新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型精練專題17 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（含解析）

專題17等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和【考綱要求】1、通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用.2、掌握等比中項(xiàng)的概念并會(huì)應(yīng)用，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，了解其推導(dǎo)過(guò)程．3、掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.4、會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．【思維導(dǎo)圖】一、等比數(shù)列的概念【考點(diǎn)總結(jié)】1、等比數(shù)列的概念1．定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式在數(shù)列{an}中，若eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，q為非零常數(shù)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．2、等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a，b的等比中項(xiàng)，這三個(gè)數(shù)滿足關(guān)系式G＝±eq\r(ab).[化解疑難]1．G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．G＝±eq\r(ab)，即等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．2．當(dāng)G2＝ab時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比數(shù)列.3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q(q≠0)，則通項(xiàng)公式為：an＝a1qn－1.[化解疑難]1．在已知首項(xiàng)a1和公比q的前提下，利用通項(xiàng)公式an＝a1qn－1可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng)；2．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，可改寫(xiě)為an＝eq\f(a1,q)·qn.當(dāng)q＞0且q≠1時(shí)，這是指數(shù)型函數(shù).二、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【考點(diǎn)總結(jié)】1、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，前n項(xiàng)和Sn可用下面的“錯(cuò)位相減法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①則qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q).當(dāng)q＝1時(shí)，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.結(jié)合通項(xiàng)公式可得：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))2、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式(1)公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)（q≠1），,na1（q＝1）.))(2)注意：應(yīng)用該公式時(shí)，一定不要忽略q＝1的情況．2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的使用公比q≠1時(shí)，公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)適用于已知a1，q和項(xiàng)數(shù)n，而公式Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)更適用于已知a1，q和末項(xiàng)an，使用時(shí)依據(jù)條件靈活選用．【題型匯編】題型一：等比數(shù)列的定義題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)題型四：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【題型講解】題型一：等比數(shù)列的定義一、單選題1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】將題中兩等式作差可得出SKIPIF1<0，整理得出SKIPIF1<0，由此可計(jì)算出SKIPIF1<0的值.【詳解】將等式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0作差得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，該等比數(shù)列的公比SKIPIF1<0，故選：A.2．（2022·江西南昌·一模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．12 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】取SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，然后可解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)、公比都為2的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.故選：D3．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)二模（文））若數(shù)列SKIPIF1<0對(duì)任意正整數(shù)n都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．17 B．18 C．34 D．84【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推公式SKIPIF1<0，可求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，從而可求出SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式相減，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0時(shí)，得SKIPIF1<0也適合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B．4．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（理））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0為其前n項(xiàng)和.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．20 B．30 C．31 D．62【答案】C【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式得到公比和首項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：C.5．（2022·重慶·一模）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，則下列式子正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式作差得SKIPIF1<0，再求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得數(shù)列SKIPIF1<0從第2項(xiàng)起構(gòu)成以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，求得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入判斷可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0從第2項(xiàng)起構(gòu)成以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正確，B不正確；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正確，D正確，故選：D.6．（2022·廣西廣西·一模（文））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．13 B．15 C．31 D．33【答案】B【解析】【分析】由題意知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，可先求出公比SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和公式給出的SKIPIF1<0做對(duì)比，即可求出SKIPIF1<0，即可求出分別前四項(xiàng)，即可得到前四項(xiàng)和.【詳解】SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B.7．（2022·上海青浦·二模）設(shè)各項(xiàng)均為正整數(shù)的無(wú)窮等差數(shù)列SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，且存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則公差SKIPIF1<0的所有可能取值的個(gè)數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．無(wú)窮多【答案】B【解析】【分析】由已知可得SKIPIF1<0，分析可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的倍數(shù)，且SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0的取值進(jìn)行分類討論，求出SKIPIF1<0的值，并求出對(duì)應(yīng)的SKIPIF1<0的值，即可得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)題意可知，SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0各項(xiàng)均為正整數(shù)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的倍數(shù)，且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，分以下情況討論：①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎題意；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，合乎題意；③若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎題意；④若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不合乎題意；⑤若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時(shí)，SKIPIF1<0是常數(shù)列，且每項(xiàng)均為SKIPIF1<0，合乎題意.綜上所述，公差SKIPIF1<0的所有可能取值的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，解題的關(guān)鍵時(shí)分析出SKIPIF1<0，然后對(duì)SKIPIF1<0的取值進(jìn)行分類討論，驗(yàn)證SKIPIF1<0的值是否滿足題意，即可得解.二、多選題1．（2022·山東濰坊·三模）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列 B．對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0一定是等比數(shù)列【答案】ABC【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，利用等差數(shù)列的定義可判斷AC選項(xiàng)；利用基本不等式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；取SKIPIF1<0可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0.對(duì)于A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0一定是等差數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.題型二：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式一、單選題1．（2022·四川·內(nèi)江市教育科學(xué)研究所三模（文））已知在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．4 C．SKIPIF1<0 D．2SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式代入求解SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求解.【詳解】解：由題意得：設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：A2．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模（理））等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】求得等比數(shù)列的公比SKIPIF1<0，從而求得SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，依題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C3．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模（理））設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為q，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可直接求出.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.4．（2022·河南·三模（理））在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0(

