考點13 點與圓的位置關(guān)系的8大題型解法歸類-解析版

考點13點與圓的位置關(guān)系1判斷點與圓的位置關(guān)系的方法位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定點在圓外點在圓的外部QUOTEd>r?d>r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的外部.點在圓上點在圓周上QUOTEd=r?d=r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的圓周上.點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部QUOTEd<r?d<r?點QUOTEPP在QUOTE⊙O⊙O的內(nèi)部.判斷點和圓的位置關(guān)系時，常常轉(zhuǎn)化為判斷點到圓心的距離與圓的半徑的大小關(guān)系。(1)一個點確定以后，它相對于圓的位置關(guān)系是唯一的，只能是上述三種情況之一.當(dāng)一個點的位置不確定時，有時要對它的位置進行分類討論；(2)利用d與r的數(shù)量關(guān)系可以判斷點和圓的位置關(guān)系.同樣，知道了點和圓的位置關(guān)系，也可以確定d與r的數(shù)量關(guān)系。2利用點與圓的位置關(guān)系求半徑利用d與r的數(shù)量關(guān)系可以判斷點和圓的位置關(guān)系，來判斷線段的長度，需要構(gòu)造直角三角形時，可利用勾股定理求得。3確定圓的條件條件圖示過一點A作圓經(jīng)過一個點A作圓，只要以除點A外的任意一點為圓心，以這一點到點A的距離為半徑作圓即可.這樣的圓有無數(shù)個，如過兩點A,B作圓經(jīng)過兩個點A,B作圓，要以到點A,B距離相等的點為圓心，即以線段AB的垂直平分線上的任意一點為圓心，以這一點到點A或點B的距離為半徑作圓即可.這樣的圓有無數(shù)個，如右圖過不在同一條直線上的三點A,B,C作圓經(jīng)過不在同一條直線上的三個點A,B,C作圓，圓心到這三個點的距離相等，因此圓心在線段AB,BC的垂直平分線的交點0處.以點O為圓心，以O(shè)A(或OB或OC)長為半徑可作出經(jīng)過A,B,C三點的圓.這樣的圓只有一個，如右圖過不在同一條直線上的任意四點作圓要想過四點作圓，應(yīng)先作出經(jīng)過不在同一條直線上的三點的圓，若第四個點到圓心的距離等于半徑，則第四個點在圓上.如右圖，點D,到圓心的距離等于半徑，則點D?在圓上；點D?,D,到圓心的距離不等于半徑，則點D?,D,不在圓上4三角形的外接圓銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部。5找三角形外心的方法三角形的外心為三角形三邊垂直平分線的交點，故可以作三角形任意兩邊的垂直平分線，它們的交點即為該三角形的外心。6反證法證明命題的步驟1.反證法假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)與基本事、理、定義或已知條件等不符，從而得到原命題成立.這種方法叫做反證法。反證法是一種間接證明命題真假的方法。2.用反證法證明命題的一般步驟(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出與基本事實、定理或已知條件等相矛盾的結(jié)論；(3)由矛盾判定所作假設(shè)不正確，從而判定原命題的結(jié)論正確7判斷點與圓的位置關(guān)系已知某點的坐標(biāo)，判斷這個點和坐標(biāo)系中圓的位置關(guān)系的方法：先構(gòu)造直角三角形，運用勾股定理計算出此點與圓心之間的距離，再比較此距離與圓的半徑的大小，得出結(jié)論。8與三角形的外心有關(guān)的計算方法三角形的外心即三角形外接圓的圓心，常利用圓的半徑或直徑構(gòu)造相應(yīng)的直角三角形，根據(jù)圓周角定理及垂徑定理，求相關(guān)角的度數(shù)或線段的長度.考點1判斷點與圓的位置關(guān)系的方法考點2利用點與圓的位置關(guān)系求半徑考點3確定圓的條件考點4三角形的外接圓考點5找三角形外心的方法考點6反證法證明命題的步驟考點7判斷點與圓的位置關(guān)系考點8與三角形的外心有關(guān)的計算方法考點1判斷點與圓的位置關(guān)系的方法1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知的半徑為1，若，則點A在（）A．內(nèi) B．上 C．外 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可解決問題．【詳解】解∶，點A在外．故選：C．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是記?。孩冱cP在圓外．②點P在圓上．③點P在圓內(nèi)．2．（2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）若的半徑為，，則點與的位置關(guān)系是（

