浙江省溫州市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題word版含解析

2022-2023學(xué)年浙江省溫州市高二年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8題，每題5分，共40分）設(shè)集合，，則等于(

)A. B. C. D.若a，，則“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)是虛數(shù)單位”是“”的(

)A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件向量，分別是直線，的方向向量，且，，若，則(

)A.12 B.14 C.16 D.18已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為(

)A. B.0 C.1 D.2若圓錐的表面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則下列結(jié)論正確的為(

)A.圓錐的母線長(zhǎng)為1 B.圓錐的底面半徑為2

C.圓錐的體積為 D.圓錐的側(cè)面積為在三棱錐中，，且，E，F(xiàn)分別是棱CD，AB的中點(diǎn)，則EF和AC所成的角等于(

)A. B. C. D.已知，，，則(

)A. B. C. D.在正方體中，點(diǎn)P滿(mǎn)足，且，直線與平面所成角為，若二面角的大小為，則的最大值是(

)A. B. C. D.二、多選題（本大題共4題，每題5分，共20分）設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的有(

)A.若，，m，，則

B.若，，則

C.若，，則

D.若，，，則已知，對(duì)于，，下述結(jié)論正確的是(

)A. B.

C. D.已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，則(

)A. B.

C.雙曲線C的離心率為 D.雙曲線C的漸近線方程為在正三棱錐中，，，E，F(xiàn)分別為BC，PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)Q是此三棱錐表面上一動(dòng)點(diǎn)，且，記動(dòng)點(diǎn)Q圍成的平面區(qū)域的面積為S，三棱錐的體積為V，則(

)A.當(dāng)時(shí)， B.當(dāng)時(shí)，

C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，三、填空題（本大題共4題，每題5分，共20分）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象過(guò)原點(diǎn)，則m的最小值是__________.若點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則的值為_(kāi)_________.已知四面體ABCD中，，平面ACD，平面ABD，則四面體ABCD外接球的半徑是__________已知，分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，P是橢圓C上一點(diǎn)，若線段上有且只有中點(diǎn)Q滿(mǎn)足其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓C的離心率是__________.四、解答題（本大題共6題，共70分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.已知函數(shù)求函數(shù)的值域;若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.某校對(duì)2022學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)單位：分進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：估計(jì)該校高二年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)考試成績(jī)的第80百分位數(shù);為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，由頻率分布直方圖，成績(jī)?cè)诤偷膬山M中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.已知四棱錐中，，，，，，求證：求直線PC與平面PBD所成角的正弦值.在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角A，B，C的所對(duì)的邊分別為a，b，c，__________.若，求求的最大值.已知點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PQ，Q為垂足，動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，與圓O交于C，D兩點(diǎn)，求的最大值;是否存在定點(diǎn)T，使得的值是定值?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)及該定值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由，解得或，

2.【答案】B

【解析】解：若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，且，

，且可推出，但，不一定得到，且，

“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件．

3.【答案】B

【解析】解：，，存在非零實(shí)數(shù)k，使得，

，解得，，即，

4.【答案】A

【解析】解：滿(mǎn)足，由函數(shù)對(duì)稱(chēng)性可知關(guān)于對(duì)稱(chēng)，

且，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以

可得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，

則

當(dāng)時(shí)，所以，所以

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，由于其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，

則，即，又圓錐的表面積為，

所以表面積，解得，得母線長(zhǎng)，

則圓錐的高，

所以側(cè)面積，體積

6.【答案】B

【解析】解：如圖所示：

取BC的中點(diǎn)G，連接FG，

，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，

，，且，

又，，為EF與AC所成的角或其補(bǔ)角

，，，為等腰直角三角形，

，即EF與AC所成的角為

7.【答案】A

【解析】解：，，

，

平方分析可知，，，

綜上：

8.【答案】C

【解析】解：，且，

在平面上，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則可知為棱長(zhǎng)為的正四面體，

可求得點(diǎn)到平面的距離，且到平面的垂足為等邊的中心，設(shè)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)O，顯然O為和的交點(diǎn)，

又與平面所成角為，則，可求得，

在以為圓心，半徑的圓上，且圓在平面內(nèi)，

易證得，，而AC與為平面內(nèi)兩相交直線，

平面，即可得到點(diǎn)在直線上，

又平面，平面平面，且兩個(gè)平面的交線為AO，

把兩個(gè)平面抽象出來(lái)，如下圖，

作交AO于M點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作交AD于N點(diǎn)，連接MN，

平面平面，平面，平面平面，

平面，，

又，MN與PM為平面PMN中兩相交直線，

故平面PMN，，

為二面角的平面角，即為角，

設(shè)，，得，

當(dāng)M與點(diǎn)不重合時(shí)，在中，可求得

若M與點(diǎn)重合時(shí)，即當(dāng)時(shí)，可求得，也符合上式，

故，

，，，

，，

令，

則，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，

故的最大值是

9.【答案】BD

【解析】解：若，，m，時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理應(yīng)該還需要m、n相交于一點(diǎn)，才可以得到，故A錯(cuò)誤；

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，當(dāng)，，有，故B正確；

若，時(shí)，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，應(yīng)該還需要，才可以得到，故C錯(cuò)誤；

直接根據(jù)線面垂直以及線線垂直的性質(zhì)，可以判斷當(dāng)，，時(shí)，有，故D正確．

10.【答案】AC

【解析】解：對(duì)于A，，A正確.

對(duì)于B，取，，，，B錯(cuò)誤.

