2023年高考真題-數(shù)學(xué)（新高考II卷） 含解析

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（新高考全國n卷）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的。

1.在復(fù)平面內(nèi)，（1+玉）（3—1）對應(yīng)的點位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

【詳解】因為（l+3i）（3-i）=3+8i—驢=6+8,

則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為（6,8）,位于第一象限.

故選：A.

2.設(shè)集合A={0,—〃},3={1,〃一2,2〃一2},若則。=（）.

2

A.2B.1C,-D.—1

3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a—2=0和2。一2=0兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.

【詳解】因為Au3,則有：

若。一2=0,解得〃=2,此時A={0,-2},5={1,0,2},不符合題意；

若2a—2=0,解得a=l,此時A={0,—l},B=符合題意；

綜上所述：a=l.

故選：B

3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高

中部兩層共抽取60名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有

（）.

A.C熱.C■種B.C2.C墨種

CC%c>種D.C%C品種

【答案】D

【解析】

【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.

【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取60x——=40人，高中部共抽取60x——=20,

600600

根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C：QC晶和I.

故選：D.

2r-1

4.若/(x)=(x+a)ln^——j■為偶函數(shù)，則。=().

A.-1B.OC.1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出。值，再檢驗即可.

【詳解】因為/(x)為偶函數(shù)，則/(I)=/(-I)，(1+?)In1=(-1+?)In3,解得a=0,

當(dāng)a=0時，/(x)=xln^--,(2x-l)(2x+l)>0,解得x>］或xc-^,

則其定義域為｛x|x〉g或關(guān)于原點對稱.

f(-x)=(-x)In^7—^--=2%+1=(--x)Inf———=xln2x-l=/(x),

八)、J2(-x)+lV)2x-\、)(2x+lJ2x+l')

故此時/(x)為偶函數(shù).

故選：B.

2

5.已知橢圓C:與+V=1的左、右焦點分別為片，鳥，直線y=x+〃z與C交于A,B兩點,若△￡A3

面積是△gAB面積的2倍，則機(jī)=().

A.2B.在C一叵2

D.

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用A>0,求出加范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于加的方

程，解出即可.

y=x+m

【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立〈v2消去＞可得4f+6/nr+3/n2-3=0，

—+/-1

I3

因為直線與橢圓相交于AB點，則A=36加2—4x4(3m2-3)>0,解得一2〈根<2,

設(shè)FI到AB的距離4到AB距離d2,易知網(wǎng)一夜,0),居(夜,0),

則上駕乩=埠”

V2V2

|-A/2+m|

學(xué)”?=——=上咨㈤=2,解得加=一立或—3夜(舍去),

S|夜+川|夜+川37

^JT

6.已知函數(shù)〃x)=ae「lnx在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，則a的最小值為().

A.己B.eC.eMD.e-2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)r(x)=ae'—(20(1,2)上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.

【詳解】依題可知，/(力=加'一!20在(1,2)上恒成立，顯然a>0,所以xe-L

XCl

設(shè)g(x)=xe',xe(l,2),所以g'(x)=(x+l)e">0,所以g(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,

g(x)>g(l)=e，故eN,，即aN』=eT,即a的最小值為e^.

ae

故選：C.

7.已知a為銳角，cosa=￥二叵，貝|sin3=().

42

、3—yfs口—1+>/53—A/S—1+A/5

--------D.-------Ru.-----Nu.---------

8844

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式(或者半角公式)即可求出.

【詳解】因為cosa=l—2sin24=55,而。為銳角，

故選：D.

8.記S“為等比數(shù)列｛凡｝的前"項和，若§4=-5,S6=21S2,則58=().

