河北省石家莊十七中2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題

2022-2023學年度高一下學期階段二考試數(shù)學試卷一、單選題（40分）1.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的知識求得正確答案.詳解】由于，所以.故選：C2.對于非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量運算、向量平行等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由可得，A選項正確.B選項，若，則當方向相反時，，所以B選項錯誤.C選項，若，則，無法推出兩向量共線，所以C選項錯誤.D選項，若，可能，不一定有，所以D選項錯誤.故選：A3.的角A，B，C所對的邊為a，b，c，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計算可得；【詳解】解：因為，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因為，所以；故選：C4.有下列四個判斷：①兩條相交直線確定一個平面；②兩條平行直線確定一個平面；③三個點確定一個平面；④一條直線和一點確定一個平面.正確的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的有關(guān)概念進行分析，從而確定正確答案.【詳解】兩條相交直線確定一個平面，兩條平行直線確定一個平面，①②正確.在同一直線上的三個點不能確定一個平面，③錯誤.直線和直線上一點不能確定一個平面，④錯誤.所以正確的個數(shù)為個.故選：B5.某同學在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為，則該球的半徑是（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑，小圓半徑，球心距三者之間的關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即，根據(jù)截面圓的周長可得，得，故由題意知，即，所以，故選：B．【點睛】本題考查球被面所截的問題，考查學生計算能力以及空間想象能力，是基礎(chǔ)題．6.已知是的重心，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性質(zhì)與向量的線性運算即可得解.詳解】連接并延長交于，如圖，因為是的重心，則是的中點，所以，又，所以，，所以.故選：B.7.為了增強數(shù)學的應(yīng)用性，強化學生的理解，某學校開展了一次戶外探究.當?shù)赜幸蛔?，高度為，同學們先在地面選擇一點，在該點處測得這座山在西偏北21.7°方向，且山頂處的仰角為30°；然后從處向正西方向走700米后到達地面處，測得該山在西偏北81.7°方向，山頂處的仰角為60°.則山高為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】設(shè)山高為h米,利用仰角的正切表示出AO、BO,在△AOB中利用余弦定理列方程,求得h的值.【詳解】設(shè)山的高度為h,在Rt△中,,所以.在Rt△中,，所以.在△中,.由余弦定理得：，即，解得：.即山OT的高度為(米)故選：C8.網(wǎng)絡(luò)用語“車珠子”，通常是指將一塊原料木頭通過加工打磨，變成球狀珠子的過程，某同學有一圓錐狀的木塊，想把它“車成珠子”，經(jīng)測量，該圓錐狀木塊的底面直徑為，體積為，假設(shè)條件理想，他能成功，則該珠子的體積最大值是.A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題可令圓錐的高為厘米,可得,則,由底面直徑為,得母線長為,可設(shè)軸截面的內(nèi)切球半徑為,由,可得.那么珠子的體積最大值為.故本題答案選.點睛：解決球與其他幾何體的切，接的問題，關(guān)鍵在于選準最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球，幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達到空間問題平面化的止的．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合通常過多面體的一條側(cè)棱和球心，或”切點”，”接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題．二、多選題（20分）9.下列說法中正確的是（）A若直線與平面不平行，則與相交B.直線在平面外，則直線上不可能有兩個點在平面內(nèi)C.如果直線上有兩個點到平面的距離相等，則直線與平面平行D.如果是異面直線，，則是異面直線【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線面平行與相交的定義與性質(zhì)逐個選項判斷即可.【詳解】對A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯誤；對B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無交點或僅有1個交點，故B正確；對C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個在平面不同側(cè)的點到平面的距離相等，則故C錯誤；對D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD10.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若復數(shù)滿足，則C.若，則復數(shù)一定為實數(shù)D.若復數(shù)滿足，則最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)相等、復數(shù)運算、復數(shù)模等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由于，根據(jù)復數(shù)相等的知識可知，A選項正確.B選項，若，則，但，B選項錯誤.C選項，設(shè)，由得，則，解得，所以為實數(shù)，C選項正確.D選項，由于，所以對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，而表示圓上的點到原點的距離，所以最大值為，D選項正確.故選：ACD11.已知向量則下列命題正確的是（）A.存在，使得B.當時，與垂直C.對任意，都有D.當時，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量平行、垂直、模、夾角等知識確定正確答案.【詳解】A選項，若，則，不成立，所以A選項錯誤.B選項，當時，，則與垂直，所以B選項正確.C選項，，所以對任意，都有，所以C選項正確D選項，當時，，所以或，即或，所以D選項錯誤.故選：BC12.如圖所示，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④其中正確結(jié)論的序號是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標運算求解即可.【詳解】設(shè)每個小方格長度為1，則可得，.①，設(shè)，則，解得，故，①正確；②，設(shè)，則，解得，故，②錯誤；③，設(shè)，則，解得，故，③正確；④，設(shè)，則，解得，故，④正確；故選：ACD三、填空題（20分）13.若邊長為的等邊是一個平面圖形的直觀圖，則這個平圖形的面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)原圖與直觀圖的面積關(guān)系運算求解即可.【詳解】由題意可知：直觀圖的面積，所以這個平面圖形的面積是.故答案為：.14.非零向量和滿足，則與的夾角為【答案】【解析】【分析】以和為鄰邊作平行四邊形，然后結(jié)合圖形可得答案.【詳解】如圖：以和為鄰邊作平行四邊形，∵,∴、和構(gòu)成一個等邊三角形，∴、和構(gòu)成頂角為的等腰三角形，∴與的夾角為.故答案為：.15.如圖，在平面四邊形中，，，延長交的延長線于點，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相似比以及平面向量基本定理求得的值.【詳解】由于，，所以，所以，所以，過作，垂足為，則，由于，所以，所以.故答案為：16.設(shè)角，，所對的邊分別為，，，且，，當有兩個解時，的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理計算可得.【詳解】由正弦定理可知，即，所以，因為有兩個解，即有兩解，又，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題（70分）17.在中，已知，且是直角三角形，求實數(shù)的所有值.【答案】或或或【解析】【分析】根據(jù)直角進行分類討論，從而求得的值.【詳解】若為直角，則.若為直角，則.若為直角，則，解得或.綜上所述，的所有值為或或或.18.已知向量，且與的夾角為.（1）求及；（2）若與所成的角是銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根據(jù)與的夾角列方程，由此求得，進而求得.（2）根據(jù)與所成的角是銳角列不等式，由此求得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由于與的夾角為，所以，解得，則，所以【小問2詳解】，由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.19.已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，且高為3.（1）求它的表面積；（2）求它的體積.【答案】（1）36（2）12【解析】【分析】（1）畫出圖形，設(shè)對應(yīng)的邊長，再根據(jù)側(cè)面積是底面積的2倍列出對應(yīng)的方程求解棱長，再計算表面積即可；（2）利用錐體體積公式求解.【小問1詳解】如圖，設(shè)，是斜高，，，.在中，，，，.，，.【小問2詳解】正四棱錐的體積.20.如圖，在平面四邊形中，，，的面積為．⑴求的長；⑵若，，求的長．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式求得，再由余弦定理即可得到的長；（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的長．【詳解】⑴∵，，的面積為∴∴∴由余弦定理得∴⑵由（1）知中，，∴∵,∴又∵，∴在中，由正弦定理得即,∴【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式在三角形中的綜合應(yīng)用，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．21.如圖，在中，是的中點，點在上，且與交于點，設(shè).（1）求的值；（2）當時，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三點共線的知識求得.（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算求得.【小問1詳解】依題意，由于三點共線，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.22.已知中，角所對的邊分別為，