）A．點在外 B．點在上 C．點在內(nèi) D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)點到圓心的距離即可得出答案．【詳解】解：∵點P到圓心的距離小于圓的半徑，∴點P在圓內(nèi)．故選C．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系：當(dāng)點到圓心距離小于半徑時，點在圓內(nèi)；當(dāng)點到圓心距離等于半徑時，點在圓上；當(dāng)點到圓心距離大于半徑時，點在圓外．3．（2022秋·廣東廣州·九年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，點，以點A為圓心，長為半徑作，則原點O與的位置關(guān)系是（

）A．點O在上 B．點O在外 C．點O在內(nèi) D．以上皆有可能【答案】C【分析】先根據(jù)勾股定理求出的半徑，根據(jù)可得出點O在內(nèi)．【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系中，點，點，，，，即的半徑，，點O在內(nèi)，故選C．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求得的半徑．4．（2023秋·浙江寧波·九年級統(tǒng)考期末）已知的半徑為，點到圓心的距離為，則點（

）A．在圓內(nèi) B．在圓上C．在圓外 D．在圓上或圓外【答案】C【分析】直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵點P到圓心O的距離為，∴點P在圓外．故選：C．【點睛】本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的三種位置關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．5．（2022秋·浙江紹興·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，是斜邊上的中線，以為直徑作，設(shè)線段的中點為P，則點P與的位置關(guān)系是（

）A．點P在內(nèi) B．點P在上C．點P在外 D．點P不在內(nèi)【答案】A【分析】由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再由中位線的性質(zhì)得，最后根據(jù)點和圓的位置關(guān)系即可解答．【詳解】解：如圖：連接∵在中，，，，是斜邊上的中線，∴∵點以為直徑作∴∵點是中點，∴是的中位線，∴，∵，∴點在內(nèi)．故選A．【點睛】本題主要考查點和圓的位置關(guān)系、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)等知識點，，求出點到圓心的距離是關(guān)鍵．考點2利用點與圓的位置關(guān)系求半徑6．（2022秋·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）已知點在圓外，它到圓的最近距離是，到圓的最遠(yuǎn)距離是，則圓的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】搞清楚P點到圓上點的最近距離與到圓上點的最遠(yuǎn)距離的差為直徑（P為圓外一點），本題易解．【詳解】解：P為圓外一點，且P點到圓上點的最近距離為，到圓上點的最遠(yuǎn)距離為，則圓的直徑是7-1=，因而半徑是．故選：A【點睛】本題考查了點和圓，正確理解圓的直徑的長度是解決本題的關(guān)鍵．7．（2022秋·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）已知OA=4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，則r的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根據(jù)點A與⊙O的位置關(guān)系確定點到圓心的距離與圓的半徑大小即可．【詳解】∵已知OA＝4，以O(shè)為圓心，r為半徑作⊙O．若使點A在⊙O內(nèi)，∴點A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，∴圓的半徑應(yīng)該大于4．故選：D．【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點與圓心的距離及半徑的大小關(guān)系，難度不大．8．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知中，，，，點P為邊AB的中點，以點C為圓心，長度r為半徑畫圓，使得點A，P在⊙C內(nèi)，點B在⊙C外，則半徑r的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理，得AB=5，由P為AB的中點，得CP=，要使點A，P在⊙C內(nèi)，r＞3，r＜4，從而確定r的取值范圍.【詳解】∵點A在⊙C內(nèi)，∴r＞3，∵點B在⊙C外，∴r＜4，∴，故選：D.【點睛】本題考查了點和圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.9．（2021秋·全國·九年級專題練習(xí)）平面內(nèi)一點P到⊙O的最小距離和最大距離分別為2m和6cm，則⊙O的直徑長為（）A．4cm B．8cm C．4cm或8cm D．6cm【答案】C【分析】由題意，需分點P在⊙O內(nèi)、點P在⊙O外；當(dāng)在圓內(nèi)時，最大距離與最小距離的和等于直徑，當(dāng)在圓外時，最大距離與最小距離的差等于直徑.【詳解】設(shè)⊙O的直徑為，當(dāng)點P在圓內(nèi)時，當(dāng)點P在⊙O外時，故選：C.【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，依題意得出需分點在圓內(nèi)和點在圓外兩種情形是解題關(guān)鍵.10．（2020秋·福建福州·九年級校考階段練習(xí)）在數(shù)軸上，點A所表示的實數(shù)為2，點B所表示的實數(shù)為a，⊙A的半徑為3，若點B在⊙A外，則a的值可能是（）A．﹣1 B．0 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)，可得答案．【詳解】由題意，點B在⊙A外，則d=a-2＞3，解得：a＞5，只有6符合條件．故選D．【點睛】本題考查了對點與圓的位置關(guān)系的判斷．關(guān)鍵要記住若半徑為r，點到圓心的距離為d，則有：當(dāng)d＞r時，點在圓外；當(dāng)d=r時，點在圓上，當(dāng)d＜r時，點在圓內(nèi)．考點3確定圓的條件11．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）下列命題正確的是（

