備戰(zhàn)中考人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)同步習(xí)題之27.2相似三角形

27.2相似三角形一、選擇題1．〔2023山東煙臺(tái)〕如圖，△ABC中，點(diǎn)D在線段BC上，且△ABC∽△DBA，那么以下結(jié)論一定正確的選項(xiàng)是A、AB2=BC·BDB、AB2=AC·BDC、AB·AD=BD·BCD、AB·AD=AD·CD【答案】A2．〔2023臺(tái)灣〕圖(一)表示D、E、F、G四點(diǎn)在△ABC三邊上的位置，其中與交于H點(diǎn)。假設(shè)ABC=EFC=70，ACB=60，DGB=40，那么以下哪一組三角形相似？(A)△BDG，△CEF(B)△ABC，△CEF(C)△ABC，△BDG(D)△FGH，△ABC。AABCDEFGH圖(一)【答案】B3．〔2023浙江嘉興〕如圖，AD為△ABC的角平分線，交AC于E，如果，那么〔〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕【答案】B4．〔2023年上海〕以下命題中，是真命題的為〔〕A.銳角三角形都相似B.直角三角形都相似C.等腰三角形都相似D.等邊三角形都相似【答案】D5．〔2023北京〕 如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，DE∥BC，假設(shè)AD∶AB=3∶4，AE=6，那么AC等于()AABCDEA．3 B．4 C．6 D．8【答案】D6．〔2023云南楚雄〕以下說法不正確的選項(xiàng)是〔〕A．在選舉中，人們通常最關(guān)心的數(shù)據(jù)是眾數(shù)．B．?dāng)S一枚骰子，3點(diǎn)朝上是不確定事件．C．?dāng)?shù)據(jù)3，5，4，1，－2的中位數(shù)是3．D．有兩邊對(duì)應(yīng)成比例且有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．【答案】D7．〔2023四川綿陽(yáng)〕如圖，梯形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，G是BD的中點(diǎn)．假設(shè)AD=3，BC=9，那么GO:BG=〔〕．A．1:2B．1:3C．2:3D．11:20GGABDCO【答案】A8．〔2023廣西桂林〕如圖，△ADE與△ABC的相似比為1：2，那么△ADE與△ABC的面積比為〔〕．A．1：2B．1：4C．2：1D．4：1【答案】B9．〔2023遼寧沈陽(yáng)〕如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，那么△ABC的邊長(zhǎng)為A．9B．12C．15D．18【答案】A10．〔2023吉林〕如圖，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，假設(shè)AC=8，BC=6，DE=3，那么AD的長(zhǎng)為〔〕A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C11．〔2023廣西百色〕以下命題中，是假命題的是〔〕A.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等B.兩角和一邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等D.相似三角形的面積比等于相似比的平方【答案】C12．〔2023四川宜賓〕如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于點(diǎn)D．那么△BCD與△ABC的周長(zhǎng)之比為〔〕A．1:2B．1:3C．1:4D．1:5【答案】A13．〔2023浙江嘉興〕如圖，C是線段AB上的任意一點(diǎn)〔端點(diǎn)除外〕，分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連結(jié)AE交CD于M，連結(jié)BD交CE于N．給出以下三個(gè)結(jié)論：①；②；③．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是〔〕〔A〕0 〔B〕1 〔C〕2 〔D〕3〔第13題〕〔第13題〕【答案】D二、填空題1．〔2023江蘇南通〕假設(shè)△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為1∶2，那么△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為．【答案】1∶22．〔2023年上?！橙鐖D2，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD=∠ABC，假設(shè)AC=2，AD=1，那么DB=__________.