江蘇省揚(yáng)州市揚(yáng)州中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題

江蘇省揚(yáng)州中學(xué)20222023學(xué)年度第二學(xué)期月考試題高一數(shù)學(xué)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的.（請(qǐng)將所有選擇題答案填到答題卡的指定位置中.）1.若復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)，則（）.A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先求出，然后再求出模.【詳解】因?yàn)?，化簡得，故，所以故選：2.設(shè)，為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】利用直線、平面的位置關(guān)系進(jìn)行判斷以及通過舉反例進(jìn)行排除.【詳解】對(duì)于A，若，，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，，則或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，利用線面垂直的性質(zhì)定理以及平行的傳遞性，可知C正確；對(duì)于D，若，，，當(dāng)，不一定垂直于，故D錯(cuò)誤.故選：C.3.在中，若，，，則此三角形解的情況是（）A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定【答案】B【解析】【分析】由，根據(jù)作圓法結(jié)論可得結(jié)果.【詳解】，，有兩解.故選：B.4.設(shè)平面向量，滿足，，，則在上投影向量的模為（）.A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】表示出在上投影向量，結(jié)合已知條件即可求得答案.【詳解】由題意可知：在上投影向量為，故在上投影向量的模為，故選：A5.中國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高.詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.一個(gè)上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為的正六棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為（）A.16 B. C. D.21【答案】D【解析】【分析】由祖暅原理知不規(guī)則幾何體的體積與正六棱臺(tái)體積相等即可求解.【詳解】由祖暅原理，該不規(guī)則幾何體體積與正六棱臺(tái)體積相等，故.故選：D6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用和差角公式展開，得到，即可得到，再利用兩角差的余弦公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故選：A．7.已知四邊形中，，點(diǎn)在四邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】由題意分析可知四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，且，只需考慮點(diǎn)E在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論,求出最小值.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，且，所以垂直且平分，則為等腰三角形，又，所以為等邊三角形,則四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)E在四邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)E在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，因?yàn)?，，知，即，則，①當(dāng)點(diǎn)E邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，則,當(dāng)時(shí)，最小值為；②當(dāng)點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè),則,則，當(dāng)時(shí)，的最小值為；綜上，的最小值為；故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由題意可推得四邊形的幾何性質(zhì)，即要推出，然后要考慮E點(diǎn)位置，即要分類討論，進(jìn)而根據(jù)向量的線性運(yùn)算表示出，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求解.8.在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由正弦定理邊化角結(jié)合兩角和差的正弦公式可得，推出，則,結(jié)合銳角三角形確定B的范圍，繼而將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由可得，結(jié)合,可得，即，由于在銳角中，，故，則,則,又，所以恒成立，即恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?，令，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故，即，故，故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）三角等式含有邊角關(guān)系式時(shí)，一般利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角或邊之間的關(guān)系進(jìn)行化簡；（2）不等式恒成立問題一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或最值問題解決；（3）一般要注意利用基本不等式或者函數(shù)單調(diào)性比如對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)最值或范圍.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.下面是關(guān)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的命題，其中真命題為（

）A.的虛部為B.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限C.的共軛復(fù)數(shù)為D.若，則的最大值是【答案】CD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的概念可判斷A選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷B選項(xiàng)；利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，則.對(duì)于A選項(xiàng)，的虛部為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，的共軛復(fù)數(shù)為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，由?fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，D對(duì).故選：CD.10.關(guān)于函數(shù),下列說法正確的有（）A.的最大值為，最小值為B.的單調(diào)遞增區(qū)間為C.的最小正周期為D.的對(duì)稱中心為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得的最值，判斷A；同理結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、周期以及對(duì)稱中心可判斷B，C，D..【詳解】由題意得，則最大值為，最小值為，A正確；令，即，故單調(diào)遞增區(qū)間為，B正確；的最小正周期為，C錯(cuò)誤；令，故的對(duì)稱中心為，D正確，故選：ABD.11.如圖，已知的內(nèi)接四邊形中，，，，下列說法正確的是（）A.四邊形的面積為 B.該外接圓的半徑為C. D.過作交于點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)及余弦定理求出，，進(jìn)而求出，利用面積公式進(jìn)行求解；B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，由正弦定理求出外接圓直徑；C選項(xiàng)，作出輔助線，利用數(shù)量積的幾何意義進(jìn)行求解；D選項(xiàng)，結(jié)合A選項(xiàng)和C選項(xiàng)中的結(jié)論，先求出∠DOF的正弦與余弦值，再利用向量數(shù)量積公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】對(duì)于A，連接，在中，，，由于，所以，故，解得，所以，，所以，故，，故四邊形的面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)外接圓半徑為，則，故該外接圓的直徑為，半徑為，故B正確；對(duì)于C，連接，過點(diǎn)O作OG⊥CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，則由垂徑定理得：，由于，所以，即，解得，所以，所以，且，所以，即在向量上的投影長為1，且與反向，故，故C正確；對(duì)于D，由C選項(xiàng)可知：，故，且，因?yàn)?