廣西桂林市高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷文(含解析)

廣西桂林市2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷文（含解析）廣西桂林市2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷文（含解析）19/19廣西桂林市2015-2016學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末試卷文（含解析）廣西桂林市2015-2016學(xué)年高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1﹣i）2=（） A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i2．函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)是（） A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx3．曲線y=x3﹣x2﹣2x+1在（0，1）處切線的斜率是（） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣14．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（） A．﹣i B．i C．+i D．﹣i5．下面幾種推理過程是演繹推理的是（） A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180° B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì) C．某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人 D．在數(shù)列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），計算a2、a3，a4，由此猜測通項an 6．觀察：32﹣1=8，52﹣1=24，72﹣1=48，92﹣1=80，…，則第n個等式為（） A．（2n﹣1）2﹣1=4n2﹣4n B．（3n﹣1）2﹣1=9n2﹣6nC．（2n+1）2﹣1=4n2+4nD．（3n+1）2﹣1=9n2+6n7．某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如表對應(yīng)數(shù)據(jù)（單位：百萬元） x24568y304060t70根據(jù)如表求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=6.5x+17.5，則表中t的值為（） A．50 B．55 C．56.5 D．55.58．要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要證明（） A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a(chǎn)2+b2﹣1﹣≤0 C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0 9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．如圖所示的程序框圖表示的算法功能是（） A．計算S=1×2×3×4×5×6的值 B．計算S=1×2×3×4×5的值 C．計算S=1×2×3×4的值 D．計算S=1×3×5×7的值 11．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（） A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e12．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，如果0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10．那么（） A．0≤c＜10 B．c＞4 C．c≤﹣6 D．﹣6≤c＜4 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 13．曲線y=x2﹣2x在點P處的切線平行于x軸，則點P的坐標(biāo)是． 14．觀察下列式子：，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應(yīng)該為． 15．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科文科男1310女720已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k=≈4.844．則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為． 16．不等式ex≥kx對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的最大值為． 三、解答題（共6小題，滿分70分） 17．已知i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是實數(shù)，求實數(shù)b的值． 18．討論函數(shù)f（x）=lnx﹣x的單調(diào)性． 19．已知函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣1． （1）求曲線y=f（x）在點（1，﹣1）處的切線方程； （2）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=﹣x+3垂直，求切點坐標(biāo)． 20．從某大學(xué)隨機抽取10名大學(xué)生，調(diào)查其家庭月收入與其每月上學(xué)的開支情況，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與其每月上學(xué)的開支yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得： xi=80，yi=20，xiyi=184，x=720． （1）求其每月上學(xué)的開支y對月收入x的線性回歸方程=bx+a； （2）若某學(xué)生家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭每月支付其上學(xué)的費用， 附：線性回歸方程=bx+a中b=，a=﹣b，其，為樣本平均值． 21．某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）． （Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域； （Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 22．已知函數(shù)f（x）=+lnx． （I）當(dāng)時，求f（x）在[1，e]上的最大值和最小值； （II）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣x在[1，e]上為增函數(shù)，求正實數(shù)a的取值范圍． 2015-2016學(xué)年廣西桂林市高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分） 1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（1﹣i）2=（） A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)計算即可． 【解答】解：（1﹣i）2=1﹣2i﹣1=﹣2i， 故選：C． 2．函數(shù)y=cosx的導(dǎo)數(shù)是（） A．sinx B．﹣sinx C．cosx D．﹣cosx【考點】導(dǎo)數(shù)的運算． 【分析】直接根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式進行求解即可． 【解答】解：∵y=cosx， ∴函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=﹣sinx， 故選：B 3．