圖2圖2【答案】DB=3〔第3題圖〕3．〔2023山東臨沂〕如圖，，添加一個(gè)條件使得∽.〔第3題圖〕【答案】∠B=∠D,∠C=∠E,等4．〔2023陜西西安〕如圖，在中，D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，要使與相似，應(yīng)添加的條件是?！仓恍鑼懗鲆粋€(gè)條件即可〕【答案】∠ACD=∠B〔∠ADC=∠ACB或〕5．〔2023四川內(nèi)江〕如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)E、F分別在AB和AC上，CE與BF相交于點(diǎn)D，假設(shè)AE＝CF，D為BF的中點(diǎn)，那么AE∶AF的值為.AABDEFC【答案】EQ\f(EQ\r(,5)＋1,2)6．〔2023云南昭通〕如果兩個(gè)相似三角形的一組對(duì)應(yīng)邊分別為3cm和5cm。且較小三角形的周長(zhǎng)為15cm，那么較大三角形周長(zhǎng)為______cm．【答案】257．〔2023重慶市潼南縣〕△ABC與△DEF的相似比為3：4，那么△ABC與△DEF的周長(zhǎng)比為.【答案】3：48．〔2023安徽蕪湖〕如圖，光源P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB＝2m，CD＝6m，點(diǎn)P到CD的距離是2.7m，那么AB與CD間的距離是__________m．【答案】1.89．〔2023甘肅蘭州〕如圖，上體育課，甲、乙兩名同學(xué)分別站在C、D的位置時(shí)，乙的影子恰好在甲的影子里邊，甲，乙同學(xué)相距1米.甲身高1.8米，乙身高1.5米，那么甲的影長(zhǎng)是米.【答案】610．〔2023湖南衡陽(yáng)〕如圖，零件的外徑為25mm，現(xiàn)用一個(gè)交叉卡鉗〔兩條尺長(zhǎng)AC和BD相等，OC=OD〕量零件的內(nèi)孔直徑AB．假設(shè)OC∶OA=1∶2，量得CD＝10mm，那么零件的厚度x=mm．【答案】2011．〔2023山東省德州〕如圖，小明在A時(shí)測(cè)得某樹的影長(zhǎng)為2m，B時(shí)又測(cè)得該樹的影長(zhǎng)為8m，假設(shè)兩次日照的光線互相垂直，那么樹的高度為_____m.第第11題圖A時(shí)B時(shí)【答案】412．〔2023廣東珠海〕一天，小青在校園內(nèi)發(fā)現(xiàn)：旁邊一顆樹在陽(yáng)光下的影子和她本人的影子在同一直線上，樹頂?shù)挠白雍退^頂?shù)挠白忧『寐湓诘孛娴耐稽c(diǎn)，同時(shí)還發(fā)現(xiàn)她站立于樹影的中點(diǎn)〔如下圖〕.如果小青的峰高為1.65米，由此可推斷出樹高是_______米.【答案】3.313．〔2023山東濱州〕如圖,A、B兩點(diǎn)被池塘隔開,在AB外取一點(diǎn)C,連結(jié)AC、BC，在AC上取點(diǎn)M，使AM=3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,那么AB的長(zhǎng)為【答案】15214．〔2023江西省南昌〕如圖，一根直立于水平地面的木桿AB在燈光下形成影子，當(dāng)木桿繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)直至到達(dá)地面時(shí)，影子的長(zhǎng)度發(fā)生變化.設(shè)AB垂直于地面時(shí)的影子為AC〔假定AC>AB〕，影長(zhǎng)的最大值為m.最小值為n,那么以下結(jié)論：①m>AC;②m＝AC;③n＝AB;④影子的長(zhǎng)度先增大后減小.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是.〔第14題〕【答案】①③④15．〔2023四川內(nèi)江〕如圖，為了測(cè)量某棵樹的高度，小明用長(zhǎng)為2m的竹竿做測(cè)量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)．此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)相距6m、與樹相距15m，那么樹的高度為m.15m15m2m6m【答案】716．〔2023甘肅〕在同一時(shí)刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.8米，一棵大樹的影長(zhǎng)為4.8米，那么這棵樹的高度為米.【答案】9.617．〔2023遼寧沈陽(yáng)〕如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE：EC=1：2，連接AE交BD于點(diǎn)F，那么△BFE的面積與△DFA的面積之比為?！敬鸢浮?:918．〔2023四川廣安〕如右圖，甲、乙兩盞路燈相距20米，一天晚上，當(dāng)小剛從甲走到距路燈乙底部4米處時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己的身影頂部正好接觸到路燈乙的底部，小剛的身高為1．6米，那么路燈甲的高為米．【答案】819．〔2023福建南平〕如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且AD=eq\f(1,3)AB，那么△ADE的周長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)的比為__________.第19題第19題ABCDE【答案】:eq\f(1,3)三、解答題1．〔2023江蘇南京〕學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件?！?〕“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等〞。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個(gè)直角三角形相似〞?！?〕“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〞，類似地你可以得到“滿足的兩個(gè)直角三角形相似〞。請(qǐng)結(jié)合以下所給圖形，寫出，并完成說理過程。：如圖，。試說明Rt△ABC∽R(shí)t△A’B’C’.【答案】2．〔2023浙江省溫州市〕如圖，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BBl∥AC．動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，過點(diǎn)E作EF上AC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連結(jié)DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí)，求t的值；(3)以DH所在直線為對(duì)稱軸，線段AC經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A′C′．①當(dāng)t>時(shí)，連結(jié)C′C，設(shè)四邊形ACC′A′的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)線段A′C′與射線BB，有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍(寫出答案即可)．【答案】3．〔2023四川南充〕如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連結(jié)BD并延長(zhǎng)與CE交于點(diǎn)E．〔1〕求證：△ABD∽△CED．〔2〕假設(shè)AB＝6，AD＝2CD，求BE的長(zhǎng)．ADADEBFCMADEBFC【答案】〔1〕證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°．∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．〔2〕解：作BM⊥AC于點(diǎn)M，AC＝AB＝6．∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝．∵AD＝2CD，∴CD＝2，AD＝4，MD＝1．在Rt△BDM中，BD＝＝．由〔1〕△ABD∽△CED得，，，∴ED＝，∴BE＝BD＋ED＝．4．〔2023浙江衢州〕如圖，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上．(1)判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F(xiàn)是△DEF邊上的7個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)谶@7個(gè)格點(diǎn)中選取3個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與△ABC相似(要求寫出2個(gè)符合條件的三角形，并在圖中連結(jié)相應(yīng)線段，不必說明理由)．AACBFEDP1P2P3P4P5【答案】解：(1)△ABC和△DEF相似． 根據(jù)勾股定理，得，，BC=5；，，．∵， ∴△ABC∽△DEF． (2)答案不唯一，下面6個(gè)三角形中的任意2個(gè)均可． AACBFEDP1P2P3P4(第4題)P5△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，△P4P5D，△P2P4P5，△P1FD．5．〔2023河北〕在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，∠1

=

∠2

=

45°．〔1〕如圖15-1，假設(shè)AO=OB，請(qǐng)寫出AO與BD數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；〔2〕將圖15-1中的MN繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO

=

OB．求證：AC=BD，AC⊥BD；〔3〕將圖15-2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖15-3，求的值．圖15-2圖15-2ADOBC21MN圖15-1ADBMN12圖15-3ADOBC21MNO【答案】解：〔1〕AO=

BD，AO⊥BD；〔2〕證明：如圖4，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠ACO

=

∠BEO．圖4ADOBC21MNEF又圖4ADOBC21MNEF∴△AOC

≌

△BOE．∴AC

=

BE．又∵∠1

=

45°，∴∠ACO

=

∠BEO

=

135°．∴∠DEB

=

45°．∵∠2

=

45°，∴BE

=

BD，∠EBD

=

90°．∴AC

=

BD．延長(zhǎng)AC交DB的延長(zhǎng)線于F，如圖4．∵BE∥AC，∴∠AFD=

90°．∴AC⊥BD．〔3〕如圖5，過點(diǎn)B作BE∥CA交DO于E，∴∠BEO=

∠ACO．AOBC1D2圖5AOBC1D2圖5MNE∴△BOE

∽

△AOC．∴．又∵OB=kAO，由〔2〕的方法易得BE=BD．∴．6．〔2023廣東珠海〕如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE＝∠B.求證：△ADF∽△DEC假設(shè)AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長(zhǎng).【答案】〔1〕證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=7．〔2023湖北武漢〕線段OA⊥OB，C為OB上中點(diǎn)，D為AO上一點(diǎn)，連AC、BD交于P點(diǎn)．〔1〕如圖1，當(dāng)OA=OB且D為AO中點(diǎn)時(shí)，求的值；〔2〕如圖2，當(dāng)OA=OB，=時(shí)，求tan∠BPC；〔3〕如圖3，當(dāng)AD∶AO∶OB=1∶n∶時(shí)，直接寫出tan∠BPC的值．圖1圖1圖2圖3【答案】〔1〕過C作CE∥OA交BD于E，證△BCE∽△BOD得CE=OD=AD；再證△ECP∽△DAP得；〔2〕過C作CE∥OA交BD于E，設(shè)AD=x，AO=OB=4x，那么OD=3x，證△BCE∽△BOD得CE=OD=x，再證△ECP∽△DAP得；由勾股定理可知BD=5x，DE=x，那么，可得PD=AD=x，那么∠BPC=∠DPA=∠A，tan∠BPC=tan∠A=；(3)．8．〔2023山東濱州〕如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．(1)寫出圖中兩對(duì)相似三角形〔不得添加輔助線〕；(2)請(qǐng)分別說明兩對(duì)三角形相似的理由．【答案】解：(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE(2)①證△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE．又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE②證△ABD∽△ACE．∵△ABC∽△ADE，∴又∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE9．如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)．且滿足AD＝AB，∠ADE＝∠C．〔1〕求證：∠AED=∠ADC，∠DEC=∠B；〔2〕求證：AB2＝AE?AC．【答案】證明：〔1〕在△ADE和△ACD中∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠DAE∴∠AED=180°－∠DAE－∠ADE∠ADC＝180°－∠DAE－∠C∴∠AED=∠ADC∵∠AED+∠DEC=180°∠ADB+∠ADC=180°∴∠DEC=∠ADB又∵AB=AD∴∠ADB=∠B∴∠DEC=∠B〔2〕在△ADE和△ACD中由〔1〕知∠ADE＝∠C，∠DAE=∠DAE∴△ADE∽△ACD∴即AD2=AE?AC又∵AB=AD∴AB2＝AE?AC10．〔2023江蘇南京〕學(xué)習(xí)《圖形的相似》后，我們可以借助探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件?！?〕“對(duì)與兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等〞。類似地，你可以等到：“滿足，或，兩個(gè)直角三角形相似〞。〔2〕“滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等〞，類似地你可以得到“滿足的兩個(gè)直角三角形相似〞。請(qǐng)結(jié)合以下所給圖形，寫出，并完成說理過程。：如圖，。試說明Rt△ABC∽R(shí)t△A’B’C’.【答案】11．〔2023遼寧大連〕如圖12，ACB=，CDAB，垂足為D，點(diǎn)E在AC上，BE交CD于點(diǎn)G，EFBE交AB于點(diǎn)F，假設(shè)AC=mBC，CE=kEA，探索線段EF與EG的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論說明：如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選取〔1〕或〔2〕中的條件，選〔1〕中的條件完成解答總分值為7分；選〔2〕中的條件完成解答總分值為5分m=1〔如圖13〕m=1，k=1〔如圖14〕FDFDEGBCA圖12BDFGECA圖13FFDBGECA圖14【答案】12．〔2023廣東佛山〕一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類〞的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對(duì)劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論〞的方法。請(qǐng)依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決以下問題：如圖，在△ABC中，∠ACB＞∠ABC。〔1〕假設(shè)∠BAC是銳角，請(qǐng)?zhí)剿髟谥本€AB上有多少個(gè)點(diǎn)D，能保證△ACD～△ABC〔不包括全等〕？〔2〕請(qǐng)對(duì)∠BAC進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悾苯訉懗雒恳活愒谥本€AB上能保證△ACD～△ABC(不包括全等)的點(diǎn)D的個(gè)數(shù)。【答案】〔1〕〔i〕如圖，假設(shè)點(diǎn)D在線段AB上，由于∠ACB＞∠ABC，可以作一個(gè)點(diǎn)D滿足∠ACD=∠ABC,使得△ACD∽△ABC。(ii)如圖①，假設(shè)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上，那么∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，與條件矛盾，因此，這樣的點(diǎn)D不存在。〔iii〕如圖②，假設(shè)點(diǎn)D在線段AB的反向延長(zhǎng)線上，由于∠BAC是銳角，那么∠BAC＜90°＜∠CAD，不可能有△ACD∽△ABC.因此，這樣的點(diǎn)D不存在。綜上所述，這樣的點(diǎn)D有一個(gè)。13．〔2023福建莆田〕如圖1，在中，∠ACB=,AC=6,BC=8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分∠CDB交邊BC于點(diǎn)E，垂足為M，垂足為N。當(dāng)AD=CD時(shí)，求證：DE∥AC；探究：AD為何值時(shí)，△BME與△CNE相似？探究：AD為何值時(shí)，四邊形MEND與△BDE的面積相等？【答案】14．〔2023廣東肇慶〕如圖5，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB交于F.求證：△CEB≌△ADC;假設(shè)AD=9cm，DE＝6cm，求BE和EF的長(zhǎng).【答案】解：〔1〕因?yàn)椤螦CB=90°，所以∠BCE+∠ECA=90°.因?yàn)锳D⊥CE于D，所以∠CAD+∠ECA=90°.所以∠BCE=∠CAD.因?yàn)锽E⊥CE于E，所以∠BEC=∠CDA=90°.又因?yàn)锳C=BC，所以△CEB≌△ADC〔AAS〕.因?yàn)椤鰿EB≌△ADC，所以CE=AD=9cm，CD=BE.因?yàn)镈E＝6cm，所以CD=CE-DE=3cm.所以BE=3cm.因?yàn)椤螧EF=∠ADF=90°，∠EFB=∠DFA,所以△EFB∽△DFA.所以.設(shè)EF=xcm，所以DF=(6-x)cm,所以,所以x=cm.15．〔2023黑龍江綏化〕在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A=30°，點(diǎn)P在AC上，且∠MPN=90°.當(dāng)點(diǎn)P為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC上時(shí)〔如圖1〕，過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，可證△PME∽△PNF，得出PN=PM.〔不需證明〕當(dāng)PC=PA，點(diǎn)M、N分別在線段AB、BC或其延長(zhǎng)線上，如圖2、圖3這兩種情況時(shí)，請(qǐng)寫出線段PN、PM之間的數(shù)量關(guān)系，并任選其一給予證明.【答案】解：如圖2，如圖3中都有結(jié)論：PN＝eq\r(6)PM……………2分選如圖2：在Rt△ABC中，過點(diǎn)P作PE⊥AB于E，PF⊥BC于點(diǎn)F∴四邊形BFPE是矩形∴∠EPF＝90o，∵∠EPM＋∠MPF＝∠FPN＋∠MPF＝90o可知∠EPM＝∠FPN∴△PFN∽△PEM……2分∴EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(PN,PM)…………1分又∵Rt△AEP和Rt△PFC中：∠A＝30o，∠C＝60o∴PF＝EQ\F(\r(3),2)PC，PE＝EQ\F(1,2)PA……………1分∴EQ\F(PN,PM)＝EQ\F(PF,PE)＝EQ\F(\r(3)PC,PA)……………1分∵PC＝eq\r(2)PA∴EQ\F(PN,PM)＝eq\r(6)即：PN＝eq\r(6)PM………………1分假設(shè)選如圖3，其證明過程同上〔其他方法如果正確，可參照給分〕16．〔2023內(nèi)蒙呼和浩特〕如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為12㎝，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且AD＝AE＝4㎝，假設(shè)點(diǎn)F從點(diǎn)B開始以2㎝/s的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t＞0時(shí)，直線FD與過點(diǎn)A且平行于BC的直線相交于點(diǎn)G，GE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，AB與GH相交于點(diǎn)O.〔1〕設(shè)△EGA的面積為S〔㎝2〕，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中，試猜測(cè)△GFH的面積是否改變，假設(shè)不變，求其值；假設(shè)改變，請(qǐng)說明理由.〔3〕請(qǐng)直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)F和點(diǎn)C是線段BH的三等分點(diǎn).【答案】解：〔1〕作EM⊥GA，垂足為M∵等邊△ABC∴∠ACB＝60°∵GA∥BC∴∠MAE＝60°∵AE＝4∴ME＝AE·sin60°＝2EQ\r