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項和公式求出公比，再根據(jù)S4,Sg的關(guān)系即可解出;

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前"項和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，首項為田，

若4=1,則§6=6%=3x24=3打，與題意不符，所以qwl；

由其=-5,$6=2電可得，4。一力=—5,"力=211"1一”①,

\-q\-q\-q

由①可得，1+/+夕4=21,解得：d=4,

所以S8=^Zli=^l￡｝x(l+q4)=—5x(l+16)=—85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為9，

因為$4=-5,S6=21S2,所以q7-1,否則54=0,

從而，§2,S4-S2,§6-S4,§8-1成等比數(shù)列,

5

所以有，（―5—9=S2（21S2+5）,解得：52=-1或52=[,

當(dāng)S?=—1時，52,S4—52,56—54,S8—S6,即為一1,—4,—16,Sg+21,

易知，S8+21=—64,即Sg=-85；

當(dāng)§2=；時，S4=4+4+/+。4=（。1+。2）（1+/）=（1+/）52>0，

與§4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的前〃項和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)

系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要

求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑，NAPB=120°,24=2,點C在底面圓周上，

且二面角尸一4。一0為45。，則（）.

A.該圓錐的體積為兀B.該圓錐的側(cè)面積為46兀

C.AC=2叵D.△PAC的面積為G

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項的正確性，利用二面角的知識判斷C、D選項的正確性.

【詳解】依題意，ZAPBPA=2,所以0P=l,0A=0B=6，

A選項，圓錐的體積為:x兀x（G『xi=兀，A選項正確；

B選項，圓錐的側(cè)面積為兀、6、2=26兀，B選項錯誤；

C選項，設(shè)。是AC的中點，連接O2PO,

則AC_LOD,AC_LPD,所以“。。是二面角P—AC—O的平面角，

則NPOO=45。，所以O(shè)P=OD=1,

故AD=CD=s[^=血,則AC=20，C選項正確；

D選項，p[）-712+12=72>所以Spw=gx2x/5xj5=2,D選項錯誤.

故選：AC.

p

10.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線丁=—6(%—1)過拋物線€':：/=2〃%(〃>0)的焦點，且與(7交于“，"兩點,

/為C的準(zhǔn)線，貝!!().

Q

A.p=2B.|M7V|=-

C.以MN為直徑的圓與/相切D.OMN為等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦點坐標(biāo)，從而求得P,根據(jù)弦長公式求得1MN|,根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答

案.

【詳解】A選項：直線y=-G(x—l)過點(1,0),所以拋物線。：丁=2〃4〃>0)的焦點尸(1,()),

所以々=1,〃=2,2〃=4,則A選項正確，且拋物線C的方程為：/=4x.

B選項：設(shè)M(司，%),%(工2，%)，

由卜「一消去>并化簡得3d—10x+3=(x—3)(3x—1)=0,

y=4x

解得%=3,%=；，所以|削|=玉+%+"=3+；+2=與，B選項錯誤.

C選項：設(shè)MN的中點為A,M,N,A到直線/的距離分別為4，出"，

因為a=；(4+4)=g(|MR|+|NQ=；|MN|,

即A到直線/的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線/相切，C選項正確.

D選項：直線y=—1),即Gx+y-0=0,

0到直線Gx+y-g=0的距離為d=—，

2

所以三角形。MN的面積為』x3x"=迪

所以三角形。MN不是等腰三角形，D選項錯誤.

11.若函數(shù)/(x)=alnx+0+J(aHO)既有極大值也有極小值，貝U().

XX

A.bc>0B.ab>0C.b1+8ac>0D.ac<0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函數(shù)."X)的導(dǎo)數(shù)/'(x),由已知可得f(x)在(0,+8)上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方

程有兩個不等的正根判斷作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=alnx+2+=的定義域為(0,+8),求導(dǎo)得r(x)=q—與一/=絲上華

XXXXXX

因為函數(shù)人幻既有極大值也有極小值，則函數(shù)/'⑶在(0,+8)上有兩個變號零點，而。。()，

因此方程以2—法—2c=0有兩個不等的正根看,工2，

△=/+Sac>0

于是<%1+x=—>0即有匕2+8。（:>0，ab>0,ac<0,顯然a20c<o，即。c<0,A錯誤，BCD

-2a

正確.