曲線y=x3﹣x2﹣2x+1在（0，1）處切線的斜率是（） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】先求出函數(shù)y=x3﹣x2﹣2x+1的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可令x=0，即可得出切線的斜率． 【解答】解：函數(shù)y=x3﹣x2﹣2x+1的導(dǎo)數(shù)為y′=3x2﹣2x﹣2， 可得曲線在（0，1）處切線的斜率k=﹣2， 故選：A． 4．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)=（） A．﹣i B．i C．+i D．﹣i【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出． 【解答】解：復(fù)數(shù)===i． 故選：B． 5．下面幾種推理過程是演繹推理的是（） A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A+∠B=180° B．由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì) C．某校高三共有10個班，1班有51人，2班有53人，三班有52人，由此推測各班都超過50人 D．在數(shù)列{an}中，a1=1，an=（an﹣1+）（n≥2），計算a2、a3，a4，由此猜測通項an 【考點】演繹推理的基本方法． 【分析】由推理的基本形式，逐個選項驗證可得． 【解答】解：選項A為三段論的形式，屬于演繹推理； 選項B為類比推理；選項C不符合推理的形式； 選項D為歸納推理． 故選：A 6．觀察：32﹣1=8，52﹣1=24，72﹣1=48，92﹣1=80，…，則第n個等式為（） A．（2n﹣1）2﹣1=4n2﹣4n B．（3n﹣1）2﹣1=9n2﹣6nC．（2n+1）2﹣1=4n2+4n D．（3n+1）2﹣1=9n2+6n 【考點】歸納推理． 【分析】觀察等式的左邊，是連續(xù)奇數(shù)的平方與1的差，右邊可分解為8的倍數(shù)，由此得出規(guī)律，寫出第n個等式． 【解答】解：因為32﹣1=8，即（2×1+1）2﹣1=4×12+4×1=8； 52﹣1=24，即（2×2+1）2﹣1=4×22+4×2=24； 72﹣1=48，即（2×3+1）2﹣1=4×32+4×3=48； 92﹣1=80，即（2×4+1）2﹣1=4×42+4×4=80； …， 所以第n個等式為（2n+1）2﹣1=4n2+4n． 故選：C． 7．某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y之間有如表對應(yīng)數(shù)據(jù)（單位：百萬元） x24568y304060t70根據(jù)如表求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=6.5x+17.5，則表中t的值為（） A．50 B．55 C．56.5 D．55.5【考點】線性回歸方程． 【分析】根據(jù)線性回歸方程過樣本中心點（，），求出，代入回歸直線方程，即可求出，即可求得t的值． 【解答】解：由線性回歸方程過樣本中心點（，）， =（2+4+5+6+8）=5， ∴=6.5+17.5=50， ∴=（30+40+60+t+70）=50， 解得：t=50， 故答案選：A． 8．要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要證明（） A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a(chǎn)2+b2﹣1﹣≤0 C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0 【考點】綜合法與分析法(選修）． 【分析】將左邊因式分解，即可得出結(jié)論． 【解答】解：要證：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要證明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0， 只要證明≥0． 故選：D． 9．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎．”乙說：“甲、丙都未獲獎．”丙說：“我獲獎了．”丁說：“是乙獲獎．”四位歌手的話只有兩句是對的，則獲獎的歌手是（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考點】進行簡單的合情推理． 【分析】這是一個簡單的合情推理題，我們根據(jù)“四位歌手的話只有兩句是對的”，假設(shè)某一個人說的是真話，如果與條件不符，說明假設(shè)不成立，如果與條件相符，則假設(shè)成立的方法解決問題． 【解答】解：若甲是獲獎的歌手，則都說假話，不合題意． 若乙是獲獎的歌手，則甲、乙、丁都說真話，丙說假話，不符合題意． 若丁是獲獎的歌手，則甲、丁、丙都說假話，乙說真話，不符合題意． 故獲獎的歌手是丙 故先C 10．如圖所示的程序框圖表示的算法功能是（） A．計算S=1×2×3×4×5×6的值 B．計算S=1×2×3×4×5的值 C．計算S=1×2×3×4的值 D．計算S=1×3×5×7的值 【考點】程序框圖． 【分析】模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的S，t的值，當(dāng)S=1×2×3×4×5=120時，不滿足條件S≤100，退出循環(huán)，輸出S的值為120，從而得解． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序，可得 S=1，t=2 滿足條件S≤100，S=1×2=2，t=3 滿足條件S≤100，S=1×2×3=6，t=4 滿足條件S≤100，S=1×2×3×4=24，t=5 滿足條件S≤100，S=1×2×3×4×5=120，t=6 不滿足條件S≤100，退出循環(huán)，輸出S的值為120． 故程序框圖的功能是求S=1×2×3×4×5的值． 故選：B． 11．已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，則f′（1）=（） A．﹣e B．﹣1 C．1 D．e【考點】導(dǎo)數(shù)的乘法與除法法則；導(dǎo)數(shù)的加法與減法法則． 【分析】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），利用求導(dǎo)公式對f（x）進行求導(dǎo)，再把x=1代入，即可求解； 【解答】解：∵函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f（x）=2xf′（1）+lnx，（x＞0） ∴f′（x）=2f′（1）+，把x=1代入f′（x）可得f′（1）=2f′（1）+1， 解得f′（1）=﹣1， 故選B； 12．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，如果0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10．那么（） A．0≤c＜10 B．c＞4 C．c≤﹣6 D．﹣6≤c＜4【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】利用條件建立方程與不等式，由此能求出c的取值范圍． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，且0≤f（1）=f（2）=f（3）＜10， ∴，解得a=﹣6，b=11，﹣6≤c＜4． 故選：D． 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分） 13．曲線y=x2﹣2x在點P處的切線平行于x軸，則點P的坐標(biāo)是（1，﹣1）． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】設(shè)出切點P（m，n），求得曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，解m的方程可得m，代入曲線方程可得切點的坐標(biāo)． 【解答】解：設(shè)切點P（m，n）， y=x2﹣2x的導(dǎo)數(shù)為y′=2x﹣2， 可得切線的斜率為2m﹣2， 由切線平行于x軸，可得 2m﹣2=0，解得m=1， 由n=m2﹣2m=1﹣2=﹣1． 即有切點P（1，﹣1）． 故答案為：（1，﹣1）． 14．觀察下列式子：，…，根據(jù)上述規(guī)律，第n個不等式應(yīng)該為1+++…+＜． 