北京市西城區(qū)北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

北京市西城區(qū)北京師大附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.2．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．設(shè)，，定義運(yùn)算“△”和“”如下：，.若正數(shù)，，，滿足，，則（）A.△，△ B.，C.△， D.，△4．在下列各圖中，每個(gè)圖的兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的圖是A.（1）（2） B.（1）（3）C.（2）（4） D.（2）（3）5．下列說法正確的是A.棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱 B.底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體C.棱柱的底面一定是平行四邊形 D.棱錐的底面一定是三角形6．設(shè)函數(shù)，對(duì)于滿足的一切值都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A B.C. D.7．已知為圓的兩條互相垂直的弦，且垂足為，則四邊形面積的最大值為（）A.10 B.13C.15 D.208．若集合，則集合的所有子集個(gè)數(shù)是A.1 B.2C.3 D.49．已知函數(shù)，若，，互不相等，且，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)f(x)=3x???????A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則的值為______.12．化簡(jiǎn)_____13．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為________14．給出下列命題“①設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則；②定義：若任意，總有，就稱集合為的“閉集”，已知且為的“閉集”，則這樣的集合共有7個(gè)；③已知函數(shù)為奇函數(shù)，在區(qū)間上有最大值5，那么在上有最小值.其中正確的命題序號(hào)是_________.15．若，則實(shí)數(shù)____________.16．已知函數(shù)，且，則a的取值范圍為________f（x）的最大值與最小值和為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及其單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，是函數(shù)的零點(diǎn)，不寫步驟，直接用列舉法表示的值組成的集合.18．已知（1）若，求的值；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值19．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=2，CD=23，∠DAB=∠CDB=θ，0<θ<π2，∠ADB=π（1）求四邊形ABCD面積的最大值；（2）求DA+DB+DE的取值范圍20．已知函數(shù)，）函數(shù)關(guān)于對(duì)稱.（1）求的解析式；（2）用五點(diǎn)法在下列直角坐標(biāo)系中畫出在上的圖象；（3）寫出的單調(diào)增區(qū)間及最小值，并寫出取最小值時(shí)自變量的取值集合21．已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】利用是偶函數(shù)判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；利用判定選項(xiàng)B錯(cuò)誤；利用的定義域判定選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用奇偶性的定義證明是奇函數(shù)，再通過基本函數(shù)的單調(diào)性判定的單調(diào)性，進(jìn)而判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：是偶函數(shù)，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：是奇函數(shù)，但，所以在區(qū)間上不單調(diào)遞增，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：是奇函數(shù)，但的定義域?yàn)?，，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，，有，即奇函?shù)；因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)D正確.故選：D.2、A【解析】將寫成分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性先分析每一段函數(shù)需要滿足的條件，同時(shí)注意分段點(diǎn)處函數(shù)值關(guān)系，由此求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，所以，當(dāng)在上單調(diào)遞增時(shí)，，所以，且，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的步驟：（1）先分析每一段函數(shù)的單調(diào)性并確定出參數(shù)的初步范圍；（2）根據(jù)單調(diào)性確定出分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系；（3）結(jié)合（1）（2）求解出參數(shù)的最終范圍.3、D【解析】根據(jù)所給運(yùn)算，取特殊值檢驗(yàn)即可排除ACB，得到答案.【詳解】令滿足條件，則，可排除A,C；令滿足。則，排除B;故選：D4、D【解析】由線性相關(guān)的定義可知：（2）中兩變量線性正相關(guān)，（3）中兩變量線性負(fù)相關(guān)，故選：D考點(diǎn)：變量線性相關(guān)問題5、A【解析】對(duì)于B．底面是矩形的平行六面體，它的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長(zhǎng)方體，故B錯(cuò)；對(duì)于C．棱柱的底面是平面多邊形，不一定是平行四邊形，故C錯(cuò)；對(duì)于D．棱錐的底面是平面多邊形，不一定是三角形，故D錯(cuò)；故選A考點(diǎn)：1．命題的真假；2．