故選：BCD

12.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a（0<a<D，收到0的概

率為1—a；發(fā)送1時，收到0的概率為，（。<尸<1）,收到1的概率為1-6.考慮兩種傳輸方案：單次傳

輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號需

要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即

為譯碼（例如，若依次收到1,0,I,則譯碼為1）.

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為-￡）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為夕（1-尸-

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為尸（1-￡）2+（1-/）3

D.當(dāng)O<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為。的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為。的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互獨立事件的概率公式計算判斷AB；利用相互獨立事件及互斥事件的概率計算判斷C；求

出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.

【詳解】對于A,依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送。接收0、發(fā)送1

接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為（1—尸）（1一0）（1-4）=（1—。）（1一萬）2,A正確；

對于B,三次傳輸，發(fā)送1,相當(dāng)于依次發(fā)送1,1,1,則依次收到1,0,1的事件，

是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送I接收1的3個事件的積，

它們相互獨立，所以所求概率為（1-￡）?耳?（—/?）=以1一，尸，B正確；

對于C,三次傳輸，發(fā)送1,則譯碼為1的事件是依次收到1,1,0、1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和,

它們互斥，由選項B知，所以所求的概率為C；旬(1一月)2+(1—萬)3=(1—02(1+20,c錯誤;

對于D,由選項C知，三次傳輸，發(fā)送0,則譯碼為0的概率P=(l—c)2(l+2a),

單次傳輸發(fā)送0,則譯碼為0的概率P'=l—而0<a<0.5,

因此P-P=(l-a)2(l+2a)-(l-a)=a(l-a)(l-2a)>0,即P>P，D正確.

故選：ABD

【點睛】關(guān)鍵點睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，

相互獨立事件的積是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量a,［滿足,_陷=6,卜+〃卜忸一可,則忖=.

【答案】G

【解析】

【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令一力，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算

律運(yùn)算求解.

【詳解】法一：因為卜+.=|2°-4即(a+b『=(2a叫］

則a+2a-b+b=4a-Aa-b+b,整理得a-2ab=01

又因為卜―N=G,即(a-/?)2=3,

-2a-b+b=b=3'所以卜卜5

Ii.rirrrrrrrr

法二：設(shè)c=「一方，則心|=>/3,0+人=0+2420-。=20+人，

由題意可得：(c+2b)=(2c+b),則;2+￡.方+$2=4+￡12,

整理得：^二力)即M卜百.

故答案為：出.

14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2,高為3的正四棱錐，所

得棱臺的體積為.

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體

的體積公式直接運(yùn)算求解.

21

【詳解】方法一：由于±=上，而截去的正四棱錐的高為3,所以原正四棱錐的高為6,

42

所以正四棱錐的體積為:x（4x4）x6=32,

截去的正四棱錐的體積為:x（2x2）x3=4,

所以棱臺的體積為32—4=28.

方法二：棱臺的體積為gx3x（16+4+j6x4）=28.

故答案為：28.

,8

15.已知直線/：x—my+l=O與oc：（x—1）-+丁=4交于A,B兩點，寫出滿足".A3C面積為y”的

的一個值______.

【答案】2（2,-2,L,_L中任意一個皆可以）

22

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長恒邳，以及點C到直線A8的距離，結(jié)合面積公式即可解出.

【詳解】設(shè)點C到直線A8的距離為d，由弦長公式得（同=2"-/,

所以Sz^8c=Lxdx2j4-d2=§,解得：［=生叵或［=2叵，

2555

11+11224^522^51

由公1二/,,所以/_=空2或一^^二平,解得：加=±2或機(jī)=±

，1+"yjl+m-J1+M5yjl+m252

故答案為：2（2,-2,‘,一!中任意一個皆可以）.

22

1jr

16.已知函數(shù)/（x）=sin（3x+0）,如圖4,B是直線y=—與曲線y=/（x）的兩個交點，若恒用=一,

則/(兀)=

【解析】

【分析】設(shè)（龍2，g），依題可得，x2-x,=^,結(jié)合sinx=；的解可得，?（x2-x,）=y,

從而得到°的值，再根據(jù)/["I兀）=0以及/（。）＜（），即可得/（x）=sin[4x—[?i）,進(jìn)而求得了（兀）.

