多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

6．2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分6．2．1偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算1．偏導(dǎo)數(shù)定義對(duì)于二元函數(shù)SKIPIF1<0，如果只有自變量x變化而自變量y固定這時(shí)它就是x的一元函數(shù)這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)就稱為二元函數(shù)SKIPIF1<0對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)(x0y0)的某一鄰域內(nèi)有定義當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量x時(shí)相應(yīng)地函數(shù)有增量SKIPIF1<0如果極限SKIPIF1<0存在則稱此極限為函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)(x0y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)記作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。即：SKIPIF1<0類似地，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)(x0y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：SKIPIF1<0記作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)SKIPIF1<0處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)它就稱為函數(shù)SKIPIF1<0對(duì)自變量SKIPIF1<0的偏導(dǎo)函數(shù)記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：SKIPIF1<0類似地可定義函數(shù)SKIPIF1<0對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)記為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：SKIPIF1<02．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求SKIPIF1<0時(shí)只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求SKIPIF1<0時(shí)只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù)。討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如三元函數(shù)uf(xyz)在點(diǎn)(xyz)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為SKIPIF1<0其中(xyz)是函數(shù)uf(xyz)的定義域的內(nèi)點(diǎn)它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問(wèn)題例1求zx23xyy2在點(diǎn)(12)處的偏導(dǎo)數(shù)解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例3設(shè)SKIPIF1<0求證SKIPIF1<0證SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4求SKIPIF1<0的偏導(dǎo)數(shù)。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))求證SKIPIF1<0證因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例5說(shuō)明的問(wèn)題偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)不能看作分子分母之商。3．偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)SKIPIF1<0在空間中表示一曲面，在SKIPIF1<0處對(duì)SKIPIF1<0求偏導(dǎo)時(shí)把SKIPIF1<0看成常量，這時(shí)SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一元函數(shù)，所以SKIPIF1<0表示曲面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線在SKIPIF1<0處沿SKIPIF1<0軸正向的切線斜率(如圖)．同理，SKIPIF1<0表示曲面在該點(diǎn)處沿SKIPIF1<0軸正向的切線斜率．4．偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性對(duì)于多元函數(shù)來(lái)說(shuō)即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)例如SKIPIF1<0在點(diǎn)(00)有fx(00)0fy(00)0但函數(shù)在點(diǎn)(00)并不連續(xù)提示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)點(diǎn)P(xy)沿x軸趨于點(diǎn)(00)時(shí)有SKIPIF1<0當(dāng)點(diǎn)P(xy)沿直線ykx趨于點(diǎn)(00)時(shí)有SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0不存在故函數(shù)f(xy)在(00)處不連續(xù)6．2．2全微分1．全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系有偏增量與偏微分：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為函數(shù)對(duì)x的偏增量SKIPIF1<0fx(xy)x為函數(shù)對(duì)x的偏微分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為函數(shù))對(duì)y的偏增量，SKIPIF1<0為函數(shù)對(duì)y的偏微分。全增量：SKIPIF1<0計(jì)算全增量比較復(fù)雜我們希望用x、y的線性函數(shù)來(lái)近似代替之定義如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)的全增量SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān)則稱函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)可微分而稱AxBy為函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)的全微分記作dz即SKIPIF1<0如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分2．可微與連續(xù)可微必連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)這是因?yàn)槿绻鹺f(xy)在點(diǎn)(xy)可微則zf(xxyy)f(xy)AxByo()于是SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0因此函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)處連續(xù)3．可微條件定理1(必要條件)如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必定存在且函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)(xy)的全微分為：SKIPIF1<0。