(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）1.3《不等式的性質(zhì)及一元二次不等式》 (教師版)

頁第三節(jié)不等式的性質(zhì)及一元二次不等式核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與命題的真假判斷相結(jié)合，考查不等式的性質(zhì)，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合二次函數(shù)的圖象，考查一元二次不等式的解法，凸顯直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合“三個(gè)二次”間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．4．與實(shí)際問題相結(jié)合，考查應(yīng)用不等式性質(zhì)、一元二次不等式解決問題的能力，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的依據(jù)(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2．不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a；a<b?b>a可逆?zhèn)鬟f性a>b，b>c?a>c；a<b，b<c?a<c同向可加性a>b?a＋c>b＋c可逆可乘性a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bcc的符號(hào)同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向同向同正可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向，同正可乘方性a>b>0，n∈N*?an>bn同正可開方性a>b>0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)同正3.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x>x2或x<x1}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))eq\a\vs4\al(R)ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}eq\a\vs4\al(?)eq\a\vs4\al(?)[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(不等式的判斷)若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)B.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．|a|>|b|D．a(chǎn)2>b2解析：選A取a＝－2，b＝－1，則eq\f(1,a－b)>eq\f(1,a)不成立．2．(實(shí)數(shù)大小比較)設(shè)A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關(guān)系為()A．A≥BB．A>BC．A≤BD．A<B解析：選B因?yàn)锳－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1>0，所以A>B.故選B.3．(解一元二次不等式)函數(shù)f(x)＝log2(－x2－3x＋4)的定義域?yàn)開_______．解析：由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－4<x<1，故f(x)的定義域?yàn)?－4,1)．答案：(－4,1)4．(一元二次不等式恒成立)若集合A＝{x|x2－ax＋1>0}＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．解析：由題意知不等式x2－ax＋1>0恒成立，故Δ＝a2－4<0，解得－2<a<2.答案：(－2,2)5．(不等式性質(zhì))若1<α<3，－4<β<2，則α－|β|的取值范圍是________．解析：∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0.∴－3<α－|β|<3.答案：(－3,3)二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(乘法運(yùn)算忽視符號(hào))已知實(shí)數(shù)a∈(－3,1)，b∈(eq\f(1,8),eq\f(1,4))，則eq\f(a,b)的取值范圍是()A．(－12,8)B．(－24,8)C．(－24,4)D．(－12,4)解析：選B當(dāng)－3<a≤0時(shí)，eq\f(a,b)∈(－24,0]；當(dāng)0<a<1時(shí)，eq\f(a,b)∈(0,8)．綜上可知eq\f(a,b)∈(－24,8)．2．(沒有等價(jià)變形)不等式x(x＋5)<3(x＋5)的解集為________．解析：原不等式等價(jià)于(x＋5)(x－3)<0，解得－5<x<3，故不等式的解集為(－5,3)．答案：(－5,3)3．(忽視二次項(xiàng)的符號(hào))不等式(x－2)(3－2x)≥0的解集為________．解析：由(x－2)(3－2x)≥0得(x－2)(2x－3)≤0，解得eq\f(3,2)≤x≤2，故不等式的解集為[eq\f(3,2),2].答案：[eq\f(3,2),2].4．(忽視對含參二次項(xiàng)系數(shù)的討論)若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x對任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析：原不等式可整理為(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.當(dāng)m＝2時(shí)，不等式為4>0，該不等式恒成立；當(dāng)m≠2時(shí)，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－m>0，,4－2m2－4×42－m<0，))解得－2<m<2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是(－2,2]．