diǎn)，，，的距離相等，故正確；D.由平面ABC知：是與平面所成的角，因為，所以，即，因為，又在遞增，所以，故錯誤；故選：AC【點(diǎn)睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直的轉(zhuǎn)化以及線面角問題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象、邏輯推理的能力，屬于中檔題.12．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．若方程恰有3個實(shí)根，則D．若函數(shù)在上有6個零點(diǎn)，則的取值范圍是【答案】BCD【分析】利用函數(shù)的圖象結(jié)合四個選項進(jìn)行分析，注意函數(shù)在大于0部分的周期性，從而進(jìn)行選項判斷，即可得到答案.【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示：對A，，，所以，故A錯誤；對B，由圖象可知在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；對C，由圖象可知，直線與函數(shù)圖象恰有3個交點(diǎn)，故C正確；對D，由圖象可得，當(dāng)函數(shù)在上有6個零點(diǎn)，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的取值范圍是，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的圖象研究分段函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，求解時畫出函數(shù)圖象是求解問題的關(guān)鍵.三、填空題13．已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算計算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：114．已知函數(shù)，且，則．【答案】【分析】根據(jù)題中已知函數(shù)值與所求函數(shù)值之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的解析式進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，因為，所以．故答案為：．15．已知函數(shù)，且，則方程的解為．【答案】3【分析】分類討論和，解方程的解，即可得出答案.【詳解】當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：（舍去），所以方程的解為.故答案為：3.16．已知等差數(shù)列的公差不為0，等比數(shù)列的公比是小于1的正有理數(shù)，若，且是正整數(shù)，則.【答案】【解析】運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，確定的表達(dá)式，利用是正整數(shù)，是小于1的正有理數(shù)，通過驗證的方法可以求解.【詳解】解：由已知，，∵∴，且，∴，∴，又q為小于1的正有理數(shù)，∴是一個完全平方數(shù)，可得或或或，則（舍）或或（舍）或（舍）∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算能力，是一道中檔題．四、解答題17．已知函數(shù)，，且.（1）當(dāng)時，若的最大值為，求的值；（2）求使成立的的取值范圍.【答案】（1）2；（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，.【分析】（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)單調(diào)性，找到函數(shù)取最大值時的取值，代入函數(shù)解方程求出的值；（2）討論底數(shù)為的對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.【詳解】(1)，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，有最大值，即，∴；(2)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，，當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的值域與最值，是中檔題.18．在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.19．已知函數(shù)f(x)＝log2.（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實(shí)數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；（3）－<a≤－.【分析】（1）由解得，然后檢驗函數(shù)是奇函數(shù)即可；（2）由真數(shù)恒大于0即恒成立可得；（3）由函數(shù)單調(diào)性得，解之可得．【詳解】（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0，解得a＝0.當(dāng)a＝0時，f(x)＝－x＝－f(－x)是R上的奇函數(shù)，所以a＝0為所求．（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實(shí)數(shù)，則＋a>0恒成立，即a>－恒成立，由于－∈(－∞，0)，故只要a≥0即可．（3）由已知，得函數(shù)f(x)是減函數(shù)，故f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f（1）＝log2.由題設(shè)，得log2(1＋a)－log2≥2?，解得－<a≤－.【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的研究方法是解題關(guān)鍵．20．已知數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的基本量，根據(jù)條件建立方程組解出，可求解通項公式（2）由數(shù)列的前項和為，可先求出的通項公式（注意分類討論），再求出，再求出的前項和.【詳解】（1）∵，∴，

①∵，∴，

②由①②得：或，當(dāng)時，．當(dāng)時，．所以數(shù)列的通項公式為或．（2）∵，∴，，

①，

②①－②得：，，得，，時，不滿足上式，所以，所以時，，當(dāng)時，滿足上式，所以．【點(diǎn)睛】1、利用基本量,根據(jù)通項公式和求和公式，列出方程組,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡潔,目標(biāo)明確；2、給出與的遞推關(guān)系，求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求.21．如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【詳解】（1）連接，因為E為BC中點(diǎn)，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，