證設(shè)函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P(xy)可微分于是對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P(xxyy)有zAxByo()特別當(dāng)y0時(shí)有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式兩邊各除以x，再令x0而取極限，就得SKIPIF1<0從而偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0同理可證偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0所以：SKIPIF1<0偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0存在是可微分的必要條件但不是充分條件例如，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)(00)處雖然有fx(00)0及fy(00)0但函數(shù)在(00)不可微分即z[fx(00)xfy(00)y]不是較高階的無(wú)窮小這是因?yàn)楫?dāng)(xy)沿直線yx趨于(00)時(shí)SKIPIF1<0SKIPIF1<0定理2(充分條件)如果函數(shù)zf(xy)的偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在點(diǎn)(xy)連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微分定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習(xí)慣x、y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分則函數(shù)zf(xy)的全微分可寫(xiě)作SKIPIF1<0二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)例如函數(shù)uf(xyz)的全微分為SKIPIF1<0例1計(jì)算函數(shù)zx2yy2的全微分解因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0所以dz2xydx(x22y)dy例2計(jì)算函數(shù)zexy在點(diǎn)(21)處的全微分解因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以dze2dx2e2dy例3計(jì)算函數(shù)SKIPIF1<0的全微分解因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0*二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)二元函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P(xy)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)fy(xy)連續(xù)并且|x||y|都較小時(shí)有近似等式zdzfx(xy)xfy(xy)y即f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)y我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算例4有一圓柱體受壓后發(fā)生形變它的半徑由20cm增大到2005cm高度由100cu減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V則有Vr2h已知r20h100r005h1根據(jù)近似公式有VdVVrrVhh2rhrr2h220100005202(1)200(cm3)即此圓柱體在受壓后體積約減少了200cm3例5計(jì)算(104)202的近似值解設(shè)函數(shù)f(xy)xy顯然要計(jì)算的值就是函數(shù)在x104y202時(shí)的函數(shù)值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)yxyyxy1xxylnxy所以(104)20212212100412ln1002108例6利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是SKIPIF1<0現(xiàn)測(cè)得單擺擺長(zhǎng)l與振動(dòng)周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s.問(wèn)由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？解如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|Δl|與|ΔT|,則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)SKIPIF1<0的全增量的絕對(duì)值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我們可以用dg來(lái)近似地代替Δg這樣就得到g的誤差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中l(wèi)與T為l與T的絕對(duì)誤差把l=100T=2,l=0.1,δT=0.004代入上式得g的絕對(duì)誤差約為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0從上面的例子可以看到對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x,y),如果自變量x、y的絕對(duì)誤差分別為x、y,即|Δx|x,|Δy|y,則z的誤差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而得到z的絕對(duì)誤差約為SKIPIF1<0z的相對(duì)誤差約為SKIPIF1<06．2．3方向?qū)?shù)1．方向?qū)?shù)的定義現(xiàn)在我們來(lái)討論函數(shù)zf(xy)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問(wèn)題設(shè)l是xOy平面上以P0(x0y0)為始點(diǎn)的一條射線el(coscos)是與l同方向的單位向量射線l的參數(shù)方程為xx0tcosyy0tcos(t0)設(shè)函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義P(x0tcosy0tcos)為l上另一點(diǎn)且PU(P0)如果函數(shù)增量f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)與P到P0的距離|PP0|t的比值SKIPIF1<0當(dāng)P沿著l趨于P0(即tt0)時(shí)的極限存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)記作SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0從方向?qū)?shù)的定義可知方向?qū)?shù)SKIPIF1<0就是函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)處沿方向l的變化率2．方向?qū)?shù)的計(jì)算定理如果函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)可微分那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在且有SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中coscos是方向l的方向余弦簡(jiǎn)要證明設(shè)xtcosytcos則f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)fx(x0y0)tcosfy(x0y0)tcoso(t)所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0這就證明了方向?qū)?shù)的存在且其值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0提示SKIPIF1<0SKIPIF1<0xtcosytcosSKIPIF1<0討論函數(shù)zf(xy)在點(diǎn)P沿x軸正向和負(fù)向沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?