答案：(－2,2]考點(diǎn)一不等式的性質(zhì)及應(yīng)用[典例](1)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c≥b>aB．a(chǎn)>c≥bC．c>b>aD．a(chǎn)>c>b(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，給出下列不等式：①eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab)；②|a|＋b>0；③a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)；④lna2>lnb2.其中正確的不等式是()A．①④B．②③C．①③D．②④[解析](1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b－a＝a2－a＋1＝(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴b>a，∴c≥b>a.(2)因?yàn)閑q\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，故可取a＝－1，b＝－2.顯然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②錯(cuò)誤；因?yàn)閘na2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④錯(cuò)誤．綜上所述，可排除A、B、D.[答案](1)A(2)C[方法技巧]1．比較兩個(gè)數(shù)(式)大小的2種方法2．謹(jǐn)記2個(gè)注意點(diǎn)(1)與命題真假判斷相結(jié)合問題．解決此類問題除根據(jù)不等式的性質(zhì)求解外，還經(jīng)常采用特殊值驗(yàn)證的方法．(2)在求式子的范圍時(shí)，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等號(hào)不能同時(shí)取到，會(huì)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大．[針對訓(xùn)練]1．(多選)已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足c<b<a且ac<0，則下列不等式一定成立的是()A．a(chǎn)b>acB．c(b－a)>0C．a(chǎn)c(a－c)<0D．cb2<ab2解析：選ABC因?yàn)閏<b<a且ac<0，所以c<0，a>0，所以ab>ac，故A一定成立；又b－a<0，所以c(b－a)>0，故B一定成立；又a－c>0，ac<0，所以ac(a－c)<0，故C一定成立；當(dāng)b＝0時(shí)，cb2＝ab2，當(dāng)b≠0時(shí)，有cb2<ab2，故D不一定成立，故選A、B、C.2．(多選)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，則()A．a(chǎn)2＋b2≥eq\f(1,2)B．2a－b>eq\f(1,2)C．log2a＋log2b≥－2D.eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)解析：選ABD∵a2＋b2≥eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b)),2)2＝eq\f(1,2)，∴A正確；易知0<a<1,0<b<1，∴－1<a－b<1，∴2a－b>2－1＝eq\f(1,2)，∴B正確；對于選項(xiàng)C，令a＝eq\f(1,4)，b＝eq\f(3,4)，則log2eq\f(1,4)＋log2eq\f(3,4)＝－2＋log2eq\f(3,4)<－2，∴C錯(cuò)誤；∵(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝1＋2eq\r(ab)≤1＋a＋b＝2，∴eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)，∴D正確．故選A、B、D.考點(diǎn)二一元二次不等式的解法[例1]不等式2x＋3－x2>0的解集是()A．{x|－1<x<3}B．{x|x>3或x<－1}C．{x|－3<x<1}D．{x|x>1或x<－3}[解析]原不等式變形為x2－2x－3<0，即(x－3)(x＋1)<0，解得－1<x<3.故選A.[答案]A[例2]已知常數(shù)a∈R，解關(guān)于x的不等式12x2－ax>a2.[解]∵12x2－ax>a2，∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0.令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－eq\f(a,4)，x2＝eq\f(a,3).①當(dāng)a>0時(shí)，－eq\f(a,4)<eq\f(a,3)，解集為{xeq\a\vs4\al(|)x<－eq\f(a,4)或x>eq\f(a,3)}；②當(dāng)a＝0時(shí)，x2>0，解集為{x|x∈R且x≠0}；③當(dāng)a<0時(shí)，－eq\f(a,4)>eq\f(a,3)，解集為{xeq\a\vs4\al(|)x<eq\f(a,3)或x>－eq\f(a,4)}.綜上所述：當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為{xeq\a\vs4\al(|)x<－eq\f(a,4)或x>eq\f(a,3)}；當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x∈R且x≠0}；當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{xeq\a\vs4\al(|)x<eq\f(a,3)或x>－eq\f(a,4)}.[方法技巧]解含參數(shù)的一元二次不等式時(shí)分類討論的依據(jù)(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．(2)當(dāng)不等式對應(yīng)方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．(3)確定無實(shí)根時(shí)可直接寫出解集，確定方程有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，要討論兩實(shí)根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．