【考點】歸納推理． 【分析】根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是n+1個自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論． 【解答】解：根據(jù)規(guī)律，不等式的左邊是n+1個自然數(shù)倒數(shù)的平方的和，右邊分母是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，分子是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以第n個不等式應(yīng)該為1+++…+＜ 故答案為：1+++…+＜ 15．為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科男 13 10女 7 20已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025．根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到k=≈4.844．則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為5%． 【考點】獨立性檢驗的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)條件中所給的觀測值，同所給的臨界值進行比較，根據(jù)4.844＞3.841，即可得到認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為5%． 【解答】解：∵根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值≈4.844． 4.844＞3.841， ∴認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為5%． 故答案為：5%． 16．不等式ex≥kx對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)k的最大值為e． 【考點】函數(shù)恒成立問題． 【分析】由題意可得f（x）=ex﹣kx≥0恒成立，即有f（x）min≥0，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，討論k，可得最小值，解不等式可得k的最大值． 【解答】解：不等式ex≥kx對任意實數(shù)x恒成立，即為 f（x）=ex﹣kx≥0恒成立， 即有f（x）min≥0， 由f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=ex﹣k， 當(dāng)k≤0，ex＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）遞增，無最大值； 當(dāng)k＞0時，x＞lnk時f′（x）＞0，f（x）遞增；x＜lnk時f′（x）＜0，f（x）遞減． 即有x=lnk處取得最小值，且為k﹣klnk， 由k﹣klnk≥0，解得k≤e， 即k的最大值為e， 故答案為：e． 三、解答題（共6小題，滿分70分） 17．已知i是虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z1=3﹣bi，z2=1﹣2i，若是實數(shù)，求實數(shù)b的值． 【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則結(jié)合復(fù)數(shù)是實數(shù)的等價條件進行求解即可． 【解答】解：∵z1=3﹣bi，z2=1﹣2i， ∴===+i， ∵是實數(shù)，∴=0， 得b=6． 18．討論函數(shù)f（x）=lnx﹣x的單調(diào)性． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可． 【解答】解：f（x）的定義域是（0，+∞）， f′（x）=， 令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1， 令f′（x）＜0，解得：x＞1， ∴f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減． 19．已知函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣1． （1）求曲線y=f（x）在點（1，﹣1）處的切線方程； （2）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=﹣x+3垂直，求切點坐標(biāo)． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點斜式方程，即可得到所求切線的方程； （2）設(shè)出切點（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為﹣1，可得切線的斜率為2，解m的方程可得m，代入函數(shù)f（x），計算即可得到所求切點的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x3﹣x﹣1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣1， 可得曲線y=f（x）在點（1，﹣1）處的切線斜率為3﹣1=2， 即有曲線y=f（x）在點（1，﹣1）處的切線方程為y﹣（﹣1）=2（x﹣1）， 即為2x﹣y﹣3=0； （2）設(shè)切點坐標(biāo)為（m，n）， 切線與直線y=﹣x+3垂直，可得切線的斜率為2， 又f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2﹣1， 可得3m2﹣1=2， 解得m=1或﹣1， 則n=m3﹣m﹣1=﹣1． 可得切點坐標(biāo)為（1，﹣1）或（﹣1，﹣1）． 20．從某大學(xué)隨機抽取10名大學(xué)生，調(diào)查其家庭月收入與其每月上學(xué)的開支情況，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與其每月上學(xué)的開支yi（單位：千元）的數(shù)據(jù)資料，算得： xi=80，yi=20，xiyi=184，x=720． （1）求其每月上學(xué)的開支y對月收入x的線性回歸方程=bx+a； （2）若某學(xué)生家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭每月支付其上學(xué)的費用， 附：線性回歸方程=bx+a中b=，a=﹣b，其，為樣本平均值． 【考點】線性回歸方程． 【分析】（1）利用已知條件求出，樣本中心坐標(biāo)，利用參考公式求出和，然后求出線性回歸方程=0.3x﹣0.4； （2）通過x=7，利用回歸直線方程，即可求得家庭每月支付其上學(xué)的費用． 【解答】解：由題意可知：n=10，=×xi=8，=×yi=2， ===0.3， =﹣=2﹣0.3×8=﹣0.4， 每月上學(xué)的開支y對月收入x的線性回歸方程=0.3x﹣0.4； （2）當(dāng)x=7時，=1.7， 學(xué)生家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭每月支付其上學(xué)的費用1.7 21．某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元（π為圓周率）． （Ⅰ）將V表示成r的函數(shù)V（r），并求該函數(shù)的定義域； （Ⅱ）討論函數(shù)V（r）的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大． 【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用． 【分析】（I）由已知中側(cè)面積和底面積的單位建造成本，結(jié)合圓柱體的側(cè)面積及底面積公式，根據(jù)該蓄水池的總建造成本為12000π元，構(gòu)造方程整理后，可將V表示成r的函數(shù)，進而根據(jù)實際中半徑與高為正數(shù)，得到函數(shù)的定義域； （Ⅱ）根據(jù)（I）中函數(shù)的定義值及解析式，利用導(dǎo)數(shù)法，可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值點． 【解答】解：（Ⅰ）∵蓄水池的側(cè)面積的建造成本為200πrh元，