）A．三點確定一個圓 B．圓的任意一條直徑都是它的對稱軸C．等弧所對的圓心角相等 D．平分弦的直徑垂直于這條弦【答案】C【分析】根據(jù)確定圓的條件對A進行判斷；根據(jù)圓的軸對稱性對B進行判斷；根據(jù)圓心角定理對C進行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對D進行判斷．【詳解】A．不共線的三點確定一個圓，故A是假命題；B．對稱是直線，而圓的直徑是線段，故B是假命題；C．弧相等，則弧所對的圓心角相等，故C是真命題；D．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，故D是假命題．故選：C．【點睛】本題考查了命題、真命題和假命題的概念，任何一個命題非真即假，要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．12．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┫铝姓f法中正確的是（

）A．經(jīng)過三點一定可以作一個圓 B．相等的圓心角所對的弧也相等C．圓是軸對稱圖形，每一條直徑都是它的對稱軸 D．等弧所對的圓周角相等【答案】D【分析】根據(jù)確定一個圓的條件，圓周角定理，圓心角定理，圓的對稱軸的知識即可判斷正誤．【詳解】A．經(jīng)過不在同一直線上的三點一定可以作一個圓，A選項錯誤，所以A選項不符合題意；B．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧也相等，B選項錯誤，所以B選項不符合題意；C．圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，C選項錯誤，所以C選項不符合題意；D．等弧所對的圓周角相等，D選項正確，所以D選項符合題意．故選：D【點睛】本題考查確定一個圓的條件，圓周角定理，圓心角定理，圓的對稱軸，解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的相關(guān)定理．13．（2023秋·九年級課前預(yù)習(xí)）在同一平面內(nèi)，過已知A，B，C三個點可以作的圓的個數(shù)為(

)A．0 B．1 C．2 D．0或1【答案】D【詳解】分析：分兩種情況討論：①A、B、C三個點共線，不能做圓；②A、B、C三個點不在同一條直線上，有且只有一個圓．解答：解：當(dāng)A、B、C三個點共線，過A、B、C三個點不能作圓；當(dāng)A、B、C不在同一條直線上，過A、B、C三個點的圓有且只有一個，即三角形的外接圓；故選D．14．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，點A、B、C在同一直線上，點D在直線AB之外，過這四個點中的任意三個點，能畫圓的個數(shù)為（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【詳解】試題分析：根據(jù)題意得出：點D、A、B；點D、A、C；點D、B、C可以確定一個圓．故過這四點中的任意3個點，能畫圓的個數(shù)是3個．故選C．考點：確定圓的條件．15．（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，點，，，均在直線上，點在直線外，則經(jīng)過其中任意三個點，最多可畫出圓的個數(shù)為（

）

A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】D【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓可得，直線上任意2個點加上點可以畫出一個圓，據(jù)此列舉所有可能即可求解．【詳解】解：依題意，；；；；，加上點可以畫出一個圓，∴共有6個，故選：D．【點睛】本題考查了確定圓的條件，熟練掌握不共線三點確定一個圓是解題的關(guān)鍵．考點4三角形的外接圓16．（2022春·九年級課時練習(xí)）有下列四個命題，其中正確的個數(shù)是（

）（1）經(jīng)過三個點一定可以作一個圓；（2）任意一個三角形有且僅有一個外接圓；（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等；（4）在圓中，平分弦的直徑一定垂直于這條弦；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)確定圓的條件、三角形的外心的概念、垂徑定理的推論判斷即可．【詳解】（1）經(jīng)過不在同一直線上的三個點一定可以作一個圓，故本說法錯誤；（2）任意一個三角形有且僅有一個外接圓，本說法正確；（3）三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，本說法正確；（4）在圓中，平分弦（不是直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故本說法錯誤；故選：B．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．17．（2022·湖南邵陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，⊙O是等邊△ABC的外接圓，若AB=3，則⊙O的半徑是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作直徑AD，連接CD，如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到∠B=60°，關(guān)鍵圓周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=60°，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系求解．【詳解】解：作直徑AD，連接CD，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=60°，∵AD為直徑，∴∠ACD=90°，∵∠D=∠B=60°，則∠DAC=30°，∴CD=AD，∵AD2=CD2+AC2，即AD2=(AD)2+32，∴AD=2，∴OA=OB=AD=．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．18．（2022秋·河南新鄉(xiāng)·九年級河南師大附中校考期中）如圖，點，，都在格點上，的外接圓的圓心坐標(biāo)為（