)A．80 B．242 C．SKIPIF1<0 D．244【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比和首項(xiàng)，即可求出SKIPIF1<0，從而求出SKIPIF1<0﹒【詳解】等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故選：B．5．（2022·甘肅·二模（文））正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前7項(xiàng)和SKIPIF1<0(

)A．256 B．254 C．252 D．126【答案】B【解析】【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0公比為q，且q＞0，根據(jù)已知條件求出q，利用等比數(shù)列求和公式即可求SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0公比為q，且q＞0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則q＝2，∴SKIPIF1<0.故選：B.6．（2022·安徽六安·一模（文））標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國(guó)獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式，此表中各行均為正方形“SKIPIF1<0”形視標(biāo)，且從視力5.2的視標(biāo)所在行開(kāi)始往上，每一行“SKIPIF1<0”的邊長(zhǎng)都是下一行“SKIPIF1<0”邊長(zhǎng)的SKIPIF1<0倍，若視力4.0的視標(biāo)邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則視力4.8的視標(biāo)邊長(zhǎng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出答案.【詳解】設(shè)第SKIPIF1<0行視標(biāo)邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，第SKIPIF1<0行視標(biāo)邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0由題意可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0則數(shù)列SKIPIF1<0為首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列即SKIPIF1<0則視力4.8的視標(biāo)邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0故選：D7．（2022·河南·二模（文））將數(shù)列{3n+1}與{9n-1}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則SKIPIF1<0（

）A．319 B．320 C．321 D．322【答案】B【解析】【分析】判斷出SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，求得SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，由此求得SKIPIF1<0的值.【詳解】由題意知，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為9的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B8．（2022·河北唐山·三模）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．SKIPIF1<0 C．32 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列得基本量得運(yùn)算，根據(jù)SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0分析得SKIPIF1<0．【詳解】∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0則SKIPIF1<0故選：A．9．（2022·廣東佛山·三模）已知公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．48 B．32 C．16 D．8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)SKIPIF1<0，作差求出SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，即可得到通項(xiàng)公式，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)楣葹镾KIPIF1<0的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；故選：C10．（2022·貴州畢節(jié)·三模（理））已知正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公比SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，解方程即可求解.【詳解】根據(jù)題意：因?yàn)镾KIPIF1<0，又SKIPIF1<0是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.11．（2022·新疆昌吉·二模（文））數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（

）A．1或3 B．0或2 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，由此求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0，從而求得SKIPIF1<0的值【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，∵SKIPIF1<0構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或2，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或3，故選：A二、多選題1．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為非零常數(shù)），則稱SKIPIF1<0為“等方差數(shù)列”，SKIPIF1<0稱為“公方差”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0是等方差數(shù)列B．若正項(xiàng)等方差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是等比數(shù)列，則SKIPIF1<0C．等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列D．存在數(shù)列SKIPIF1<0既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)等方差數(shù)列定義判斷A，由等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列求SKIPIF1<0判斷B，根據(jù)等方差數(shù)列定義及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷C，由等差數(shù)列及等方差數(shù)列定義，利用反證法判斷D.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不滿足為非零常數(shù)，所以SKIPIF1<0不是等方差數(shù)列，故A錯(cuò)誤；由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0滿足題意，故B正確；設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為常數(shù)，則SKIPIF1<0，但此時(shí)SKIPIF1<0，不滿足題意，故C正確；若數(shù)列SKIPIF1<0既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，不妨設(shè)SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0為非零常數(shù)），SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為常數(shù)列，這與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矛盾，故D錯(cuò)誤.故選：BC2．（2022·山東·煙臺(tái)市教育科學(xué)研究院二模）給出構(gòu)造數(shù)列的一種方法：在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列．現(xiàn)自1，1起進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，2，1，第2次得到數(shù)列1，3，2，3，1，…，第SKIPIF1<0次得到數(shù)列SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算求出SKIPIF1<0的值，運(yùn)用歸納法得到SKIPIF1<0之間的關(guān)系，最后根據(jù)等比數(shù)列的定義和前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，因此選項(xiàng)AB不正確；SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，因此有SKIPIF1<0，因此選項(xiàng)C正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)D正確，故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：通過(guò)計(jì)算得到SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵.題型三：等比數(shù)列的性質(zhì)一、單選題1．（2022·青海·大通回族土族自治縣教學(xué)研究室二模（理））已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為2，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選:D2．（2022·遼寧沈陽(yáng)·三模）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用韋達(dá)定理可得SKIPIF1<0，再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】解：在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩根，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·江西九江·二模）若數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，則SKIPIF1<0(