[針對訓(xùn)練]1．(多選)下列四個(gè)不等式中，解集為?的是()A．－x2＋x＋1≤0B．2x2－3x＋4＜0C．x2＋3x＋10≤0D．－x2＋4x－(a+)＞0(a＞0)解析：選BCD對于A，－x2＋x＋1≤0，對應(yīng)的函數(shù)y＝－x2＋x＋1開口向下，顯然解集不為?；對于B，2x2－3x＋4＜0，對應(yīng)的函數(shù)開口向上，Δ＝9－32＜0，其解集為?；對于C，x2＋3x＋10≤0，對應(yīng)的函數(shù)開口向上，Δ＝9－40＜0，其解集為?；對于D，－x2＋4x－(a+)＞0(a＞0)，對應(yīng)的函數(shù)開口向下，Δ＝16－4(a+)≤16－4×2eq\r(a×\f(4,a))＝0，其解集為?.故選B、C、D.2．已知實(shí)數(shù)a滿足不等式－3<a<3，求關(guān)于x的不等式(x－a)(x＋1)>0的解集．解：方程(x－a)(x＋1)＝0的兩根為－1，a.①當(dāng)a<－1，即－3<a<－1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>－1}；②當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠－1}；③當(dāng)a>－1，即－1<a<3時(shí)，原不等式的解集為{x|x<－1或x>a}．綜上所述，當(dāng)－3<a<－1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>－1}；當(dāng)a＝－1時(shí)，原不等式的解集為{x|x∈R且x≠－1}；當(dāng)－1<a<3時(shí)，原不等式的解集為{x|x<－1或x>a}．考點(diǎn)三一元二次不等式的綜合應(yīng)用考法(一)“三個(gè)二次”之間的關(guān)系及應(yīng)用[例1]若不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1<x<2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax的解集為()A．{x|－2<x<1}B．{x|x<－2或x>1}C．{x|0<x<3}D．{x|x<0或x>3}[解析]由題意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c>2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)>0，①又不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－1<x<2}，則a<0，且－1,2分別為方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(c,a)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－1，,\f(c,a)＝－2.))②將①兩邊同除以a得x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－2))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(c,a)－\f(b,a)))<0，將②代入①得x2－3x<0，解得0<x<3，故選C.[答案]C[方法技巧]“三個(gè)二次”之間的關(guān)系若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，則x1，x2是不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)解集的端點(diǎn)，也是函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．考法(二)一元二次不等式的恒(能)成立問題題點(diǎn)1一元二次不等式在實(shí)數(shù)集R上的恒成立問題[例2]若不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________．[解析]當(dāng)k＝0時(shí)，顯然成立；當(dāng)k≠0時(shí)，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，))解得－3<k<0.綜上，滿足不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實(shí)數(shù)x都成立的k的取值范圍是(－3,0]．[答案](－3,0][方法技巧]一元二次不等式在R上恒成立的條件不等式類型恒成立條件ax2＋bx＋c>0a>0，Δ<0ax2＋bx＋c≥0a>0，Δ≤0ax2＋bx＋c<0a<0，Δ<0ax2＋bx＋c≤0a<0，Δ≤0題點(diǎn)2一元二次不等式在給定區(qū)間上的恒成立問題[例3]設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，則m的取值范圍是________________．[解析]f(x)<－m＋5即mx2－mx＋m－6<0，故m(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．法一：令g(x)＝m(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)m－6，x∈[1,3]．當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0.所以m<eq\f(6,7)，則0<m<eq\f(6,7).當(dāng)m<0時(shí)，g(x)在[1,3]上是減函數(shù)，所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0.所以m<6，所以m<0.綜上所述，m的取值范圍是(－∞，0)∪(0，eq\f(6,7)).法二：因?yàn)閤2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，且m(x2－x＋1)－6<0，所以m<eq\f(6,x2－x＋1).因?yàn)楹瘮?shù)y＝eq\f(6,x2－x＋1)＝eq\f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值為eq\f(6,7)，所以只需m<eq\f(6,7)即可．