特訓(xùn)06 相似三角形壓軸題（浙江中考真題與模擬）（原卷版）

特訓(xùn)06相似三角形壓軸題（浙江中考真題與模擬）真題演練一、解答題1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，作于點(diǎn)，交線(xiàn)段于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接．

(1)若，求的長(zhǎng)．(2)求證：．(3)若，猜想的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．2．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，點(diǎn)為矩形的對(duì)稱(chēng)中心，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，四邊形與關(guān)于所在直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)段交邊于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)令，．①求證：；②如圖2，連接，，分別交，于點(diǎn)，.記四邊形的面積為，的面積為.當(dāng)時(shí)，求的值．模擬演練一、解答題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考三模）小明在學(xué)習(xí)角平分線(xiàn)知識(shí)的過(guò)程中，做了進(jìn)一步探究：如圖，在中，的平分線(xiàn)交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過(guò)證明來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．

證明：延長(zhǎng)至，使得，請(qǐng)你完成上述證明過(guò)程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)，，求的值．(2)如圖3，當(dāng)，與的邊垂直時(shí)，求的值．

2．（2023·浙江紹興·校聯(lián)考三模）已知，在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，且，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)，并在垂線(xiàn)上矩形外側(cè)截取點(diǎn)F,使，連接，，將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．．

(1)如圖（1），當(dāng)，求的值．(2)如圖2，若，求m關(guān)于n的數(shù)量關(guān)系．(3)若旋轉(zhuǎn)至A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，求m的值．3．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）在正方形中，、分別是邊、上一點(diǎn)，且，連接、交于點(diǎn)．

(1)判斷線(xiàn)段、的位置關(guān)系并說(shuō)明理由．(2)連接交于點(diǎn)，連接，如圖②；①若點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；②設(shè)正方形的面積為，四邊形的面積為，當(dāng)時(shí)，求的值．4．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖1，菱形中，，，是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合）連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)、是的中點(diǎn)，連結(jié)、．

(1)填空：________；________．(2)如圖2，將題中條件“”改成“”，其余條件均不變，連結(jié)，猜想、、這三條線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的猜想加以證明．(3)在（2）的條件下，連結(jié)．①若動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的中點(diǎn)處時(shí)，求的面積；②在動(dòng)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求面積的最大值．5．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）已知點(diǎn)P在的直徑上，四邊形內(nèi)接于，且，，連接．

(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連接，①試說(shuō)明與的面積相等；②已知，設(shè)．記與的面積分別為，．設(shè)，求的最大值，并求此時(shí)x的值．6．（2023·浙江麗水·校聯(lián)考二模）已知，內(nèi)接于，點(diǎn)為弦中點(diǎn)，直徑經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接．

(1)如圖1，求證：．(2)如圖2，連接，，，求的值．(3)如圖3，在（2）的條件下，和交于點(diǎn)，，若的面積為．（A）求證：________________（找到一對(duì)面積相等的三角形并證明）．（B）求線(xiàn)段________的長(zhǎng)（求出圖中某一線(xiàn)段長(zhǎng)度）．7．（2023·浙江舟山·校聯(lián)考三模）如圖1，在正方形中，E是對(duì)角線(xiàn)延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，線(xiàn)段繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接．(1)求證：；(2)連接交于點(diǎn)F，并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)H．①如圖2，若，求的值；②如圖3，與相交于點(diǎn)Q，若，求的值．8．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）（1）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，在中，為上一點(diǎn)，連結(jié)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，若，，求證：．（2）【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)，，，若，，求的長(zhǎng)．（3）【拓展提升】如圖3，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)、交于點(diǎn)，為中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，連結(jié)、，，若，，求菱形的邊長(zhǎng)．9．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）定義：兩個(gè)相似三角形共邊且位于一個(gè)角的角平分線(xiàn)兩邊，則稱(chēng)這樣的兩個(gè)相似三角形為疊似三角形．(1)[初步理解]如圖1，四邊形中，對(duì)角線(xiàn)平分，，求證：和為疊似三角形．(2)[嘗試應(yīng)用]在（1）的基礎(chǔ)上，如圖2，若，，，求四邊形的周長(zhǎng)．(3)[拓展提高]如圖3，在中，D是上一點(diǎn)，連接，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為中點(diǎn)，且．若，，求的值．10．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，是銳角中邊上的高，將沿所在的直線(xiàn)翻折得到，將沿所在的直線(xiàn)翻折得到，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)P．(1)如圖1，若，求證：四邊形為正方形；(2)如圖2，若，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，連結(jié)，分別交于點(diǎn)G、H，連結(jié)交于點(diǎn)M，若，①求_________度；②若，求的面積．11．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是菱形，其中，點(diǎn)在對(duì)角線(xiàn)上，點(diǎn)在射線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，連接，作，交直線(xiàn)于點(diǎn)．(1)在線(xiàn)段上取一點(diǎn)，使，求證：；(2)圖中，．①點(diǎn)在線(xiàn)段上，求周長(zhǎng)的最大值和最小值；②記點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)．若點(diǎn)不能落在的內(nèi)部（不含邊界），求的取值范圍．12．（2023·浙江寧波·?？家荒＃?）特殊發(fā)現(xiàn)如圖1，正方形與正方形的頂點(diǎn)重合，、分別在、邊上，連接，則有：①

；

②直線(xiàn)與直線(xiàn)所夾的銳角等于度；（2）理解運(yùn)用將圖1中的正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接、，①

如圖2，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，若、、三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，且過(guò)邊的中點(diǎn)，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)；（3）拓展延伸如圖4，點(diǎn)是正方形的邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連接，沿將翻折到位置，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，若，則的值是否是定值？請(qǐng)說(shuō)明理由．13．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．將四邊形繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度得到四邊形，此時(shí)直線(xiàn)、直線(xiàn)分別與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P、Q．(1)四邊形的形狀是，當(dāng)時(shí)，的值是；(2)①如圖2，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在y軸正半軸上時(shí)，求的值；②如圖3，當(dāng)四邊形的頂點(diǎn)落在直線(xiàn)上時(shí)，求的面積；(3)在四邊形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使得，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，圓O為的外接圓，延長(zhǎng)線(xiàn)與交于點(diǎn)D，，點(diǎn)F在上，平分．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，連結(jié)，求證：；(3)如圖3，連結(jié)并延長(zhǎng)分別交，于G，H兩點(diǎn)，若，，求．15．（2023·浙江寧波·校考一模）如圖，拋物線(xiàn)與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），拋物線(xiàn)上另有一點(diǎn)C在第一象限，滿(mǎn)足為直角，且使．(1)求線(xiàn)段OC的長(zhǎng)；(2)求該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式；(3)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)P，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的