對(duì)于C，當(dāng)，，則，，，滿(mǎn)足，

當(dāng)，時(shí)，，由在R上的單調(diào)性知，，滿(mǎn)足，

當(dāng)，時(shí)，同理滿(mǎn)足，

當(dāng)，時(shí)，，，，，滿(mǎn)足，故，C正確.

對(duì)于D，取，，，，不滿(mǎn)足，D錯(cuò)誤.

11.【答案】BC

【解析】解：雙曲線C：，則，

P為雙曲線C上任意一點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，

則，故A錯(cuò)誤；

根據(jù)向量知識(shí)集合雙曲線得定義，

可得，

當(dāng)且僅當(dāng)P為實(shí)軸端點(diǎn)，等號(hào)成立，故B正確；

由于，，則雙曲線C的離心率，故C正確；

因?yàn)殡p曲線C：，則雙曲線C的漸近線方程為，故D錯(cuò)誤.

12.【答案】ACD

【解析】解：由題意知，直線PE垂直于動(dòng)點(diǎn)Q圍成的平面區(qū)域所在的平面，

當(dāng)時(shí)，正三棱錐的底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)面PAB、PAC、PBC都是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，

則此時(shí)正三棱錐的體積，

由題意可知，動(dòng)點(diǎn)Q圍成的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的矩形FGHI，其中點(diǎn)F、G、H、I均為所在棱上的中點(diǎn)，且，，則該矩形的面積為，故A、C均正確；

當(dāng)時(shí)，正三棱錐即為棱長(zhǎng)為2的正四面體，各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

則此時(shí)正三棱錐的體積，

由題意可知，動(dòng)點(diǎn)Q圍成的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的三角形FGH，

其中點(diǎn)F、G分別為PC、PB的中點(diǎn)，且，，

則該三角形的面積為，故B錯(cuò)誤、D正確.

13.【答案】

【解析】解：平移后函數(shù)解析式為，由圖象過(guò)原點(diǎn)，，

，又，故時(shí)，m取最小值

14.【答案】4

【解析】解：因?yàn)闉閮绾瘮?shù)，則，，即，

又點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則，解得，所以

15.【答案】1

【解析】解：如圖所示：

將四面體ABCD放到長(zhǎng)方體中，則四面體ABCD的外接球即為其所在的長(zhǎng)方體的外接球，

BC為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即為外接球的直徑，因此，四面體ABCD外接球的半徑是

16.【答案】

【解析】解：當(dāng)P為長(zhǎng)軸的端點(diǎn)時(shí)，不滿(mǎn)足條件，

故不妨設(shè)，當(dāng)Q為中點(diǎn)時(shí)，則，，，

且，在中，，

假設(shè)Q不為中點(diǎn)，設(shè)，，在中，，

，

整理得：，又線段上有且只有中點(diǎn)Q滿(mǎn)足，

故關(guān)于t的方程兩根相等，，

化簡(jiǎn)得：，又，求得

17.【答案】解：設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中，半徑為，記線段AB中點(diǎn)為D，則，又直線AB的斜率為1，由條件得線段AB中垂線CD方程為，由圓的性質(zhì)，圓心在直線CD上，化簡(jiǎn)得，所以圓心，，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；因?yàn)橹本€l與圓C相交的弦長(zhǎng)，圓心到直線l的距離，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程，此時(shí)，不符合題意，舍去.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程，即，由題意得，解得或，故直線l的方程為或，即或，綜上直線l的方程為或18.【答案】解：因?yàn)槎x域?yàn)椋?/p>

則，設(shè)，則，所以值域?yàn)橐驗(yàn)椋?，設(shè)，則，

原問(wèn)題化為對(duì)任意，，即，因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，

即的最小值為3，所以19.【答案】解：由，可得樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?10分以下所占比例為，在130分以下所占比例為，因此，第80百分位數(shù)一定位于內(nèi)，由，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)約為由題意可知，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人，分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為人用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在內(nèi)抽取2人，分別記為a，b，內(nèi)抽取3人，分別記為x，y，z，設(shè)“從樣本中抽取2人，至少有1人分?jǐn)?shù)在內(nèi)”為事件A，則樣本空間為共包含10個(gè)樣本點(diǎn)，而事件，包含7個(gè)樣本點(diǎn)，所以，即抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率為

20.【答案】解：在梯形ABCD中，，，，，

可算得，所以，在中，，，滿(mǎn)足，所以，

又平面PBD，平面PBD，且，所以平面PBD，又因?yàn)槠矫鍼BD，所以；由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，

則平面平面ABCD，取BD中點(diǎn)O，連OP，OC，因?yàn)?，所以，而平面ABCD，且平面平面，

平面PBD，所以就是PC與平面PBD所成的角，在中，易得，在中，，，計(jì)算可得，所以，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為解法由證明可知，平面PBD，因?yàn)槠矫鍭BCD，

則平面平面ABCD，

通過(guò)計(jì)算可得，建立以，為x軸，y軸的正方向，

以過(guò)D與平面ABCD垂直的向量為在z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

顯然z軸再平面PBD中且垂直于BD，

則，，，，所以，，，設(shè)平面PBD的法向量為，則，即取，設(shè)直線PC與平面PBD所成角為，則，所以求直線PC與平面PBD所成角的正弦值為

21.【答案】解：若選①，由正弦定理可得，，當(dāng)時(shí)，代入得，，整理可得，，在中，，所以，所以，即，

又C為三角形內(nèi)角，所以，所以若選②，當(dāng)時(shí)，代入得，，，，，又因?yàn)?，，所以，所以若選①，因?yàn)?，所以，，，在中，，，所以選②，因?yàn)椋?，，，在中，，所以，，由，及在上遞減，可得，進(jìn)一步得，所以，所以