空間幾何體的特征6、D【解析】用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值得參數(shù)范圍【詳解】滿足的一切值，都有恒成立，，對(duì)滿足的一切值恒成立，，，時(shí)等號(hào)成立，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.7、B【解析】如圖，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝5，∴|AC|2＋|BD|2＝4(9－|OP|2)＋4(9－|OQ|2)＝52則|AC|·|BD|=，當(dāng)時(shí)，|AC|·|BD|有最大值26，此時(shí)S四邊形ABCD＝|AC|·|BD|=×26＝13，∴四邊形ABCD面積的最大值為13故選B點(diǎn)睛：直線與圓的位置關(guān)系常用處理方法：（１）直線與圓相切處理時(shí)要利用圓心與切點(diǎn)連線垂直，構(gòu)建直角三角形，進(jìn)而利用勾股定理可以建立等量關(guān)系；（２）直線與圓相交，利用垂徑定理也可以構(gòu)建直角三角形；（３）直線與圓相離時(shí)，當(dāng)過圓心作直線垂線時(shí)長(zhǎng)度最小8、D【解析】根據(jù)題意，集合的所有子集個(gè)數(shù)，選9、A【解析】畫出圖像，利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出，再結(jié)合的范圍即可求解.【詳解】不妨設(shè)，畫出的圖像，即與有3個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，關(guān)于對(duì)稱，即，令，解得，所以，故，.故選：A.10、B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，再根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算求出即可.【詳解】由題意知，，則，所以.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式可得的值，再求三角函數(shù)值即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以，解得，所以，故答案為：.12、-2【解析】利用余弦的二倍角公式和正切的商數(shù)關(guān)系可得答案.【詳解】.故答案為：.13、.【解析】結(jié)合定義域由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】由得定義域?yàn)?，令，則在單調(diào)遞減，又在單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.14、①②【解析】對(duì)于①，如果，則，也就是，所以，進(jìn)一步計(jì)算可以得到該和為，故①正確；對(duì)于②，我們把分成四組：，由題設(shè)可知不是“閉集”中的元素，其余三組元素中的每組元素必定在“閉集”中同時(shí)出現(xiàn)或同時(shí)不出現(xiàn)，故所求的“閉集”的個(gè)數(shù)為，故②正確；對(duì)于③，因?yàn)樵谏系淖畲笾禐?，故在上的最大值為，所以在上的最小值為，在上的最小值為，故③錯(cuò)．綜上，填①②點(diǎn)睛：（1）根據(jù)可以得到，因此，這樣的共有，它們的和為，依據(jù)這個(gè)規(guī)律可以寫出和并計(jì)算該和（2）根據(jù)閉集的要求，中每組元素都是同時(shí)出現(xiàn)在閉集中或者同時(shí)不出現(xiàn)在閉集中，故可以根據(jù)子集的個(gè)數(shù)公式來計(jì)算（3）注意把非奇非偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為奇函數(shù)或偶函數(shù)來討論15、5##【解析】根據(jù)題中條件，由元素與集合之間的關(guān)系，得到求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：.16、①.②.2【解析】由結(jié)合，即可求出a的取值范圍；由，知關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，即可求出f（x）的最大值與最小值和.【詳解】由，，所以，則故a的取值范圍為.第（2）空:由，知關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，所以.故答案為：；.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的最小正周期為，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解析】（1）根據(jù)正弦函數(shù)的最小正周期公式計(jì)算可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）先求出函數(shù)的零點(diǎn)，是或中的元素，在分類討論計(jì)算可得.【小問1詳解】的最小正周期為：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；【小問2詳解】因，即所以函數(shù)的零點(diǎn)滿足：或即或所以是或中的元素當(dāng)時(shí)，則當(dāng)(或，)時(shí)，則當(dāng)，則所以的值的集合是18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，平方化簡(jiǎn)可得，計(jì)算即可得答案.（2）由題意得，可得或，根據(jù)的范圍，可求得的值，代入即可得答案.【小問1詳解】由，可得所以，即，所以【小問2詳解】由，可得，解得或，而，所以，解得，所以19、（1）2+（2）2,1+2【解析】（1）依題意可得DA=2cosθ，DB=2sinθ，再由∠CDB=θ，得到BE=2sin2θ（2）依題意可得DA+DB+DE=2cosθ+2sinθ+2sin【小問1詳解】解：因?yàn)椤螦DB=90°，AB=2，∠DAB=θ，所以DA=2cosθ，又因?yàn)椤螩DB=θ，所以BE=BDsinθ=2則S==2==2因?yàn)?<θ<π2，-π當(dāng)2θ-π3=π2時(shí)，即θ=5π【小問2詳解】解：DA+DB+DE=2設(shè)t=cosθ+sin所以2cosθsin因?yàn)閠=2sinθ+π而DA+DB+DE=(t+1)2-2可得DA+DB+DE的取值范圍2,1+220、（1）,（2）詳見解析（3）單調(diào)遞增區(qū)間是，，最小值為，取得最小值的的集合.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸，列式，求；（2）利用“五點(diǎn)法”列表，畫圖；（3）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【小