【詳解】設(shè)由網(wǎng)=季可得吟

I兀5兀

由sinx=—可知，x——1~2匕1或1=--+2E,kwZ,由圖可知,

266

(OXz+(p_[cOX[+*)=*兀一聿=與‘即0(工2-玉)=笄，.-.69=4.

|兀.[8njLLN8兀,

因為一s叫§+°J=0'所以工-+9=Z兀,keZ.

sin[4x--7i+^j,

所以/(x)=sin4x——兀+攵兀

I3J

所以/（彳）=5m（4%—[無]或/（尤）=一5皿（4彳一|'兀），

又因為〃0）＜0，所以./1（》）=sin（4x—g，，.?./（7r）=sin4兀一：兀）=一等.

故答案為：-3.

2

【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出0）以及函數(shù)/（力的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì),

以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

17.記一A8C的內(nèi)角的對邊分別為已知二ABC的面積為也，。為BC中點，且A￡>=1.

兀

(1)若Z.ADC=—,求tanB；

3

（2）若+C'2=8，求〉c.

【答案】（1）—;

5

（2）b=c=2.

【解析】

【分析】（1）方法1,利用三角形面積公式求出“，再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面積公

式求出〃，作出3C邊上的高，利用直角三角形求解作答.

（2）方法1,利用余弦定理求出“，再利用三角形面積公式求出/ADC即可求解作答；方法2,利用向量

運(yùn)算律建立關(guān)系求出a,再利用三角形面積公式求出ZADC即可求解作答.

【小問1詳解】

TT

方法1：在一A8C中，因為。為BC中點，ZADC=-,AD=l,

3

則SADr=—A。?DCsinZADC=—xlx—axa=—SABC=，解得a=4,

ADC2222822

2兀

在△的￡)中，NADB=7，由余弦定理得*=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB，

即，2=4+l—2x2xlx(—L)=7,解得C=V7,則cosB=^i^=區(qū)，

2277x214

sinB=Vl-cos2B=

所以tanB=包包=立.

cos85

7T

方法2：在JLBC中，因為。為8C中點，ZADC=-,4）=1，

3

則S=—AD-DCsinZ.ADC=—xlx—tzxa=—S=，解得Q=4,

ADC222282ARC2

在，ACD中，由余弦定理得〃=Cr)2+AD2—2CDA￡>cosN4)8，

即巨=4+1-2x2xlxg=3,解得6=6，有AC2+AT>2=4=C￡>2,則NCA￡>=方,

C=-,過A作AEJ_BC于E，于是CE=ACcosC=』，AE=ACsinC=立，BE==

6222

nAEV3

所rr以h|tanB=----二—

BE5

【小問2詳解】

C2=~1a2+l-2x1—67xlxCOS(7l-ZADC)

方法1：在△A8O與ACZ)中，由余弦定理得〈

11

b~9=—c廠9+l-2x—czxlxcosZADC

42

整理得g/+2=〃+c2,而62+/=8,則。=20,

又sA*=LxGxlxsinNAOC=且，解得sinZADC=1,而0<ZADC<7i，于是/4OC=百

ADC222

所以b=c=jAO2+Cr>2=2?

方法2：在,ABC中，因為。為中點，則2Ao=AB+AC，又C5=A5—AC，

于是《AP'+CB?=(AB+ACr+(AB—4。2=2(〃+，2)=16，即4+/=16,解得。=2百，

又SAM=’x#xlxsinNAOC=走，解得sinZADC=l,而0<ZADC<7r，于是44℃=百

ADC222

所以h=c=jAZ)2+CD2=2-

募數(shù)記S.f分別為數(shù)列同，出｝的前〃項和，…,

18.｛為｝為等差數(shù)列，b?=<

4=16.

(1)求｛4｝的通項公式;

(2)證明：當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

［答案］(1)an=2n+3；

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛見｝的公差為"，用％,”表示S,及T,，即可求解作答.