又m≠0，所以m的取值范圍是(－∞，0)∪(0，eq\f(6,7)).[答案](－∞，0)∪(0，eq\f(6,7))[方法技巧]在給定區(qū)間上的恒成立問題的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含義求解參數(shù)的值(或范圍)．(2)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題，即：已知函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇m，n]，則f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a，即n≤a.題點(diǎn)3不等式能成立或有解問題[例4]設(shè)a∈R，若關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，則()A．a(chǎn)≤2B．a(chǎn)≥2C．a(chǎn)≥eq\f(5,2)D．a(chǎn)≤eq\f(5,2)[解析]∵關(guān)于x的不等式x2－ax＋1≥0在區(qū)間[1,2]上有解，∴a≤x＋eq\f(1,x)在x∈[1,2]上有解?a≤(x＋eq\f(1,x))max，x∈[1,2]，∵函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在[1,2]上單調(diào)遞增，∴f(x)max＝eq\f(5,2)，∴a≤eq\f(5,2).[答案]D[方法技巧]解決不等式能成立問題的策略一般也是轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值，即：a＞f(x)能成立?a＞f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.[針對訓(xùn)練]1．已知關(guān)于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(－∞，－3]∪[1，＋∞)B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．[－1,3]D．[－3,1]解析：選D關(guān)于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0對任意實(shí)數(shù)x都成立，則Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1，故選D.2．設(shè)m為實(shí)數(shù)，若函數(shù)f(x)＝x2－mx＋2在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，對任意的x1，x2∈[1,eq\f(m,2)＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，則m的取值范圍為()A．[4,6]B．(4,6)C．(4,6]D．[4,6)解析：選A函數(shù)f(x)＝x2－mx＋2的對稱軸為x＝eq\f(m,2)，由其在區(qū)間(－∞，2)上是減函數(shù)，可得eq\f(m,2)≥2，∴m≥4.∴eq\f(m,2)∈[1,eq\f(m,2)＋1]且eq\f(m,2)＋1－eq\f(m,2)≤eq\f(m,2)－1，∴當(dāng)x1，x2∈[1,eq\f(m,2)＋1]時(shí)，f(x)max＝f(1)＝3－m，f(x)min＝f(eq\f(m,2))＝－eq\f(m2,4)＋2.由?x1，x2∈[1,eq\f(m,2)＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(fx1－fx2))max≤4，∴f(x)max－f(x)min≤4，∴(3－m)－(－eq\f(m2,4)＋2)≤4，即m2－4m－12≤0，解得－2≤m≤6.綜上，4≤m≤6，故選A.一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法轉(zhuǎn)化與化歸思想在不等式中的應(yīng)用[典例](1)已知0≤x≤2時(shí)，不等式－1≤tx2－2x≤1恒成立，則t的取值范圍是________．(2)設(shè)f(x)＝2x2＋bx＋c，已知不等式f(x)<0的解集是(1,5)，若對任意x∈[1,3]，不等式f(x)≤2＋t有解，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．(3)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域?yàn)閇0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)<c的解集為(m，m＋6)，則實(shí)數(shù)c的值為________．[解析](1)當(dāng)x＝0時(shí)，－1<0<1，不等式恒成立．當(dāng)0<x≤2時(shí)，－1≤tx2－2x≤1可化為eq\f(2x－1,x2)≤t≤eq\f(2x＋1,x2).因?yàn)閥＝eq\f(2x－1,x2)＝－(eq\f(1,x)－1)2＋1在(0,2]上的最大值為1，所以t≥1；因?yàn)閥＝eq\f(2x＋1,x2)＝(eq\f(1,x)＋1)2－1在(0,2]上的最小值為eq\f(5,4)，所以t≤eq\f(5,4).綜上，t的取值范圍是[1,eq\f(5,4)].(2)∵2x2＋bx＋c<0的解集是(1,5)，∴1和5是2x2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知－eq\f(b,2)＝6，eq\f(c,2)＝5，∴b＝－12，c＝10.∴f(x)＝2x2－12x＋10.不等式f(x)≤2＋t在[1,3]上有解，等價(jià)于2x2－12x＋8≤t在[1,3]上有解，只需t≥(2x2－12x＋8)min即可．設(shè)g(x)＝2x2－12x＋8，x∈[1,3]，∵g(x)在[1,3]上單調(diào)遞減．∴g(x)min＝g(3)＝－10，∴t≥－10.(3)由題意知f(x)＝x2＋ax＋b＝(x+eq\f(a,2))2＋b－eq\f(a2,4).因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)，所以b－eq\f(a2,4)＝0，即b＝eq\f(a2,4).所以f(x)＝(x+eq\f(a,2))2.又f(x)<c，所以(x+eq\f(a,2))2<c，即－eq\f(a,2)－eq\r(c)<x<－eq\f(a,2)＋eq\r(c).