2023-2024學(xué)年鷹潭市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年鷹潭市重點(diǎn)中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．若實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則關(guān)于的函數(shù)圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.2．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則使得成立的的取值范圍是A. B.C. D.3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線(xiàn)后人稱(chēng)之為三角形的歐拉線(xiàn).已知的頂點(diǎn)，若其歐拉線(xiàn)方程為，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是A. B.C. D.4．命題的否定是（）A. B.C. D.5．角度化成弧度為（）A. B.C. D.6．已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.7．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若它的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.8．已知三棱錐D－ABC中，AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，BC⊥AD，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.π B.6πC.5π D.8π9．一個(gè)袋中有個(gè)紅球和個(gè)白球，現(xiàn)從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個(gè)球同色的概率是A. B.C. D.10．設(shè)，則A. B.C. D.11．已知兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，則的最小值為（）A. B.9C. D.1012．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．16、17世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易以及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，數(shù)學(xué)家納皮爾在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為簡(jiǎn)化計(jì)算發(fā)明了對(duì)數(shù).直到18世紀(jì)，才由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的互逆關(guān)系，即.現(xiàn)在已知，則__________14．已知扇形的弧長(zhǎng)為，且半徑為，則扇形的面積是__________.15．已知函數(shù)若方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.16．在中，，，與的夾角為，則_____三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)（為常數(shù)且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）試求的值；（2）若不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧系亩x域?yàn)榧希?）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．已知有半徑為1，圓心角為a（其中a為給定的銳角）的扇形鐵皮OMN，現(xiàn)利用這塊鐵皮并根據(jù)下列方案之一，裁剪出一個(gè)矩形.方案1：如圖1，裁剪出的矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B在線(xiàn)段ON上，點(diǎn)C在弧MN上，點(diǎn)D在線(xiàn)段OM上；方案2：如圖2，裁剪出的矩形PQRS的頂點(diǎn)P，S分別在線(xiàn)段OM，ON上，頂點(diǎn)Q，R在弧MN上，并且滿(mǎn)足PQ∥RS∥OE，其中點(diǎn)E為弧MN的中點(diǎn).（1）按照方案1裁剪，設(shè)∠NOC=，用表示矩形ABCD的面積S1，并證明S1的最大值為；（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面積S2的最大值，并與（1）中的結(jié)果比較后指出按哪種方案可以裁剪出面積最大的矩形.20．設(shè)全集為，或，.（1）求，；（2）求.21．已知函數(shù)(，且)是指數(shù)函數(shù).（1）求k，b的值；（2）求解不等式.22．為了做好新冠疫情防控工作，某學(xué)校要求全校各班級(jí)每天利用課間操時(shí)間對(duì)各班教室進(jìn)行藥熏消毒.現(xiàn)有一種備選藥物，根據(jù)測(cè)定，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥含量（單位：mg）隨時(shí)間（單位：）的變化情況如圖所示，在藥物釋放的過(guò)程中與成正比，藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系為（為常數(shù)），其圖象經(jīng)過(guò)，根據(jù)圖中提供的信息，解決下面的問(wèn)題.（1）求從藥物釋放開(kāi)始，與的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量降低到mg以下時(shí)，才能保證對(duì)人身無(wú)害，若該校課間操時(shí)間為分鐘，據(jù)此判斷，學(xué)校能否選用這種藥物用于教室消毒？請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、B【解析】利用特殊值和，分別得到的值，利用排除法確定答案.【詳解】實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，得，所以排除選項(xiàng)C、D，當(dāng)時(shí)，，得，所以排除選項(xiàng)A，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，屬于簡(jiǎn)單題.2、C【解析】∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴∵函數(shù)在單調(diào)遞減∴，即∴使得成立的的取值范圍是故選C點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，在不等式中的應(yīng)用.解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).3、A【解析】設(shè)C的坐標(biāo)，由重心坐標(biāo)公式求重心，代入歐拉線(xiàn)得方程，求出AB的垂直平分線(xiàn)，聯(lián)立歐拉線(xiàn)方程得三角形外心，外心到三角形兩頂點(diǎn)距離相等可得另一方程，兩方程聯(lián)立求得C點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】設(shè)C(m，n),由重心坐標(biāo)公式得重心為,代入歐拉線(xiàn)方程得：①AB的中點(diǎn)為，，所以AB的中垂線(xiàn)方程為聯(lián)立，解得所以三角形ABC的外心為，則，化簡(jiǎn)得：②聯(lián)立①②得：或，當(dāng)時(shí)，BC重合，舍去，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)方程的各種形式，重心坐標(biāo)公式，屬于中檔題.4、C【解析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，選出正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)槊}是存在量詞命題，所以其否定是全稱(chēng)量詞命題，即，.故選：C.5、A【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，.故選：A.6、C【解析】先判斷出是直角三角形，直接求出圓心和半徑，即可求解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，所以，所以，所以是直角三角形，所以的外接圓是以線(xiàn)段為直徑的圓，所以圓心坐標(biāo)為，半徑故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：C7、D【解析】利用定義法求出，再用二倍角公式即可求解.