(適用輔導(dǎo)班)2023-2024年高二數(shù)學(xué)寒假講義（基礎(chǔ)班）3.1《導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算》 (原卷版)

頁第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.與基本初等函數(shù)相結(jié)合考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．2．與曲線方程相結(jié)合考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．導(dǎo)數(shù)的概念函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).稱函數(shù)f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)．2．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝eq\a\vs4\al(0)f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα﹣1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝﹣sin_xf(x)＝exf′(x)＝eq\a\vs4\al(ex)f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝eq\a\vs4\al(\f(1,x))f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)3．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)[]′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．4．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(diǎn)P(x0，y0)處的切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．特別地，如果曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，y0)處的切線垂直于x軸，則此時導(dǎo)數(shù)f′(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.5．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′，即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積．[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,ex)(e是自然對數(shù)的底數(shù))，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝()A.eq\f(1＋x,ex)B.eq\f(1－x,ex)C．1＋xD．1﹣x2．已知f(x)＝13﹣8x＋2x2，f′(x0)＝4，則x0＝________.3．曲線y＝log2x在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積等于________．4．已知函數(shù)f(x)＝axlnx＋b(a，b∈R)，若f(x)的圖象在x＝1處的切線方程為2x﹣y＝0，則a＋b＝________.二、易錯點(diǎn)練清1．(多選)下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是()A．(3x)′＝3xln3B．(x2lnx)′＝2xlnx＋xC.()′＝eq\f(xsinx－cosx,x2)D．(sinxcosx)′＝cos2x2．函數(shù)f(x)＝x2＋eq\f(1,x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．x﹣y＋1＝0B．3x﹣y﹣1＝0C．x﹣y﹣1＝0D．3x﹣y＋1＝0考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算[典題例析](1)設(shè)f(x)＝x(2022＋lnx)，若f′(x0)＝2023，則x0等于()A．e2B．1C．ln2D．e(2))已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，則f′(1)＝()A．﹣eB．1C．﹣1D．e(3)函數(shù)f(x)＝xsin(2x+eq\f(π,2))cos(2x+eq\f(π,2)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝________________.[方法技巧]1．導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的常見形式及其求解方法連乘積形式先展開化為多項(xiàng)式的形式，再求導(dǎo)分式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)對數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導(dǎo)根式形式先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再求導(dǎo)三角形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時可換元2．解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值問題的策略解決解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù)，即解析式類似f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù)問題的關(guān)鍵是恰當(dāng)賦值，然后活用方程思想求解，即先求導(dǎo)數(shù)f′(x)，然后令x＝x0，即可得到f′(x0)的值，進(jìn)而得到函數(shù)解析式，最后求得所求導(dǎo)數(shù)值．[針對訓(xùn)練]1．已知函數(shù)f(x)＝ln(ax﹣1)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若f′(2)＝2，則實(shí)數(shù)a的值為()A.eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D．