所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)－\r(c)＝m，,－\f(a,2)＋\r(c)＝m＋6.))解得2eq\r(c)＝6，所以c＝9.[答案](1)[1,eq\f(5,4)](2)[－10，＋∞)(3)9[名師微點(diǎn)]轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的一種方法．一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為易解的問題，將未解決的問題通過變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題．不等式恒成立通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向1．某省每年損失耕地20萬畝，每畝耕地價(jià)值24000元，為了減少耕地?fù)p失，決定按耕地價(jià)格的t%征收耕地占用稅，這樣每年的耕地?fù)p失可減少eq\f(5,2)t萬畝，為了既減少耕地的損失又保證此項(xiàng)稅收一年不少于9000萬元，則t的取值范圍是()A．[1,3]B．[3,5]C．[5,7]D．[7,9]解析：選B由題意知征收耕地占用稅后每年損失耕地(20－eq\f(5,2)t)萬畝，則稅收收入為(20－eq\f(5,2)t)×24000×t%，由題意得(20－eq\f(5,2)t)×24000×t%≥9000，整理得t2－8t＋15≤0，解得3≤t≤5，∴t的取值范圍是[3,5]，故選B.2．給出三個(gè)不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，能夠使以上三個(gè)不等式同時(shí)成立的一個(gè)條件是________．(答案不唯一，寫出一個(gè)即可)解析：使三個(gè)不等式同時(shí)成立的一個(gè)條件是a>b>0.當(dāng)a>b>0時(shí)，①②顯然成立；對于③，(eq\r(a－b))2－(eq\r(a)－eq\r(b))2＝2eq\r(ab)－2b＝2eq\r(b)(eq\r(a)－eq\r(b))>0，故(eq\r(a－b))2>(eq\r(a)－eq\r(b))2.即eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)，所以③成立．答案：a>b>0(答案不唯一)eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．已知a∈R，p＝a2－4a＋5，q＝(a－2)2，則p與q的大小關(guān)系為()A．p≤qB．p≥qC．p<qD．p>q解析：選D因?yàn)閜－q＝a2－4a＋5－(a－2)2＝1>0，所以p>q，故選D.2．若－1<α<β<1，則下列各式中恒成立的是()A．－2<α－β<0B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0D．－1<α－β<1解析：選A∵－1<α<β<1，∴－1<α<1，－1<β<1，α－β<0，∴－2<α－β<0.3．不等式2x2－x－3>0的解集是()A.(－eq\f(3,2)，1)B．(－∞，－1)∪(eq\f(3,2)，＋∞)C.(－1,eq\f(3,2))D.(－∞,－eq\f(3,2))∪(1，＋∞)解析：選B2x2－x－3>0可化為(x＋1)(2x－3)>0，解得x>eq\f(3,2)或x<－1，所以不等式2x2－x－3>0的解集是(－∞，－1)∪(eq\f(3,2)，＋∞).故選B.4．若實(shí)數(shù)m，n滿足m>n>0，則()A．－eq\f(1,m)<－eq\f(1,n)B.eq\r(m)＋eq\r(n)>eq\r(m＋n)C.(eq\f(1,2))m>(eq\f(1,2))nD．m2<mn解析：選B取m＝2，n＝1，代入各選擇項(xiàng)驗(yàn)證A、C、D不成立，只有B項(xiàng)成立(事實(shí)上eq\r(2)＋1>eq\r(2＋1))．5．若?x∈R,2x2－mx＋3≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．解析：由題意可知Δ＝m2－24≤0，解得－2eq\r(6)≤m≤2eq\r(6).答案：[－2eq\r(6)，2eq\r(6)]二、綜合練——練思維敏銳度1．(多選)設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列不等式恒成立的是()A．a(chǎn)2>abB．a(chǎn)2<b2C.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D．a(chǎn)3<b3解析：選CD對于A，當(dāng)a＝2，b＝3時(shí)，a<b，但22<2×3，故A中不等式不一定成立；對于B，當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，a<b，但(－2)2>12，故B中不等式不一定成立；對于C，∵a<b，∴eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,a2b2)<0，故C中不等式恒成立；對于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a+eq\f(1,2)b)2+eq\f(3,4)b2]，∵a<b，∴a－b<0，又(a+eq\f(1,2)b)2＋eq\f(3,4)b2>0，∴a3<b3，故D中不等式恒成立．故選C、D.2．已知a為實(shí)數(shù)，“a>1”是“a2<a3”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C當(dāng)a>1時(shí)，a2－a3＝a2(1－a)<0，所以a2<a3；當(dāng)a2<a3時(shí)，a2(a－1)>0，所以a>1.綜上，“a>1”是“a2<a3”的充要條件．故選C.3．若關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，則關(guān)于x的不等式(ax＋b)(x－3)>0的解集是()A．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B．(1,3)C．