（2）方法1,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶結(jié)合分組求和法求出刀,，并與S“作差比較作答；方

法2,利用（1）的結(jié)論求出S“，bn,再分奇偶借助等差數(shù)列前〃項和公式求出T“，并與S“作差比較作答.

【小問1詳解】

,A[a-6,n=2k-l

設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為"，而/eN*,

則/?]=〃]_6,b2=2a2=2〃1+2d,b3=a3-6=a}+2d—6f

54=44+6d=32

于,解得q=5,d=2,=4+(〃-l)d=2〃+3,

￡=4q+4d—12=16

所以數(shù)列｛4｝的通項公式是=2/2+3.

【小問2詳解】

b2〃-3,〃=2攵-1

.,,,zx,c〃(5+2〃+3)24

萬法1：由(1)知，S=---------=H-+4H,kN*,

n2“4〃+6,〃=2女

當(dāng)〃為偶數(shù)時，勿_]+2=2(〃-1)-3+4〃+6=6〃+1,

13+(6〃+1)〃327

-----------=—nH—n,

2222

當(dāng)〃>5時，<―S“+(〃)—("+4〃)=；〃(〃-1)>0,因此7；>S.,

3735

22

當(dāng)〃為奇數(shù)時，7；=7；I+)-^+1=-(H+l)+-(n+l)-[4(n+l)+6]=-n+-n-5,

351

22

當(dāng)〃>5時，Tn-Sn=(-n+-n-5)-(n+4n)=-(n+2)(n-5)>0,因此]>S”,

所以當(dāng)〃>5時，Tn>Sn.

-，、40“(5+2〃+3))2〃一3,〃=2%-1*

方法2：由(1)知，S=---------=n2-+4n,zb=\

2n4〃+6,〃=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時,

—l+2(n—1)-3n14+4〃+6n37

T?=+/+…+么1)+(與+3+-+fe?)=-------------+----------=-2+-n,

22222n2

當(dāng)〃>5時，JS”=(#+/)"+4〃)=/(1)>0,因此7；>S“,

當(dāng)〃為奇數(shù)時，若〃之3,則

-l+2n-3n+\?14+45—1)+6n-i

=也+b3T----卜+(2+b4T----Fb_)=

nx22~2~2~

3535

^-n2+-n-5,顯然7；=乙=一1滿足上式，因此當(dāng)〃為奇數(shù)時，T^-r+-n-5,

22n2f2

當(dāng)〃>5時，7；,-5?=(|n2+jrt-5)-(n2+4n)=l(n+2)(n-5)>0,因此］>S”,

所以當(dāng)〃>5時，T?>S?.

19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得

到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

軸率/組即

11.040...................

0.036...................

0.034....................

0.010....................................<1

0.002???,????????,???..............I?

<>^7075M859095100105

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值C,將該指標(biāo)大于C的人判定為陽性，小于或等于C的人判

定為陰性.此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽

性的概率，記為鼠C).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.

(1)當(dāng)漏診率〃(c)=().5%時，求臨界值c和誤診率4(c)；

(2)設(shè)函數(shù)4c)=p(c)+q(c),當(dāng)ce［95』()5］時，求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間［95,105］的最

小值.

【答案】⑴c=97.5,q(c)=3.5%；

-0.008c+0.82,95<c<100

⑵/(c)=<最小值為0.02.

0.01c-0.98,100<c<105

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意由第一個圖可先求出。，再根據(jù)第二個圖求出C297.5的矩形面積即可解出;

(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出/(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.

【小問1詳解】

依題可知，左邊圖形第一個小矩形的面積為5x0.002>0.5%,所以95<c<100,

所以(c-95)x0.002=0.5%,解得：c=97.5,

q(c)=0.01x(97.5-95)+5x0.002=0.035=3.5%.

【小問2詳解】

當(dāng)CG［95,100］時,

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)x0.002+(100—c)x0.01+5x0.002=-0.008c+0.8220.02；

當(dāng)ce(100,105］時，

f(c)=p(c)+q(c)=5x0.002+(c-100)x0.012+(105-c)x0.002=0.01c-0.98>0,02,

-0.008c+0.82,95<c<100

故/(c)=4，

［0.01c-0.98,100<c<105

所以〃C)在區(qū)間［95,105］的最小值為0.02.