）A．（5，2） B．（2，4） C．（3，3） D．（4，3）【答案】A【分析】根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點，則可得出答案．【詳解】解：根據(jù)的外接圓的定義，作和的垂直平分線相交于點，∴點P（5，2），故選：A．【點睛】本題考查了三角形的外接圓，三角形的垂直平分線，正確作圖是解題的關(guān)鍵．19．（2022·九年級單元測試）九個相同的等邊三角形如圖所示，已知點O是一個三角形的外心，則這個三角形是（

）A．ABC B．ABE C．ABD D．ACE【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外心和等邊三角形的性質(zhì)解答；【詳解】∵外心為三角形三邊中垂線的交點，且鈍角三角形的外心在三角形的外部，∴點是的外心．故答案選C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形外接圓的圓心，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．20．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，是的外接圓，是的直徑，點在上，連接交于點，連接，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的定義得到，根據(jù)圓周角定理得到，求得，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，，，，，是的直徑，，，，，，，故選：D．

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．考點5找三角形外心的方法21．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O，A，B，C均在格點（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）上，以點O為原點建立平面直角直角坐標(biāo)系，則過A，B，C三點的圓的圓心坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接，作的垂直平分線，根據(jù)勾股定理和半徑相等得出點的坐標(biāo)即可．【詳解】解：連接，作的垂直平分線，如圖所示：在的垂直平分線上找到一點，則滿足：，點是過、、三點的圓的圓心，即的坐標(biāo)為，故選：C．【點睛】此題考查了三角形外接圓的外心、垂徑定理、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)．勾股定理等知識；關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理得出外接圓的圓心位置．22．（2022秋·山西大同·九年級大同市第三中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知點A（3，6）、B（1，4）、C（1，0），則△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（0，0） B．（2，3） C．（5，2） D．（1，4）【答案】C【分析】利用網(wǎng)格特點作AB和BC的垂直平分線，它們的交點P即為△ABC外接圓的圓心．【詳解】解：如圖，△ABC外接圓的圓心為P點，其坐標(biāo)為（5，2）．故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．23．（2022秋·浙江衢州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為，點為，點為．則的外心坐標(biāo)應(yīng)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由BC兩點的坐標(biāo)可以得到直線BC∥x軸，則直線BC的垂直平分線為直線y=-1，再由外心的定義可知△ABC外心的縱坐標(biāo)為-1，則設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），利用兩點距離公式和外心的性質(zhì)得到，由此求解即可．【詳解】解：∵B點坐標(biāo)為（2，1），C點坐標(biāo)為（2，-3），∴直線BC∥x軸，∴直線BC的垂直平分線為直線y=-1，∵外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，∴△ABC外心的縱坐標(biāo)為-1，設(shè)△ABC的外心為P（a，-1），∴，∴，解得，∴△ABC外心的坐標(biāo)為（-2，-1），故選D．【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，外心的性質(zhì)與定義，兩點距離公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知外心是三角形三邊垂直平分線的交點．24．（2021·湖北黃石·模擬預(yù)測）如圖所示，點A，B，C均在6×6的正方形網(wǎng)格格點上，B，C三點的外接圓除經(jīng)過A，B，C三點外還能經(jīng)過的格點數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的作法，先做出過A，B，C三點的△ABC的外接圓，從而得出答案．【詳解】解：如圖，分別作AB、BC的中垂線，兩直線的交點為O，以O(shè)為圓心、OA為半徑作圓，則⊙O即為過A，B，C三點的△ABC的外接圓，由圖可知，⊙O還經(jīng)過點D、E、F、G、H這5個格點，故選：B．【點睛】本題主要考查三角形外接圓的確定，熟練掌握圓上各點到圓心的距離相等得出其外接圓是解題的關(guān)鍵．25．（2022秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，在的網(wǎng)格中，A、B、D、O均在格點上，則點O是△ABD的（

）A．外心 B．重心 C．中心 D．內(nèi)心【答案】A【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點，勾股定理求得，進而即可判斷點O是△ABD的外心【詳解】解：∵∴O是△ABD的外心故選A【點睛】本題考查了三角形的外心的判定，勾股定理與網(wǎng)格，理解三角形的外心的定義是解題的關(guān)鍵．三角形的外心是三邊中垂線的交點,且這點到三角形三頂點的距離相等．考點6反證法證明命題的步驟26．（2023春·河南安陽·七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）下列選項中，可以用來說明命題“兩個銳角互余”是假命題的反例是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【分析】根據(jù)余角定義和真假命題的判定進行判斷即可．【詳解】解：A、，可以用來說明命題“兩個銳角互余”是假命題，故本選項符合題意；B、不是銳角，故本選項不符合題意；C、，能說明兩個銳角互余，故本選項不符合題意；D、不是銳角，故本選項不符合題意，故選：A．【點睛】此題主要考查了命題與證明、互余定義，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．27．（2023春·河南平頂山·八年級統(tǒng)考期末）反證法是從反面思考問題的證明方法．在運用反證法證明下面這個命題：已知，．求證：，第一步應(yīng)先假設(shè)（

