專題13.2 解題技巧專題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線及構(gòu)造等腰三角形之六大題型（解析版）

專題13.2解題技巧專題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線及構(gòu)造等腰三角形之六大題型【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時，連中線】 1【題型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時，作高線】 10【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【題型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】 29【題型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】 41【題型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】 50【典型例題】【題型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時，連中線】例題：如圖，在中，，，D為BC的中點(diǎn)，過D作直線DE交直線AB與E，過D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點(diǎn)在線段AB上（非端點(diǎn)），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；(2)若E點(diǎn)在線段AB的延長線上，請你作圖（用黑色水筆），此時線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是_____________，請說明理由．【答案】(1)(2)圖見解析，，理由見解析【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直的定義、等量代換可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）分①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的下方時，②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的上方時兩種情況，參考（1）的思路，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，故答案為：．（2）解：，理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的下方時，如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上，且在的上方時，如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，；綜上，線段與的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：為定值．【答案】證明見解析【分析】連接CD，證明△CDE≌△BDF，得CE=BF，進(jìn)一步證明CE+CF=BC=，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：連接CD，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，且D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°又DE⊥DF∴∠EDC+∠FDC=90°而∠FDC+∠FDB=90°∴∠EDC=∠FDB在△CDE和△BDF中，∴△CDE≌△BDF∴CE=BF∵BC=AC=a∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，故：為定值．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明CE=BF是解答此題的關(guān)鍵．2.如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)（不用說理）；若不能，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)成立，見解析(3)能成為等腰三角形，此時的度數(shù)為或或或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證得，即可求證；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由∵，可得，可證得，即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解．【詳解】（1）明∶連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成為等腰三角形，①當(dāng)，點(diǎn)E在的延長線上時，則，又∵，∴；②當(dāng)，點(diǎn)E在上時，則；③當(dāng)時，則，∴；④當(dāng)，點(diǎn)E和C重合，∴；綜上所述，能成為等腰三角形，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【題型二等腰三角形中底邊無中點(diǎn)時，作高線】例題：如圖，點(diǎn)，在的邊上，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如果，求的值．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）過作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得：，，即可證明；（2）過作于點(diǎn)，易證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖過作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：過作于點(diǎn)，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)見解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點(diǎn)，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．【題型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于，交于，交的延長線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，求：線段的長．

【答案】5【分析】延長交于點(diǎn)E，由題意可推出，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根據(jù)，，即可求出的長度．【詳解】解∶延長交于點(diǎn)E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過等量代換，即可推出結(jié)論．2．如圖，為的角平分線．(1)如圖，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則______．(2)如圖，若，點(diǎn)在上，且，，，求的長；用含、的式子表示(3)如圖，，點(diǎn)在的延長線上，連接，若的面積是，求的面積．【答案】(1)3(2)(3)14【分析】（1）利用證明，得出，再利用即可求得答案；（2）利用證明，得出，，由題意可得出，再利用等角對等邊證得，即可得出答案；（3）延長、交于，先證明，得出：，，利用等底等高的兩個三角形面積相等可得，設(shè)，即可得出答案．【詳解】（1）解：平分，，，，在和中，，，，；故答案為：．（2）解：平分，，在和中，，，，，，，，，在中，，，，，，；（3）解：如圖，延長、交于，平分，，，，在和中，，,，，，設(shè)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，三角形面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型四利用平行線+角平分線構(gòu)造新等腰三角形】例題：已知，如圖中，、的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交、于、．