，由?duì)稱性可知：DO為∠ADC的平分線，故，由A選項(xiàng)可知：，顯然為銳角，故，，所以，所以，故D正確.故選：BCD12.如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，沿AE?AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使得B?C?D三點(diǎn)重合于點(diǎn)S，得到四面體（如圖2）.下列結(jié)論正確的是（）A.平面平面SAFB.四面體的體積為C.二面角正切值為D.頂點(diǎn)S在底面AEF上的射影為的垂心【答案】BD【解析】【分析】（１）作輔助線，證為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，從而判斷A選項(xiàng)．（２）先證平面AEF，從而得到錐體高，計(jì)算出所需長度，算出體積即可．（３）證為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角，計(jì)算的正切值．（４）先證O為S在平面AEF上的射影，由于AM，只需證，即可．【詳解】如圖，作EF的中點(diǎn)M，連結(jié)AM、SM，過S作AM的垂線交AM于點(diǎn)O，連結(jié)SO，過O作AF的垂線交AF于點(diǎn)N，連結(jié)SN由題知AE=AF=，所以AM，SE=SF=1，所以，為平面SEF與平面AEF的二面角的平面角又平面ASM，平面ASM，SO，作法知，，平面AEF，所以SO為錐體的高．所以O(shè)為S在平面AEF上的射影.平面AEF，所以，由作法知，平面SON，平面SON，為平面SAF與平面AEF的二面角的平面角，顯然為銳角，故A錯(cuò)．由題知，，又AS＝２，，SE＝１，，四面體S?AEF的體積為，故B正確．在直角三角形ASM中：故C不正確．因?yàn)?，，所以，，由?duì)稱性知，又AM故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.圓錐側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)扇形弧長與底面半徑關(guān)系得，解出弧長，最后利用側(cè)面積公式即可.【詳解】設(shè)圓錐的母線為,則,所以,則圓錐的側(cè)面積為.故答案為：.14.已知，則的值是__________．【答案】5【解析】【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化簡，在將代入即可.【詳解】因?yàn)?，所以，故答案為?.15.已知函數(shù)，且關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那實(shí)數(shù)的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法，將方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)的問題，觀察圖象即可得到結(jié)果.【詳解】作出的圖象，如下圖所示：∵關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，∴函數(shù)的圖象與有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖可知，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知銳角的內(nèi)角所對(duì)的邊分別，角．若是的平分線，交于，且，則的最小值為________；若的外接圓的圓心是，半徑是1，則的取值范圍是________．【答案】①.②..【解析】【分析】(1)由已知利用，可得，然后利用“”的代換，基本不等式即可得出結(jié)果.(2)根據(jù)銳角三角形的角度范圍，表示出，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】(1)由是的平分線，得，又，即，化簡得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，取等號(hào)．(2)，=，是銳角三角形，，，．故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，，，i為虛數(shù)單位．（1）若是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念列式可求出；（2）根據(jù)求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求出結(jié)果即可.【小問1詳解】，，所以，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，得.【小問2詳解】由（1）知，，因?yàn)?，所以，得，所以，，所?18.如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)D到平面ABE的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）通過證明，，得證平面．（2）由，利用體積法求點(diǎn)D到平面ABE的距離．【小問1詳解】證明：∵，D，E分別為AC，的中點(diǎn)，∴，且，又平面，∴平面，又平面，∴，又，且，平面，∴平面．【小問2詳解】∵，，，∴，∴，，．在中，，，∴邊上高為．∴．設(shè)點(diǎn)D到平面ABE的距離為d，根據(jù)，得，解得，所以點(diǎn)D到平面ABE的距離為．19.在中，，，，為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿足，求的最小值，并求此時(shí)的．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將化為和表示，利用和的長度和夾角計(jì)算可得結(jié)果；（2）用、表示，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)（靠近點(diǎn)），所以，所以，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最小值.20.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）若，求C；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由題給條件求得，進(jìn)而求得；（2）先利用正弦定理和題給條件求得和，再構(gòu)造函數(shù)，求得此函數(shù)值域即為的取值范圍【小問1詳解】由，可得，則整理得，解之得或又，則，則，則【小問2詳解】A，B為的內(nèi)角，則則由，可得，則均為銳角又，則，則，則則令，則又在單調(diào)遞增，，可得，則的取值范圍為，則的取值范圍為21.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，，，E為邊AB中點(diǎn)，將沿直線DE翻折為，若F為線段的中點(diǎn)．在翻折過程中，（1）求證：平面；（2）若二面角，求與面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，通過證平面平面，可得面.（2）利用二面角的平面角的定義先找出二面角的平面角即為，再利用面面垂直的性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出與面所成的角，計(jì)算可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，為線段的中點(diǎn)，，平面，平面，平面，又，，四邊形為平行四邊形，則平面，平面，可得平面，又，，平面，可得平面平面，平面，則面【小問2詳解】取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，由，，為邊的中點(diǎn)，得，所以為等邊三角形，從而，，又，為的中點(diǎn)所以，又是等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，所以，過點(diǎn)作，過作交于，連接，是等邊三角形，所以可求得，，所以，，，，，，所以，，又，，面，所以面，又，所以面，平面，所以面面，由，在中易求得，又，所以，，面面，面，所以面，所以為與平面所成的角，在中可求得，所以，與面所成角的正弦值為22.已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為.（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間：（2）若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求解函數(shù)的解析式，再利用正