)A．－2 B．1 C．－1 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)韋達(dá)定理判斷SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的正負(fù)，從而求出求出SKIPIF1<0的正負(fù)，并求出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0即可求出SKIPIF1<0﹒【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0﹒故選：C.4．（2022·四川涼山·二模（文））正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0與正項(xiàng)等差數(shù)列SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．以上都不正確【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和等比數(shù)列性質(zhì)可將已知等式化為SKIPIF1<0，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正項(xiàng)數(shù)列，SKIPIF1<0.故選：C5．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】A選項(xiàng)可用片段和性質(zhì)，BD選項(xiàng)使用基本量法，C選項(xiàng)借助下標(biāo)和性質(zhì)求解.【詳解】A選擇中，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0B選項(xiàng)中，SKIPIF1<0C選項(xiàng)中，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0D選項(xiàng)中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0故選：B6．（2022·四川省宜賓市第四中學(xué)校二模（文））在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，如果SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列性質(zhì)知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，其首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．（2022·陜西·西安中學(xué)三模（文））在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的二根，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)、韋達(dá)定理列方程組求解．【詳解】解：在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的二根，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：B．8．（2022·四川雅安·三模（文））已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)積，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1024 B．512 C．256 D．128【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得SKIPIF1<0，進(jìn)而求得SKIPIF1<0.【詳解】解：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：B．【點(diǎn)睛】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式不難證明等比數(shù)列的積的性質(zhì)SKIPIF1<0.9．（2022·遼寧·撫順市第二中學(xué)三模）若等比數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】SKIPIF1<0，故選：B.10．（2022·陜西西安·三模（文））已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．-1 C．1或-8 D．-8【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合已知解方程組即可計(jì)算作答.【詳解】在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，顯然，SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值是1或-8.故選：C二、多選題1．（2022·湖南懷化·一模）設(shè)SKIPIF1<0是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，SKIPIF1<0是其前n項(xiàng)的積，且SKIPIF1<0，則下列選項(xiàng)中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的定義利用數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)．【詳解】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積SKIPIF1<0也為正，公比SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，B正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A正確；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，C錯(cuò)；由上知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0先增后減，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0均為SKIPIF1<0的最大值，D正確．故選：ABD．題型四：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和一、單選題1．（2022·云南昆明·一模（理））已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公比等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，因?yàn)榈缺葦?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C2．（2022·陜西寶雞·二模（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0是公比為q的等比數(shù)列，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與2的等差中項(xiàng)，則q的值是（

）A．1 B．2C．SKIPIF1<0或1 D．SKIPIF1<0或2【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)和基本量代換，解方程即可求出q.【詳解】由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0與2的等差中項(xiàng)，所以SKIPIF1<0.把SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A．3．（2022·陜西渭南·二模（理））十二平均律是我國(guó)明代音樂(lè)理論家和數(shù)學(xué)家朱載境發(fā)明的.明萬(wàn)歷十二年（公元1584年），他寫(xiě)成《律學(xué)新說(shuō)》，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，記插入的11個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，插入11個(gè)數(shù)后這13個(gè)數(shù)之和為SKIPIF1<0，則依此規(guī)則，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．插入的第8個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0 B．插入的第7個(gè)數(shù)是插入的第3個(gè)數(shù)的SKIPIF1<0倍C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量計(jì)算出公比，進(jìn)而求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，判斷出A,B項(xiàng)，利用等比數(shù)列的求和公式得到SKIPIF1<0，判斷D選項(xiàng)，再通過(guò)分析法判斷C選項(xiàng)【詳解】依題意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A正確SKIPIF1<0，故B正確SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0又SKIPIF1<0

SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即要證SKIPIF1<0，經(jīng)計(jì)算SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0,故C正確SKIPIF1<0，故D錯(cuò)誤故選：D4．（2022·江西南昌·二模（文））已知公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則公比q=（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】直接應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式建立方程就可解出q.【詳解】由題知公比不為1且為正，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，所以q=3.故選：A.5．（2022·湖南常德·一模）設(shè)SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前SKIPIF1<0項(xiàng)的基本量運(yùn)算求解．【詳解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．6．（2022·四川·仁壽一中二模（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在函數(shù)SKIPIF1<0的圖象上．記SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，則SKIPIF1<0（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0以及解析式求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0得出答案.【詳解】由題得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A．7．（2022·新疆喀什·一模（文））在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前5項(xiàng)和SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則由數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，從而可求出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0可求出其范圍【詳解】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0.故選：A8．（2022·寧夏·固原一中一模（文））已知SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）.A．SKIPIF1<0 B．255 C．85 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，由基本量法求得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，然后由等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式求解．【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.9．（2022·安徽宣城·二模（文））我國(guó)古代數(shù)學(xué)論著中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈二百五十四，請(qǐng)問(wèn)底層幾盞燈？意思是：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的底層共有燈（

）A．32盞 B．64盞 C．128盞 D．196盞【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式，計(jì)算首項(xiàng).【詳解】設(shè)最底層的燈數(shù)為SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故選：C10．（2022·河南濮陽(yáng)·一模（文））已知數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】由S6＝9S3得公比一定不是1，設(shè)公比為q，利用S6＝9S3建立公比q的方程求解出公比，再利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】由SKIPIF1<0，得公比一定不是1，設(shè)公比為q，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多選題1．（2022·河北保定·一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下面說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKI