多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

6．2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分6．2．1偏導(dǎo)數(shù)的概念與計算1．偏導(dǎo)數(shù)定義對于二元函數(shù)SKIPIF1<0，如果只有自變量x變化而自變量y固定這時它就是x的一元函數(shù)這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)就稱為二元函數(shù)SKIPIF1<0對于x的偏導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在點(x0y0)的某一鄰域內(nèi)有定義當y固定在y0而x在x0處有增量x時相應(yīng)地函數(shù)有增量SKIPIF1<0如果極限SKIPIF1<0存在則稱此極限為函數(shù)SKIPIF1<0在點(x0y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)記作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。即：SKIPIF1<0類似地，函數(shù)SKIPIF1<0在點(x0y0)處對y的偏導(dǎo)數(shù)定義為：SKIPIF1<0記作：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)域D內(nèi)每一點SKIPIF1<0處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)它就稱為函數(shù)SKIPIF1<0對自變量SKIPIF1<0的偏導(dǎo)函數(shù)記作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：SKIPIF1<0類似地可定義函數(shù)SKIPIF1<0對y的偏導(dǎo)函數(shù)記為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：SKIPIF1<02．偏導(dǎo)數(shù)的計算求SKIPIF1<0時只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求SKIPIF1<0時只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0。偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)例如三元函數(shù)uf(xyz)在點(xyz)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為SKIPIF1<0其中(xyz)是函數(shù)uf(xyz)的定義域的內(nèi)點它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題例1求zx23xyy2在點(12)處的偏導(dǎo)數(shù)解SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求zx2sin2y的偏導(dǎo)數(shù)。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例3設(shè)SKIPIF1<0求證SKIPIF1<0證SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4求SKIPIF1<0的偏導(dǎo)數(shù)。解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0。例5已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))求證SKIPIF1<0證因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0例5說明的問題偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號不能看作分子分母之商。3．偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)SKIPIF1<0在空間中表示一曲面，在SKIPIF1<0處對SKIPIF1<0求偏導(dǎo)時把SKIPIF1<0看成常量，這時SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一元函數(shù)，所以SKIPIF1<0表示曲面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線在SKIPIF1<0處沿SKIPIF1<0軸正向的切線斜率(如圖)．同理，SKIPIF1<0表示曲面在該點處沿SKIPIF1<0軸正向的切線斜率．4．偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性對于多元函數(shù)來說即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)例如SKIPIF1<0在點(00)有fx(00)0fy(00)0但函數(shù)在點(00)并不連續(xù)提示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0當點P(xy)沿x軸趨于點(00)時有SKIPIF1<0當點P(xy)沿直線ykx趨于點(00)時有SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0不存在故函數(shù)f(xy)在(00)處不連續(xù)6．2．2全微分1．全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系有偏增量與偏微分：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為函數(shù)對x的偏增量SKIPIF1<0fx(xy)x為函數(shù)對x的偏微分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為函數(shù))對y的偏增量，SKIPIF1<0為函數(shù)對y的偏微分。全增量：SKIPIF1<0計算全增量比較復(fù)雜我們希望用x、y的線性函數(shù)來近似代替之定義如果函數(shù)zf(xy)在點(xy)的全增量SKIPIF1<0可表示為SKIPIF1<0其中A、B不依賴于x、y而僅與x、y有關(guān)則稱函數(shù)zf(xy)在點(xy)可微分而稱AxBy為函數(shù)zf(xy)在點(xy)的全微分記作dz即SKIPIF1<0如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分2．可微與連續(xù)可微必連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)這是因為如果zf(xy)在點(xy)可微則zf(xxyy)f(xy)AxByo()于是SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0因此函數(shù)zf(xy)在點(xy)處連續(xù)3．可微條件定理1(必要條件)如果函數(shù)zf(xy)在點(xy)可微分則函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0必定存在且函數(shù)zf(xy)在點(xy)的全微分為：SKIPIF1<0。證設(shè)函數(shù)zf(xy)在點P(xy)可微分于是對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P(xxyy)有zAxByo()特別當y0時有f(xxy)f(xy)Axo(|x|)上式兩邊各除以x，再令x0而取極限，就得SKIPIF1<0從而偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0同理可證偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0存在且SKIPIF1<0所以：SKIPIF1<0偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0存在是可微分的必要條件但不是充分條件例如，函數(shù)SKIPIF1<0在點(00)處雖然有fx(00)0及fy(00)0但函數(shù)在(00)不可微分即z[fx(00)xfy(00)y]不是較高階的無窮小這是因為當(xy)沿直線yx趨于(00)時SKIPIF1<0SKIPIF1<0定理2(充分條件)如果函數(shù)zf(xy)的偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在點(xy)連續(xù)則函數(shù)在該點可微分定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)按著習(xí)慣x、y分別記作dx、dy并分別稱為自變量的微分則函數(shù)zf(xy)的全微分可寫作SKIPIF1<0二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)例如函數(shù)uf(xyz)的全微分為SKIPIF1<0例1計算函數(shù)zx2yy2的全微分解因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以dz2xydx(x22y)dy例2計算函數(shù)zexy在點(21)處的全微分解因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以dze2dx2e2dy例3計算函數(shù)SKIPIF1<0的全微分解因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0*二、全微分在近似計算中的應(yīng)用當二元函數(shù)zf(xy)在點P(xy)的兩個偏導(dǎo)數(shù)fx(xy)fy(xy)連續(xù)并且|x||y|都較小時有近似等式zdzfx(xy)xfy(xy)y即f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)y我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算例4有一圓柱體受壓后發(fā)生形變它的半徑由20cm增大到2005cm高度由100cu減少到99cm求此圓柱體體積變化的近似值解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V則有Vr2h已知r20h100r005h1根據(jù)近似公式有VdVVrrVhh2rhrr2h220100005202(1)200(cm3)即此圓柱體在受壓后體積約減少了200cm3例5計算(104)202的近似值解設(shè)函數(shù)f(xy)xy顯然要計算的值就是函數(shù)在x104y202時的函數(shù)值f(104202)取x1y2x004y002由于f(xxyy)f(xy)fx(xy)xfy(xy)yxyyxy1xxylnxy所以(104)20212212100412ln1002108例6利用單擺擺動測定重力加速度g的公式是SKIPIF1<0現(xiàn)測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s.問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？解如果把測量l與T所產(chǎn)生的誤差當作|Δl|與|ΔT|,則利用上述計算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)SKIPIF1<0的全增量的絕對值|Δg|.由于|Δl||ΔT|都很小因此我們可以用dg來近似地代替Δg這樣就得到g的誤差為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中l(wèi)與T為l與T的絕對誤差把l=100T=2,l=0.1,δT=0.004代入上式得g的絕對誤差約為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0從上面的例子可以看到對于一般的二元函數(shù)z=f(x,y),如果自變量x、y的絕對誤差分別為x、y,即|Δx|x,|Δy|y,則z的誤差SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而得到z的絕對誤差約為SKIPIF1<0z的相對誤差約為SKIPIF1<06．2．3方向?qū)?shù)1．方向?qū)?shù)的定義現(xiàn)在我們來討論函數(shù)zf(xy)在一點P沿某一方向的變化率問題設(shè)l是xOy平面上以P0(x0y0)為始點的一條射線el(coscos)是與l同方向的單位向量射線l的參數(shù)方程為xx0tcosyy0tcos(t0)設(shè)函數(shù)zf(xy)在點P0(x0y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義P(x0tcosy0tcos)為l上另一點且PU(P0)如果函數(shù)增量f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)與P到P0的距離|PP0|t的比值SKIPIF1<0當P沿著l趨于P0(即tt0)時的極限存在則稱此極限為函數(shù)f(xy)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)記作SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0從方向?qū)?shù)的定義可知方向?qū)?shù)SKIPIF1<0就是函數(shù)f(xy)在點P0(x0y0)處沿方向l的變化率2．方向?qū)?shù)的計算定理如果函數(shù)zf(xy)在點P0(x0y0)可微分那么函數(shù)在該點沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在且有SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中coscos是方向l的方向余弦簡要證明設(shè)xtcosytcos則f(x0tcosy0tcos)f(x0y0)fx(x0y0)tcosfy(x0y0)tcoso(t)所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0這就證明了方向?qū)?shù)的存在且其值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0提示SKIPIF1<0SKIPIF1<0xtcosytcosSKIPIF1<0討論函數(shù)zf(xy)在點P沿x軸正向和負向沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?