提示：沿x軸正向時(shí)coscos0SKIPIF1<0沿x軸負(fù)向時(shí)cos1cos0SKIPIF1<0例1求函數(shù)zxe2y在點(diǎn)P(10)沿從點(diǎn)P(10)到點(diǎn)Q(21)的方向的方向?qū)?shù)解這里方向l即向量SKIPIF1<0的方向與l同向的單位向量為SKIPIF1<0因?yàn)楹瘮?shù)可微分且SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以所求方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0對(duì)于三元函數(shù)f(xyz)來(lái)說(shuō)它在空間一點(diǎn)P0(x0y0z0)沿el(coscoscos)的方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0如果函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)(x0y0z0)可微分則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el(coscoscos的方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求f(xyz)xyyzzx在點(diǎn)(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560解與l同向的單位向量為el(cos60cos45cos60SKIPIF1<0因?yàn)楹瘮?shù)可微分且fx(112)(yz)|(112)3fy(112)(xz)|(112)3fz(112)(yx)|(112)2所以SKIPIF1<03．梯度設(shè)函數(shù)zf(xy)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0y0)D都可確定一個(gè)向量fx(x0y0)ify(x0y0)j這向量稱為函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)的梯度記作gradf(x0y0)即gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度與方向?qū)?shù)如果函數(shù)f(xy)在點(diǎn)P0(x0y0)可微分el(coscos)是與方向l同方向的單位向量則SKIPIF1<0SKIPIF1<0gradf(x0y0)el|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0)^el)這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系特別當(dāng)向量el與gradf(x0y0)的夾角0即沿梯度方向時(shí)方向?qū)?shù)SKIPIF1<0取得最大值這個(gè)最大值就是梯度的模|gradf(x0y0)|這就是說(shuō)函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值討論SKIPIF1<0的最大值結(jié)論函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值4．等值線我們知道一般說(shuō)來(lái)二元函數(shù)zf(xy)在幾何上表示一個(gè)曲面這曲面被平面zc(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為SKIPIF1<0這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*它在xOy平面上的方程為f(xy)c對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)已給函數(shù)的函數(shù)值都是c所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)zf(xy)的等值線若fxfy不同時(shí)為零則等值線f(xy)c上任一點(diǎn)P0(x0y0)處的一個(gè)單位法向量為SKIPIF1<0這表明梯度gradf(x0y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)SKIPIF1<0就等于|gradf(x0y0)|于是SKIPIF1<0這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過(guò)這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系這就是說(shuō)函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)f(xyz)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0y0z0)G都可定出一個(gè)向量fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k這向量稱為函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)P0(x0y0z0)的梯度記為gradf(x0y0z0)即gradf(x0y0z0)fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k結(jié)論三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值如果引進(jìn)曲面f(xyz)c為函數(shù)的等量面的概念則可得函數(shù)f(xyz)在點(diǎn)P0(x0y0z0)的梯度的方向與過(guò)點(diǎn)P0的等量面f(xyz)c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)例3求SKIPIF1<0解這里SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4設(shè)f(xyz)x2y2z2求gradf(112)解gradf(fxfyfz)(2x2y2z)于是gradf(112)(224)*5。數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來(lái)確定如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)SKIPIF1<0(M)來(lái)確定而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)利用場(chǎng)的概念我們可以說(shuō)向量函數(shù)gradf(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng)它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng)必須注意任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)例5試求數(shù)量場(chǎng)SKIPIF1<0所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)其中常數(shù)m>0SKIPIF1<0為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(xyz)間的距離解SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0記SKIPIF1<0它是與SKIPIF1<0同方向的單位向量則SKIPIF1<0上式右端在力學(xué)上可解釋為位于原點(diǎn)O而質(zhì)量為m質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)因此數(shù)量場(chǎng)SKIPIF1<0的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng)gradSKIPIF1<0稱為引力場(chǎng)而函數(shù)SKIPIF1<0稱為引力勢(shì)6．2．4高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)zf(xy)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0那么在D內(nèi)fx(xy)、fy(xy)都是xy的函數(shù)如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在則稱它們是函數(shù)zf(x