(－1,3)D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：選C關(guān)于x的不等式ax－b<0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax<b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b<0，∴不等式(ax＋b)(x－3)>0可化為(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，∴所求解集是(－1,3)．4．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,2，x<0，))若不等式xf(x－1)≥a的解集為[3，＋∞)，則a的值為()A．－3B．3C．－1D．1解析：選B因?yàn)閤f(x－1)≥a的解集為[3，＋∞)，所以3為方程xf(x－1)＝a的根，所以a＝3f(3－1)＝3×(2－1)＝3，故選B.5．若存在x0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq\o\al(2,0)≥a成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1]B．(－∞，－8]C．[1，＋∞)D．[－8，＋∞)解析：選A設(shè)f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，因?yàn)榇嬖趚0∈[－2,3]，使不等式2x0－xeq\o\al(2,0)≥a成立，所以a≤f(x)max，所以a≤1，故選A.6．若a>1，則關(guān)于x的不等式eq\f(ax,x＋1)≥1的解集是()A.[-1,eq\f(1,a－1)]B.(-1,eq\f(1,a－1)]C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪[eq\f(1,a－1),+∞)解析：選D由eq\f(ax,x＋1)≥1得eq\f(ax,x＋1)－1≥0，即eq\f(a－1x－1,x＋1)≥0，∴[(a－1)x－1](x＋1)≥0且x≠－1，解得x<－1或x≥eq\f(1,a－1)，則不等式的解集為(－∞，－1)∪[eq\f(1,a－1),+∞)，故選D.7．(多選)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|－eq\f(1,2)<x<2}，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)>0B．b>0C．c>0D．a(chǎn)＋b＋c>0解析：選BCD因?yàn)椴坏仁絘x2＋bx＋c>0的解集為{x|－eq\f(1,2)<x<2}，故相應(yīng)的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象開口向下，所以a<0，故A錯(cuò)誤；易知2和－eq\f(1,2)是關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0的兩個(gè)根，則有eq\f(c,a)＝2×(－eq\f(1,2))＝－1<0，－eq\f(b,a)＝2＋(－eq\f(1,2))＝eq\f(3,2)>0，又a<0，所以b>0，c>0，故B、C正確；因?yàn)閑q\f(c,a)＝－1，所以a＋c＝0，又b>0，所以a＋b＋c>0，故D正確，故選B、C、D.8．在關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是()A．(－3,5)B．(－2,4)C．[－3,5]D．[－2,4]解析：選D關(guān)于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化為(x－1)(x－a)<0.當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為(1，a)；當(dāng)a<1時(shí)，不等式的解集為(a,1)．要使得解集中至多包含2個(gè)整數(shù)，則a≤4且a≥－2.又當(dāng)a＝1時(shí)，不等式的解集為?，符合題意．所以a的取值范圍是[－2,4]，故選D.9．若0<a<1，則不等式(a－x)(x－eq\f(1,a))>0的解集是________________．解析：原不等式等價(jià)于(x－a)(x－eq\f(1,a))<0，由0<a<1，得a<eq\f(1,a)，∴a<x<eq\f(1,a).答案：{a|a<x<eq\f(1,a)}.10．已知a＋b＞0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________．解析：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)－(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))＝eq\f(a－b,b2)＋eq\f(b－a,a2)＝(a－b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－\f(1,a2)))＝eq\f(a＋ba－b2,a2b2).∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴eq\f(a＋ba－b2,a2b2)≥0.∴eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b).答案：eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)≥eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)11．a(chǎn)，b∈R，a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________．解析：若ab＜0，由a＜b兩邊同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；若ab＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a＜b和eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是a＜0＜b.答案：a＜0＜b12．若不等式x2＋ax－2>0在區(qū)間[1,5]上有解，則a的取值范圍是__________．解析：令f(x)＝x2＋ax－2.∵f(0)＝－2，于是不等式在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，解得a＞－eq\f(23,5)，故a的取值范圍為(－eq\f(23,5)，+∞)