專(zhuān)題08 解題技巧專(zhuān)題：利用等腰三角形的‘三線合一’作輔助線壓軸題三種模型全攻略（解析版）

專(zhuān)題08解題技巧專(zhuān)題：利用等腰三角形的'三線合一'作輔助線壓軸題三種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類(lèi)型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】 1【類(lèi)型二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高線】 10【類(lèi)型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】 17【典型例題】【類(lèi)型一等腰三角形中底邊有中點(diǎn)時(shí)，連中線】例題：如圖，在中，，，D為BC的中點(diǎn)，過(guò)D作直線DE交直線AB與E，過(guò)D作直線，并交直線AC與F．(1)若E點(diǎn)在線段AB上（非端點(diǎn)），則線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是______________；(2)若E點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上，請(qǐng)你作圖（用黑色水筆），此時(shí)線段DE與DF的數(shù)量關(guān)系是_____________，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)圖見(jiàn)解析，，理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，再根據(jù)垂直的定義、等量代換可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）分①當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且在的下方時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且在的上方時(shí)兩種情況，參考（1）的思路，根據(jù)三角形全等的判定與性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，故答案為：．（2）解：，理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且在的下方時(shí)，如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，；②如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且在的上方時(shí)，如圖，連接，在中，，，為的中點(diǎn)，，，，，，在和中，，，；綜上，線段與的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求證：為定值．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】連接CD，證明△CDE≌△BDF，得CE=BF，進(jìn)一步證明CE+CF=BC=，從而得到結(jié)論．【詳解】證明：連接CD，如圖，∵△ABC是等腰直角三角形，且D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB，CD平分∠ACB，AD=BD=CD∴∠DCA=∠DCB=∠DBC=45°又DE⊥DF∴∠EDC+∠FDC=90°而∠FDC+∠FDB=90°∴∠EDC=∠FDB在△CDE和△BDF中，∴△CDE≌△BDF∴CE=BF∵BC=AC=a∴CE+CF=BE+CF=BC=AC=a，故：為定值．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明CE=BF是解答此題的關(guān)鍵．2.如圖1，在中，，，點(diǎn)P是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在邊上，連接，若．(1)求證：；(2)若點(diǎn)D，E分別在邊的延長(zhǎng)線上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立？并加以證明；(3)在（1）或（2）的條件下，是否能成為等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)（不用說(shuō)理）；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)成立，見(jiàn)解析(3)能成為等腰三角形，此時(shí)的度數(shù)為或或或【分析】（1）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由，可得，可證得，即可求證；（2）連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，從而得到，再由∵，可得，可證得，即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分四種情況討論，即可求解．【詳解】（1）明∶連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：仍成立，理由如下：連接，∵，∴，∵P為斜邊的中點(diǎn)，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴；（3）解：能成為等腰三角形，①當(dāng)，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上時(shí)，則，又∵，∴；②當(dāng)，點(diǎn)E在上時(shí)，則；③當(dāng)時(shí)，則，∴；④當(dāng)，點(diǎn)E和C重合，∴；綜上所述，能成為等腰三角形，的度數(shù)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．3．在中，，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)．(1)若，兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊和上時(shí)，求證：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在和的延長(zhǎng)線上時(shí)，連接，若，則．(2)如圖3，若，兩邊分別交邊于E，交的延長(zhǎng)線于F，連接，若，試求的長(zhǎng)．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②18(2)2【分析】（1）①由“”可證，可得；②由“”可證，可得，即可求解；（2）由“”可證，可得，，由“”可證，可得，即可求解．【詳解】（1）①證明：如圖1，連接，∵，，∴.∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴；②解：如圖2，連接，同理可證：，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：18；（2）解：如圖3，連接，過(guò)點(diǎn)O作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵，，點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型二等腰三角形中底邊無(wú)中點(diǎn)時(shí)，作高線】例題：如圖，點(diǎn)，在的邊上，，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如果，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）過(guò)作于點(diǎn)，根據(jù)三線合一可得：，，即可證明；（2）過(guò)作于點(diǎn)，易證，可得，即可求解．【詳解】（1）證明：如圖過(guò)作于點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴；（2）解：過(guò)作于點(diǎn)，在和中，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖，與△BCA均為等腰三角形，，且，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若，，，求的面積（用含，，的式子表示）．【答案】(1)20°(2)見(jiàn)解析(3)【分析】（1）先，是等腰三角形性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理求出，即可由求解；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，，即可得出，從而得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而有，再根據(jù)，則有，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵，∴，又∵，∴．（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，又∵，∴，，∵，∴，∴在和中，，∴，∴，，∵，設(shè)、交于點(diǎn)，則又，∴，∴，，∴，∴，∴，∴．（3）解：由（2）可知，，∴，∵，∴．．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積，屬三角形綜合題目，難度適中．2．已知平分，如圖1所示，點(diǎn)B在射線上，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)A，在射線上取一點(diǎn)C，使得．