12．等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x﹣a1)(x﹣a2)…(x﹣a8)，則f′(0)＝()A．26B．29C．212D．2153．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，則f′(0)＝________.考點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的幾何意義考法(一)求切線方程[例1]已知函數(shù)f(x)＝x2.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)P(﹣1,0)的曲線f(x)的切線方程．[方法技巧]求切線方程問題的2種類型及方法(1)求“在”曲線y＝f(x)上一點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程：點(diǎn)P(x0，y0)為切點(diǎn)，切線斜率為k＝f′(x0)，有唯一的一條切線，對應(yīng)的切線方程為y﹣y0＝f′(x0)(x﹣x0)．(2)求“過”曲線y＝f(x)上一點(diǎn)P(x0，y0)的切線方程：切線經(jīng)過點(diǎn)P，點(diǎn)P可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn)，這樣的直線可能有多條．解決問題的關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”求解，即：①設(shè)切點(diǎn)A(x1，y1)，則以A為切點(diǎn)的切線方程為y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)；②根據(jù)題意知點(diǎn)P(x0，y0)在切線上，點(diǎn)A(x1，y1)在曲線y＝f(x)上，得到方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＝fx1，,y0－y1＝f′x1x0－x1，))求出切點(diǎn)A(x1，y1)，代入方程y﹣y1＝f′(x1)(x﹣x1)，化簡即得所求的切線方程．考法(二)求參數(shù)值或范圍[例2]已知曲線f(x)＝e2x﹣2ex＋ax﹣1存在兩條斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(3，eq\f(7,2))B．(3，＋∞)C.(-∞，eq\f(7,2))D．(0,3)[方法技巧]利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍．[提醒](1)注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上．考法(三)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)圖象[例3]已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝________.[方法技巧]函數(shù)圖象與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率就是函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(2)切線斜率的變化對函數(shù)圖象的影響：函數(shù)圖象在每一點(diǎn)處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，|f′(x)|越大，曲線f(x)的形狀越陡，f′(x)＞0，曲線上升；f′(x)＜0，曲線下降．[針對訓(xùn)練]1．若曲線y＝ex在x＝0處的切線也是曲線y＝lnx＋b的切線，則b＝()A．﹣1B．1C．2D．e2．(多選)若直線y＝eq\f(1,2)x＋b是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝x4C．f(x)＝sinxD．f(x)＝ex3．已知直線y＝kx＋1與曲線y＝x3＋ax＋b相切于點(diǎn)A(1,3)，則2a＋b＝________.4.已知f′(x)，g′(x)分別是二次函數(shù)f(x)和三次函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且它們在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象如圖所示．(1)若f(1)＝1，則f(﹣1)＝________.(2)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)﹣g(x)，則h(﹣1)，h(0)，h(1)的大小關(guān)系為____________(用“＜”連接)．一、創(chuàng)新命題視角——學(xué)通學(xué)活巧遷移導(dǎo)數(shù)的幾何意義與其他知識相交匯題型(一)與圓相交匯[例1]曲線f(x)＝﹣x3＋3x2在點(diǎn)(1，f(1))處的切線截圓x2＋(y＋1)2＝4所得的弦長為()A．4B．2eq\r(2)C．2D.eq\r(2)[名師微點(diǎn)]求解曲線的切線與圓相交匯問題的關(guān)鍵一是求切線方程，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，求出切線的方程；二是活用公式，即利用點(diǎn)到直線的距離公式求出弦心距，再利用弦長公式l＝2eq\r(r2－d2)(其中r為圓的半徑，d為弦心距)求出弦長．題型(二)與距離最值問題相交匯[例2]設(shè)點(diǎn)P，Q分別是曲線f(x)＝x2﹣lnx和直線x﹣y﹣2＝0上的動點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值為________．[名師微點(diǎn)]求解曲線上動點(diǎn)與直線上動點(diǎn)距離的最值問題的關(guān)鍵一是會轉(zhuǎn)化，把所求的兩動點(diǎn)距離的最值問題轉(zhuǎn)化為兩平行直線間的距離問題；二是會求切線方程，即利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線的斜率，再利用直線的點(diǎn)斜式方程，求出切線方程；三是活用公式，即會利用兩平行直線的距離公式求出兩平行直線間的距離．題型(三)零點(diǎn)個數(shù)問題[例3]已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)x＋1，x≤1，,lnx，x＞1，))若關(guān)于x的方程f(x)＝ax恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．