【詳解】依題意，角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，于是.故選：D8、B【解析】由題意結(jié)合平面幾何、線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)可得BC⊥BD，AD⊥AC，再由平面幾何的知識(shí)即可得該幾何體外接球的球心及半徑，即可得解.【詳解】AB＝BC＝1，AD＝2，BD＝，AC＝，∴，，∴DA⊥AB，AB⊥BC，由BC⊥AD可得BC⊥平面DAB，DA⊥平面ABC，∴BC⊥BD，AD⊥AC，∴CD＝，由直角三角形的性質(zhì)可知，線(xiàn)段CD的中點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C，D的距離均為，∴該三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐的外接球的表面積為4π＝6π.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐幾何特征的應(yīng)用及其外接球表面積的求解，考查了運(yùn)算求解能力與空間思維能力，屬于中檔題.9、D【解析】從袋中任取出球，然后放回袋中再取出一球，共有種方法，其中取出的兩個(gè)球同色的取法有種，因此概率為選D.10、B【解析】因?yàn)?，所以．選B11、C【解析】根據(jù)給定條件求出B關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，若關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴，解得，∴，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，如圖，在直線(xiàn)上任取點(diǎn)C，連接，顯然，直線(xiàn)垂直平分線(xiàn)段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，∴，故的最小值為.故選：C12、A【解析】由二元二次方程表示圓的充要條件可知：，解得，故選A考點(diǎn)：圓的一般方程二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、3【解析】由將對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)14、##【解析】由扇形面積公式可直接求得結(jié)果.【詳解】扇形面積.故答案為：.15、【解析】令f（t）＝2，解出t，則f（x）＝t，討論k的符號(hào)，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出t的范圍即可【詳解】解：令f（t）＝2得t＝﹣1或t（k≠0）∵f（f（x））﹣2＝0，∴f（f（x））＝2，∴f（x）＝﹣1或f（x）（k≠0）（1）當(dāng)k＝0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1無(wú)解，即f（f（x））﹣2＝0無(wú)解，不符合題意；（2）當(dāng)k＞0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1無(wú)解，f（x）無(wú)解，即f（f（x））﹣2＝0無(wú)解，不符合題意；（3）當(dāng)k＜0時(shí)，做出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知f（x）＝﹣1有1解，∵f（f（x））﹣2＝0有3解，∴f（x）有2解，∴1，解得﹣1＜k綜上，k的取值范圍是（﹣1，]故答案為（﹣1，]【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題16、【解析】利用平方運(yùn)算可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積和模長(zhǎng)的運(yùn)算，代入求得，開(kāi)方得到結(jié)果.【詳解】【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)平方運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康臄?shù)量積和模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于常考題型.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）；（2）.【解析】（1）利用函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)列方程組，解方程組求得的值.（2）將原不等式分離常數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍.【詳解】（1）由于函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)，，所以，解得，所以.（2）原不等式為，即在時(shí)恒成立，而在時(shí)單調(diào)遞減，故在時(shí)有最小值為，故.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性以及最值，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】（1）求出集合A，B，根據(jù)集合的補(bǔ)集、交集運(yùn)算求解即可；（2）由必要條件轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系，建立不等式求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，解得或，所以當(dāng)時(shí)，由，即，解得，所以．所以小問(wèn)2詳解】由（1）知，由，即，解得，所以因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾獥l件，所以．所以，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍是19、（1），證明見(jiàn)解析；（2），方案1可以裁剪出面積最大的矩形.【解析】（1）分別用含有的三角函數(shù)表示，寫(xiě)出矩形的面積，利用三角函數(shù)求最值；（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，矩形的最大面積為，然后利用作差法比較大小即可【小問(wèn)1詳解】在圖1中，，，，，，，當(dāng)時(shí)，矩形最大面積為，得證.【小問(wèn)2詳解】在圖（2）中，設(shè)與邊，分別交于點(diǎn)，，由（1）的結(jié)論，可得矩形的最大面積為，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性知，矩形的最大面積為.因?yàn)闉殇J角，所以，于是.因此，.故按照方案1可以裁剪出面積最大的矩形，其最大面積為.20、（1）或，（2）或【解析】（1）根據(jù)集合的交集和并集的定義即可求解；（2）先根據(jù)補(bǔ)集的定義求出，然后再由交集的定義即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)榛颍曰?，；【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)槿癁?，或，，所以或，所以?21、（1），（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義列出方程，即可得解；（2）分和兩種情況討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，且)是指數(shù)函數(shù)，所以，，所以，；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得(，且)，①當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，則由，可得，解得；②當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減，則由，可得，解得，綜上可知，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.22、（1）；（2）可以，理由見(jiàn)解析.【解析】(1)將圖象上給定點(diǎn)的坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式計(jì)算作答.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合題意，列出不等式