河北省石家莊十七中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年度高一下學(xué)期階段二考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（40分）1.若（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.詳解】由于，所以.故選：C2.對(duì)于非零向量，下列命題中正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量運(yùn)算、向量平行等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由可得，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則當(dāng)方向相反時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，則，無(wú)法推出兩向量共線，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，可能，不一定有，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A3.的角A，B，C所對(duì)的邊為a，b，c，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理將角化邊，再結(jié)合余弦定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，又，所以，因?yàn)?，所以；故選：C4.有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面的有關(guān)概念進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B5.某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該球的半徑是（）A.2 B.4 C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出截面圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑，小圓半徑，球心距三者之間的關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得，得，故由題意知，即，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球被面所截的問(wèn)題，考查學(xué)生計(jì)算能力以及空間想象能力，是基礎(chǔ)題．6.已知是的重心，若，則（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角形重心的性質(zhì)與向量的線性運(yùn)算即可得解.詳解】連接并延長(zhǎng)交于，如圖，因?yàn)槭堑闹匦?，則是的中點(diǎn)，所以，又，所以，，所以.故選：B.7.為了增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性，強(qiáng)化學(xué)生的理解，某學(xué)校開(kāi)展了一次戶外探究.當(dāng)?shù)赜幸蛔?，高度為，同學(xué)們先在地面選擇一點(diǎn)，在該點(diǎn)處測(cè)得這座山在西偏北21.7°方向，且山頂處的仰角為30°；然后從處向正西方向走700米后到達(dá)地面處，測(cè)得該山在西偏北81.7°方向，山頂處的仰角為60°.則山高為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】設(shè)山高為h米,利用仰角的正切表示出AO、BO,在△AOB中利用余弦定理列方程,求得h的值.【詳解】設(shè)山的高度為h,在Rt△中,,所以.在Rt△中,，所以.在△中,.由余弦定理得：，即，解得：.即山OT的高度為(米)故選：C8.網(wǎng)絡(luò)用語(yǔ)“車珠子”，通常是指將一塊原料木頭通過(guò)加工打磨，變成球狀珠子的過(guò)程，某同學(xué)有一圓錐狀的木塊，想把它“車成珠子”，經(jīng)測(cè)量，該圓錐狀木塊的底面直徑為，體積為，假設(shè)條件理想，他能成功，則該珠子的體積最大值是.A. B. C. D.【答案】A【解析】【詳解】由題可令圓錐的高為厘米,可得,則,由底面直徑為,得母線長(zhǎng)為,可設(shè)軸截面的內(nèi)切球半徑為,由,可得.那么珠子的體積最大值為.故本題答案選.點(diǎn)睛：解決球與其他幾何體的切，接的問(wèn)題，關(guān)鍵在于選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球，幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的止的．球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常作它們的軸截面解題，球與多面體的組合通常過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或”切點(diǎn)”，”接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題化歸為平面問(wèn)題．二、多選題（20分）9.下列說(shuō)法中正確的是（）A若直線與平面不平行，則與相交B.直線在平面外，則直線上不可能有兩個(gè)點(diǎn)在平面內(nèi)C.如果直線上有兩個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，則直線與平面平行D.如果是異面直線，，則是異面直線【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)線面平行與相交的定義與性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)A，若直線與平面不平行，則與相交或，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，直線在平面外，則直線與平面平行或相交，故直線在平面無(wú)交點(diǎn)或僅有1個(gè)交點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，若直線與平面相交，直線上仍存在兩個(gè)在平面不同側(cè)的點(diǎn)到平面的距離相等，則故C錯(cuò)誤；對(duì)D，如果是異面直線，，則異面，則是異面直線，故D正確.故選：BD10.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.若，則復(fù)數(shù)一定為實(shí)數(shù)D.若復(fù)數(shù)滿足，則最大值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)模等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，由于，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的知識(shí)可知，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，則，但，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，設(shè)，由得，則，解得，所以為實(shí)數(shù)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，而表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以最大值為，D選項(xiàng)正確.故選：ACD11.已知向量則下列命題正確的是（）A.存在，使得B.當(dāng)時(shí)，與垂直C.對(duì)任意，都有D.當(dāng)時(shí)，【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)向量平行、垂直、模、夾角等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，不成立，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則與垂直，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以對(duì)任意，都有，所以C選項(xiàng)正確D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以或，即或，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12.如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)每個(gè)小方格長(zhǎng)度為1，則可得，.①，設(shè)，則，解得，故，①正確；②，設(shè)，則，解得，故，②錯(cuò)誤；③，設(shè)，則，解得，故，③正確；④，設(shè)，則，解得，故，④正確；故選：ACD三、填空題（20分）13.若邊長(zhǎng)為的等邊是一個(gè)平面圖形的直觀圖，則這個(gè)平圖形的面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)原圖與直觀圖的面積關(guān)系運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意可知：直觀圖的面積，所以這個(gè)平面圖形的面積是.故答案為：.14.非零向量和滿足，則與的夾角為【答案】【解析】【分析】以和為鄰邊作平行四邊形，然后結(jié)合圖形可得答案.【詳解】如圖：以和為鄰邊作平行四邊形，∵,∴、和構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，∴、和構(gòu)成頂角為的等腰三角形，∴與的夾角為.故答案為：.15.如圖，在平面四邊形中，，，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)相似比以及平面向量基本定理求得的值.【詳解】由于，，所以，所以，所以，過(guò)作，垂足為，則，由于，所以，所以.故答案為：16.設(shè)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理可知，即，所以，因?yàn)橛袃蓚€(gè)解，即有兩解，又，則，由正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得且，所以，即，解得，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題（70分）17.在中，已知，且是直角三角形，求實(shí)數(shù)的所有值.【答案】或或或【解析】【分析】根據(jù)直角進(jìn)行分類討論，從而求得的值.【詳解】若為直角，則.若為直角，則.若為直角，則，解得或.綜上所述，的所有值為或或或.18.已知向量，且與的夾角為.（1）求及；（2）若與所成的角是銳角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根據(jù)與的夾角列方程，由此求得，進(jìn)而求得.（2）根據(jù)與所成的角是銳角列不等式，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由于與的夾角為，所以，解得，則，所以【小問(wèn)2詳解】，由于與所成的角是銳角，所以，，解得且.19.已知正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，且高為3.（1）求它的表面積；（2）求它的體積.【答案】（1）36（2）12【解析】【分析】（1）畫(huà)出圖形，設(shè)對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)，再根據(jù)側(cè)面積是底面積的2倍列出對(duì)應(yīng)的方程求解棱長(zhǎng)，再計(jì)算表面積即可；（2）利用錐體體積公式求解.【小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)，是斜高，，，.在中，，，，.，，.【小問(wèn)2詳解】正四棱錐的體積.20.如圖，在平面四邊形中，，，的面積為．⑴求的長(zhǎng)；⑵若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角形的面積公式求得，再由余弦定理即可得到的長(zhǎng)；（2）由（1）可得，在中，利用正弦定理即可得的長(zhǎng)．【詳解】⑴∵，，的面積為∴∴∴由余弦定理得∴⑵由（1）知中，，∴∵,∴又∵，∴在中，由正弦定理得即,∴【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理、面積公式在三角形中的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21.如圖，在中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，設(shè).（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)求得.（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算求得.【小問(wèn)1詳解】依題意，由于三點(diǎn)共線，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.22.已知中，角所對(duì)的邊分別為，