提示：沿x軸正向時coscos0SKIPIF1<0沿x軸負向時cos1cos0SKIPIF1<0例1求函數(shù)zxe2y在點P(10)沿從點P(10)到點Q(21)的方向的方向?qū)?shù)解這里方向l即向量SKIPIF1<0的方向與l同向的單位向量為SKIPIF1<0因為函數(shù)可微分且SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以所求方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0對于三元函數(shù)f(xyz)來說它在空間一點P0(x0y0z0)沿el(coscoscos)的方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0如果函數(shù)f(xyz)在點(x0y0z0)可微分則函數(shù)在該點沿著方向el(coscoscos的方向?qū)?shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0例2求f(xyz)xyyzzx在點(112)沿方向l的方向?qū)?shù)其中l(wèi)的方向角分別為604560解與l同向的單位向量為el(cos60cos45cos60SKIPIF1<0因為函數(shù)可微分且fx(112)(yz)|(112)3fy(112)(xz)|(112)3fz(112)(yx)|(112)2所以SKIPIF1<03．梯度設(shè)函數(shù)zf(xy)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對于每一點P0(x0y0)D都可確定一個向量fx(x0y0)ify(x0y0)j這向量稱為函數(shù)f(xy)在點P0(x0y0)的梯度記作gradf(x0y0)即gradf(x0y0)fx(x0y0)ify(x0y0)j梯度與方向?qū)?shù)如果函數(shù)f(xy)在點P0(x0y0)可微分el(coscos)是與方向l同方向的單位向量則SKIPIF1<0SKIPIF1<0gradf(x0y0)el|gradf(x0y0)|cos(gradf(x0y0)^el)這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關(guān)系特別當向量el與gradf(x0y0)的夾角0即沿梯度方向時方向?qū)?shù)SKIPIF1<0取得最大值這個最大值就是梯度的模|gradf(x0y0)|這就是說函數(shù)在一點的梯度是個向量它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值討論SKIPIF1<0的最大值結(jié)論函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值4．等值線我們知道一般說來二元函數(shù)zf(xy)在幾何上表示一個曲面這曲面被平面zc(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為SKIPIF1<0這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*它在xOy平面上的方程為f(xy)c對于曲線L*上的一切點已給函數(shù)的函數(shù)值都是c所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)zf(xy)的等值線若fxfy不同時為零則等值線f(xy)c上任一點P0(x0y0)處的一個單位法向量為SKIPIF1<0這表明梯度gradf(x0y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同而沿這個方向的方向?qū)?shù)SKIPIF1<0就等于|gradf(x0y0)|于是SKIPIF1<0這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系這就是說函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形設(shè)函數(shù)f(xyz)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則對于每一點P0(x0y0z0)G都可定出一個向量fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k這向量稱為函數(shù)f(xyz)在點P0(x0y0z0)的梯度記為gradf(x0y0z0)即gradf(x0y0z0)fx(x0y0z0)ify(x0y0z0)jfz(x0y0z0)k結(jié)論三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致而它的模為方向?qū)?shù)的最大值如果引進曲面f(xyz)c為函數(shù)的等量面的概念則可得函數(shù)f(xyz)在點P0(x0y0z0)的梯度的方向與過點P0的等量面f(xyz)c在這點的法線的一個方向相同且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)例3求SKIPIF1<0解這里SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0例4設(shè)f(xyz)x2y2z2求gradf(112)解gradf(fxfyfz)(2x2y2z)于是gradf(112)(224)*5。數(shù)量場與向量場如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M都有一個確定的數(shù)量f(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定如果與點M相對應(yīng)的是一個向量F(M)則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等)一個向量場可用一個向量函數(shù)SKIPIF1<0(M)來確定而F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k其中P(M)Q(M)R(M)是點M的數(shù)量函數(shù)利用場的概念我們可以說向量函數(shù)gradf(M)確定了一個向量場——梯度場它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢而這個向量場又稱為勢場必須注意任意一個向量場不一定是勢場因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場例5試求數(shù)量場SKIPIF1<0所產(chǎn)生的梯度場其中常數(shù)m>0SKIPIF1<0為原點O與點M(xyz)間的距離解SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0記SKIPIF1<0它是與SKIPIF1<0同方向的單位向量則SKIPIF1<0上式右端在力學(xué)上可解釋為位于原點O而質(zhì)量為m質(zhì)點對位于點M而質(zhì)量為l的質(zhì)點的引力這引力的大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比這引力的方向由點M指向原點因此數(shù)量場SKIPIF1<0的勢場即梯度場gradSKIPIF1<0稱為引力場而函數(shù)SKIPIF1<0稱為引力勢6．2．4高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)zf(xy)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0那么在D內(nèi)fx(xy)、fy(xy)都是xy的函數(shù)如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在則稱它們是函數(shù)zf(x