(1)如圖1若，圖中有________個等腰三角形，且與、的數(shù)量關(guān)系是________．(2)如圖2若，其他條件不變，（1）問中與、間的關(guān)系還成立嗎？請說明理由．(3)如圖3在中，若，的平分線與三角形外角的平分線交于，過點(diǎn)作交于，交于．請直接寫出與、間的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)；(2)成立；理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，、的平分線相交于點(diǎn)，可得，，，，再加上題目中給出的，可得出等腰三角形的個數(shù)；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出與、之間的關(guān)系；（2）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系；（3）證明和是等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)即可得出與、的關(guān)系．【詳解】（1）解：∵，∴，，∵、的平分線相交于點(diǎn)，∴，，∴，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，，∴等腰三角形有：，，，，，共個，與、的數(shù)量關(guān)系是：，故答案為：；．（2）與、的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴．（3）與、間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：∵，∴，，又∵，分別是與的角平分線，∴，，∴，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)．線段間的等量代換是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．在△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，E是BC的中點(diǎn)，過E作EFAD交CA延長線于P，交AB于F，求證：(1)△APF是等腰三角形；(2)BF=CP(3)若AB=12，AC=8，試求出PA的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，等量代換可得，根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得證；（2）延長至，使得，連接，證明，得出，，根據(jù)，，得出，則，即可得出；（3）根據(jù)，，得出，代入數(shù)據(jù)即可求解．（1）解：如圖，∵AD是∠BAC的角平分線，∴∵EFAD∴∴，∴∴△APF是等腰三角形；（2）證明：如圖，延長至，使得，連接，∵為的中點(diǎn)，∴，又，∴∴，又∵，∴∴，∴；（3）∵是等腰三角形∴，又，∴，即，∵AB=12，AC=8，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．已知：如圖1，中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．(1)求證：BE+CF＝EF；(2)若將已知條件中的“∠ACB的角平分線”改為“∠ACB的外角平分線”，其他條件不變（如圖2）（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出BE，CF，EF之間的關(guān)系．（不需證明）【答案】(1)證明見詳解；(2)不成立，證明見詳解；．【分析】（1）根據(jù)角平分線定義和平行線性質(zhì)推出，然后推出BE=DE，DF=CF，最后得證；（2）類比（1）的方法同理可以推出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∵，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∵EF=DE+DF，∴EF＝BE+CF．（2）解：不成立．∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCG，∵，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCG，∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，∴BE＝DE，CF＝DF，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線定義、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定，正確理解角平分線定義與熟練運(yùn)用“兩直線平行內(nèi)錯角相等”、“等角對等邊”是解此題的關(guān)鍵．3．（2023春·江西吉安·八年級統(tǒng)考期末）類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補(bǔ)充完整．已知△ABC．(1)觀察發(fā)現(xiàn)如圖①，若點(diǎn)D是和的角平分線的交點(diǎn)，過點(diǎn)D作分別交，于E，F(xiàn)．填空：與的數(shù)量關(guān)系是______．請說明理由(2)猜想論證如圖②，若點(diǎn)D是外角和的角平分線的交點(diǎn)，其他條件不變，填：與的數(shù)量關(guān)系是______．請說明理由(3)類比探究如圖③，若點(diǎn)D是和外角的角平分線的交點(diǎn)．其他條件不變，則（1）中的關(guān)系成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請寫出關(guān)系式，再證明．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)不成立，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)，得到，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到，同理得到，結(jié)合圖形證明即可；（2）仿照（1）的證明方法，先利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，得到角的關(guān)系，再利用等角對等邊，得到邊與邊的關(guān)系，解答即可；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義得到，得到，結(jié)合圖形解答即可．【詳解】（1）解：平分，，，，，，同理，，故答案為：；（2）解：平分，，，同理，，故答案為：；（3）解：不成立．．理由如下：，．平分，，，，同理：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定，掌握平行線的性質(zhì)定理、等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【題型五過腰或底作平行線構(gòu)造新等腰(邊)三角形】例題：已知：等邊中．(1)如圖1，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AB邊上，滿足，求的值；(2)如圖2，點(diǎn)M在AB邊上（M為非中點(diǎn)，不與A，B重合），點(diǎn)N在CB的延長線上且，求證：．(3)如圖3，點(diǎn)P為AC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB的延長線上，點(diǎn)F在BC的延長線上，滿足，求的值．【答案】(1)3(2)見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出，設(shè),則,可求出答案；（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，根據(jù)可證明，得出，則結(jié)論得證；（3）如圖3，過點(diǎn)P作交于點(diǎn)M，根據(jù)可證明，得出，得出，則答案可求出．【詳解】（1）∵為等邊三角形，∴，，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，，設(shè)，則，，∴，∴．（2）如圖2，過點(diǎn)M作交AC于點(diǎn)G，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴．（3）如圖3，過點(diǎn)P作交AB于點(diǎn)M，∴為等邊三角形，∴，，∵P為AC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵P為AC的中點(diǎn)，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、含30度角直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)造全等三角形．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，為延長線上一點(diǎn)，且交于點(diǎn).(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，為中點(diǎn)，求的長.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)余角的性質(zhì)，得出，根據(jù)對頂角的性質(zhì)，得出，即可得出答案；（2）證明，得出，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，如圖所示：∵，，，∴，∵為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，余角的性質(zhì)，對頂角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定方法．2．已知，在等邊三角形中，點(diǎn)E在上，點(diǎn)D在的延長線上，且．(1)【特殊情況，探索結(jié)論】如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時，確定線段與的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：（填“＞”、“＜”或“＝”）．(2)【特例啟發(fā)，解答題目】如圖2，當(dāng)點(diǎn)E為邊上任意一點(diǎn)時，確定線段與的大小關(guān)系，請你寫出結(jié)論，并說明理由．（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F．（請你完成以下解答過程）．(3)【拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題】在等邊三角形中，點(diǎn)E在直線上，點(diǎn)D在線段的延長線上，且，若的邊長為1，，求的長（直接寫出結(jié)果）．【答案】(1)(2)，見解析(3)3【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得到，再由等邊三角形的性質(zhì)得到，然后證，得出即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，證出為等邊三角形，得出，再證，得出，即可得出結(jié)論；（3）點(diǎn)E在延長線上時，作，同（2）得出為等邊三角形，，則，，即可得出答案．【詳解】（1），理由如下：，，三角形為等邊三角形，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，，，，，，；（2），理由如下：過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，則，∠AFE=∠ACB，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，；（3）點(diǎn)E在延長線上時，作，同（2）可得則為等邊三角形，如圖所示，同理可得，∵，，∴，，∵，則．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查等邊三角形判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【題型六利用倍角關(guān)系構(gòu)造新等腰三角形】例題：如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D．求證：．

【答案】證明見解析【分析】方法一：（截長）在上截取，連接．結(jié)合角平分線的定義，證明，得到，，再利用三角形外角的性質(zhì)