20.如圖，三棱錐A—BCD中，DA=DB=DC,BDA.CD,ZADB=ZADC=60，E為BC的^點.

(1)證明：BCLDA-.

（2）點尸滿足EE=D4，求二面角￡）一AB-尸的正弦值.

【答案】（1）證明見解析;

⑵￥

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意易證BC工平面AOE，從而證得

（2）由題可證AE_L平面BCD，所以以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，再求出平面ABRABb的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.

【小問1詳解】

連接AE,￡>E,因為E為BC中點，DB=DC,所以DELBC①,

因為2M=O3=OC,ZADB=ZADC=60>所以_AC￡>與△ABO均為等邊三角形，

AC=AB,從而A￡_L3C②，由??,AEDE=E,AE,DEu平面ADE，

所以，8cl平面AOE，而ADu平面4)E，所以6CJ_0A.

【小問2詳解】

不妨設(shè)ZM=O8=DC=2,BDLCD,:.BC=2五,DE=AE=R

：,AE2+DE2=4=AD2>..AEA.DE，又AE±BC,DEBC=E,DE,BCu平面3。。j_

平面BCD.

以點E為原點，所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)￡)(72,0,0),A(0,0,夜),8(0,72,0),￡(0,0,0),

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為勺=(X,,y,Z]),丐=(%，必，Z2)，

二面角O—AB-b平面角為"而AB=(0,a,—0),

因為EF=ZM=(—&,0,&),所以F(—J5,O,J5),即有4尸=(—J5,0,01

[—\f2x,+\p2.z,0

■■■\廣廠，取玉=1,所以々=(1,1,1)；

[岳廣伍=0

[隼-0Z2=O,取為=[,所以%=(o,i,i),

所以，|cos3\=-n—7=r-^r~=—.從而sill夕=，八]=立.

'M同gx逝3V93

所以二面角A3—尸的正弦值為且.

3

21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，左焦點為(-26,0),離心率為6.

（1）求C的方程;

（2）記C的左、右頂點分別為4，A2,過點（T,0）的直線與C的左支交于例，N兩點，仞在第二象限,

直線與N4交于點P?證明:點P在定直線上.

2

【答案】（1）—f-^v-=1

416

（2）證明見解析.

【解析】

【分析】（1）由題意求得。力的值即可確定雙曲線方程;

（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點的坐標(biāo)分別寫出直線與N4的方程，聯(lián)立直線方程,

x+21

消去V,結(jié)合韋達(dá)定理計算可得一=--，即交點的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點P在定直線X=-1上.

x-23

【小問1詳解】

22_

設(shè)雙曲線方程為'—￡=1（。＞0力＞0）,由焦點坐標(biāo)可知C=2右，

則由6=￡=石可得〃=2,_片=4，

a

22

雙曲線方程為三一匕=1.

416

【小問2詳解】

由⑴可得4（一2,（））,4（2,0）,設(shè)M（5,y）,N（w,必），

顯然直線的斜率不為0,所以設(shè)直線MN的方程為％=沖-4,且一,＜根＜，,

22

22

與?啖=1聯(lián)立可得（W-1）/-32my+48=0,且△=64（4/+3）＞0,

直線MA,的方程為y=-J(x+2),直線N&的方程為y=--2),

百+2/-2

聯(lián)立直線與直線NA2的方程可得:

x+2=%(%+2)=%(町-2)=叫％-2(M+%)+2乂

x—2兇(工2-2)y(沖2-6)m*%一6%

4832m-16m

m-—，?+2XE1+2X

4/一14/-1]_

48,48m/3

mx——-----by.—；----6y,

4m2-114m--1

x+2I

由----=—可得x=-l，HPxp--\,

x—23

據(jù)此可得點P在定直線x=-1上運(yùn)動.

【點睛】關(guān)鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,

其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.

22.(1