[名師微點(diǎn)]解答此題時，可直接說明當(dāng)0＜a＜eq\f(1,e)時，y＝ax與函數(shù)f(x)＝lnx(x＞1)的圖象一定有兩個交點(diǎn)，因?yàn)楸绢}為填空題，此處直接說明，原因是對數(shù)函數(shù)f(x)＝lnx和一次函數(shù)的圖象是我們非常熟悉的、能夠明確作出的圖形，并且我們知道對數(shù)函數(shù)f(x)＝lnx的增速是越來越慢的，圖象越來越趨近于平緩，而一次函數(shù)的圖象的增速保持不變，能夠“想象”出當(dāng)0＜a＜eq\f(1,e)時，y＝ax的圖象一定能“穿過”f(x)＝lnx(x＞1)的圖象．實(shí)際上這也是能夠證明出來的，而本題是小題，不宜“小題大做”，在明知正確的前提下可省略步驟．二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向1．在橋梁設(shè)計(jì)中，橋墩一般設(shè)計(jì)成圓柱形，因?yàn)槠涓飨蚴芰猓以谙嗤孛嫦?，澆筑用模最?。僭O(shè)一橋梁施工隊(duì)在澆筑橋墩時，采用由內(nèi)向外擴(kuò)張式澆筑，即保持圓柱高度不變，截面半徑逐漸增大，設(shè)圓柱半徑關(guān)于時間變化的函數(shù)為R(t)．若圓柱的體積以均勻速度c增長，則圓柱的側(cè)面積的增長速度與圓柱半徑()A．成正比，比例系數(shù)為cB．成正比，比例系數(shù)為c2C．成反比，比例系數(shù)為cD．成反比，比例系數(shù)為c22．對于三次函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，給出定義：設(shè)f′(x)是y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)，f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為曲線y＝f(x)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)圖象都有“拐點(diǎn)”，任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g(x)＝eq\f(1,3)x3﹣eq\f(1,2)x2＋3x﹣eq\f(5,12)，則g()＋g()＋…＋g()＝________.3．若函數(shù)f(x)＝x3＋(t﹣1)x﹣1的圖象在點(diǎn)(﹣1，f(﹣1))處的切線平行于x軸，則t＝______，切線方程為________．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、綜合練——練思維敏銳度1．曲線y＝ex﹣lnx在點(diǎn)(1，e)處的切線方程為()A．(1﹣e)x﹣y＋1＝0B．(1﹣e)x﹣y﹣1＝0C．(e﹣1)x﹣y＋1＝0D．(e﹣1)x﹣y﹣1＝02．已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足關(guān)系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，則f′(2)的值等于()A．﹣2B．2C．﹣eq\f(9,4)D．eq\f(9,4)3．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(x＋k)(x＋2k)(x﹣3k)，且f′(0)＝6，則k＝()A．0B．﹣1C．3D．﹣64．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖，則導(dǎo)函數(shù)f′(x)的大致圖象為()5．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2021(x)＝()A．﹣sinx﹣cosxB．sinx﹣cosxC．﹣sinx＋cosxD．sinx＋cosx6．已知直線y＝ax是曲線y＝lnx的切線，則實(shí)數(shù)a＝()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,2e)C.eq\f(1,e)D．eq\f(1,e2)7．函數(shù)f(x)＝x4﹣2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為()A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x＋1C．y＝2x﹣3D．y＝2x＋18．已知曲線y＝eq\f(2x,x－1)在點(diǎn)P(2,4)處的切線與直線l平行且距離為2eq\r(5)，則直線l的方程為()A．2x＋y＋2＝0B．2x＋y＋2＝0或2x＋y﹣18＝0C．2x﹣y﹣18＝0D．2x﹣y＋2＝0或2x﹣y﹣18＝09．過曲線y＝x2﹣2x＋3上一點(diǎn)P作曲線的切線，若切點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[1，eq\f(3,2)]，則切線的傾斜角的取值范圍是()A.[0，eq\f(π,2)]B．[0，eq\f(π,4)]C．[0，π)D．[eq\f(3π,4)，π)10．若曲線y＝f(x)＝lnx＋ax2(a為常數(shù))不存在斜率為負(fù)數(shù)的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-eq\f(1,2),＋∞)B．[-eq\f(1,2),＋∞)C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)11．(多選)已知點(diǎn)A(1,2)在函數(shù)f(x)＝ax3的圖象上，則過點(diǎn)A的曲線C：y＝f(x)的切線方程是()A．6x﹣y﹣4＝0B．x﹣4y＋7＝0C．3x﹣2y＋1＝0D．4x﹣y＋3＝012．函數(shù)f(x)＝(2x﹣1)ex的圖象在點(diǎn)(0，f(0))處的切線的傾斜角為________．13．曲線y＝ln(2x﹣1)上的點(diǎn)到直線2x﹣y＋3＝0的最短距離為________．14．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，g(x)＝x2.若直線l與曲線f(x)，g(x)都相切，則直線l的斜率為________．15．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax﹣eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為7x﹣4y﹣12＝0.(