(1)若線段，求線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，點(diǎn)D是線段上一點(diǎn)，作，使得的另一邊交于點(diǎn)E，連接．①是否成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②請(qǐng)判斷三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)①成立，理由見(jiàn)解析；②，理由見(jiàn)解析【分析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于H，由三線合一定理得到，由角平分線的定義得到，進(jìn)一步證明，得到，則；（2）①如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于H，由三線合一定理得到，同（1）可得，則，由，即可推出；②如圖所示，在上截取，連接，先證明，進(jìn)而證明，得到，進(jìn)一步證明，從而證明，得到，由可證明．【詳解】（1）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于H，∵，∴，即，∵平分，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴

（2）解：①成立，理由如下：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于H，∵，∴，即，同（1）可得，∴，∵，∴，∴；

②，理由如下：如圖所示，在上截取，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三線合一定理，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【類(lèi)型三巧用“角平分線+垂線合一”構(gòu)造等腰三角形】例題：如圖，在中，平分，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，交于，交的延長(zhǎng)線于．求證：(1)；(2)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明，即可得出；（2）過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，由可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，可得，進(jìn)而得出，再根據(jù)據(jù)證明，得出，等量代換即可得到．【詳解】（1）證明：∵平分，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）證明：過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)M，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，平行線的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理、性質(zhì)定理及作出合適的輔助線是解此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．如圖所示，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，，求：線段的長(zhǎng)．

【答案】5【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，由題意可推出，依據(jù)等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，，根據(jù)，，即可求出的長(zhǎng)度．【詳解】解∶延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，

，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于正確地作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形，通過(guò)等量代換，即可推出結(jié)論．2．如圖，為的角平分線．(1)如圖，若于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則______．(2)如圖，若，點(diǎn)在上，且，，，求的長(zhǎng)；用含、的式子表示(3)如圖，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連接，若的面積是，求的面積．【答案】(1)3(2)(3)14【分析】（1）利用證明，得出，再利用即可求得答案；（2）利用證明，得出，，由題意可得出，再利用等角對(duì)等邊證得，即可得出答案；（3）延長(zhǎng)、交于，先證明，得出：，，利用等底等高的兩個(gè)三角形面積相等可得，設(shè)，即可得出答案．【詳解】（1）解：平分，，，，在和中，，，，；故答案為：．（2）解：平分，，在和中，，，，，，，，，在中，，，，，，；（3）解：如圖，延長(zhǎng)、交于，平分，，，，在和中，，,，，，設(shè)，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，三角形面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．中，，點(diǎn)D是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)如圖1，若平分，，求的值；(2)如圖2，M是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，當(dāng)平分時(shí)，試探究之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；(3)如圖3，連接，①求證：；②，，求的值．【答案】(1)3(2)，理由見(jiàn)解析(3)①證明見(jiàn)解析；②12【分析】（1）如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．證明，得到，再證明，即可得到；（2）如圖，分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，由（1）可得，得，再證得到，由此可得結(jié)論；（3）如圖所示，在上截取，證明，得到，，進(jìn)一步證明，則；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，則都是等腰直角三角形，可得，由全等三角形的性質(zhì)得到則，據(jù)此求出，則，進(jìn)一步求出則．【詳解】（1）解：如圖，分別延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

∵，∴，又∵，∴．在和中，∴．∴；∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴；（2）解：，理由如下：如圖所示，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．

由（1）可得，，∴．∵，∴，∵平分，∴．在和中，∴．∴．∵．∴．（3）解：①如圖所示，在上截取，在和中，，∴，∴，，∵，∴，即，∴；

②如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作于G，∴，∴都是等腰直角三角形，∴，∵，∴∴，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·河北石家莊·八年級(jí)?？计谥校?1)【問(wèn)題情境】利用角平分線構(gòu)造全等三角形是常用的方法，如圖1，平分．點(diǎn)A為上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為C，延長(zhǎng)交于點(diǎn)B，可根據(jù)證明，則，（即點(diǎn)C為的中點(diǎn)）．(2)【類(lèi)比解答】如圖2，在中，平分，于E，若，，通過(guò)上述構(gòu)造全等的辦法，可求得．(3)【拓展延伸】如圖3，中，，，平分，，垂足E在的延長(zhǎng)線上，試探究和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(4)【實(shí)際應(yīng)用】如圖4是一塊肥沃的三角形土地，其中邊與灌渠相鄰，李伯伯想在這塊地中劃出一塊直角三角形土地進(jìn)行水稻試驗(yàn)，故進(jìn)行如下操作：①用量角器取的角平分線；②過(guò)點(diǎn)A作于D．已知，，面積為20，則劃出的的面積是多少？請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【答案】(1)(2)(3)，證明見(jiàn)解析(4)的面積是【分析】（1）證（），得，即可；（2）延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，由問(wèn)題情境可知，，再由等腰三角形的性質(zhì)得，然后由三角形的外角性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）拓展延伸延長(zhǎng)、交于點(diǎn)F，證（），得，再由問(wèn)題情境可知，，即可得出結(jié)論；（4）實(shí)際應(yīng)用延長(zhǎng)交于E，由問(wèn)題情境可知，，，則，再由三角形面積關(guān)系得，即可得出結(jié)