）A． B． C． D．且【答案】A【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【詳解】運用反證法證明這個命題時，第一步假設(shè)，故選：A．【點睛】本題考查反證法，反證法的一般步驟：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．28．（2023秋·八年級課時練習(xí)）已知在中，，求證：．下面寫出了用反證法證明該問題過程中的四個步驟：①所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾；②所以；③假設(shè)；④那么由，得，即．這四個步驟正確的順序是（

）A．①②③④ B．③④②① C．③④①② D．④③②①【答案】C【分析】由反證法的證明步驟進行判斷即可．【詳解】解：反證法的證明步驟：（1）假設(shè)；（2）合情推理；（3）導(dǎo)出矛盾；（4）得出結(jié)論；由反證法的證明步驟可知，用反證法證明這個命題過程中的四個推理步驟應(yīng)該為：（1）假設(shè)；（2）那么，由，得，即；（3）所以，這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾；（4）所以；原命題的正確順序應(yīng)該為：③④①②．故選：C．【點睛】本題主要考查了用反證法證明命題的步驟，反證法的證明步驟：（1）假設(shè)；（2）合情推理；（3）導(dǎo)出矛盾；（4）得出結(jié)論．掌握反證法的基本步驟是解決問題的關(guān)鍵．29．（2023春·浙江寧波·八年級?？计谀┮阎?，，求證：，下面寫出運用反證法證明這個命題的四個步驟：①∴，這與三角形內(nèi)角和為矛盾②因此假設(shè)不成立．∴③假設(shè)在中，④由，得，即．這四個步驟正確的順序應(yīng)是（

）A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②【答案】D【分析】根據(jù)反證法的一般步驟判斷即可．【詳解】解：運用反證法證明這個命題的四個步驟1、假設(shè)在中，2、由，得，即3、，這與三角形內(nèi)角和為矛盾4、因此假設(shè)不成立．綜上所述，這四個步驟正確的順序應(yīng)是：③④①②故選：D【點睛】本題考查的是反證法，反證法的一般步驟是：①假設(shè)命題的結(jié)論不成立；②從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；③由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題的結(jié)論正確．30．（2023春·浙江金華·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用反證法證明：“直角三角形至少有一個銳角不小于45°”時，應(yīng)先假設(shè)（

）A．直角三角形的每個銳角都小于45°B．直角三角形有一個銳角大于45°C．直角三角形的每個銳角都大于45°D．直角三角形有一個銳角小于45°【答案】A【分析】找出原命題的方面即可得出假設(shè)的條件．【詳解】解：有一個銳角不小于45°的反面就是：每個銳角都小于45°，故選A．【點睛】本題主要考查的是反證法，屬于基礎(chǔ)題型．找到原命題的反面是解決這個問題的關(guān)鍵．考點7判斷點與圓的位置關(guān)系31．（2023·廣東佛山·校聯(lián)考一模）如圖，在中，．(1)尺規(guī)作圖：作，使它過點，且圓心在上，（必須保留清晰的作圖痕跡，不寫作法）；(2)在（1）所作的中，求證：點在上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作線段的垂直平分線，與相交于點O，以點O圓心，長為半徑作圓，即可得到解答；（2）連接，由（1）得直線為的垂直平分線，則，得，由由且得到，則，即，即可得證．【詳解】（1）如圖所示，為所求，；（2）如圖，連接，由（1）得直線為的垂直平分線，∴，∴，∵在中，，∴且，∴∴，即，∴三點共圓，點在上．【點睛】此題考查了垂直平分線的作圖和性質(zhì)、圓的基本知識、等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的作圖和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．32．（2022秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點、、．(1)用直尺畫出該圓弧所在圓的圓心的位置，點坐標(biāo)為______；(2)求圓半徑的長度；(3)若點的坐標(biāo)為，請通過計算說明點與圓的位置關(guān)系．【答案】(1)作圖見解析，(2)(3)點在圓外【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點即為點；（2）由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點為，連接，在中，運用勾股定理即可求得圓半徑的長度；（3）根據(jù)，，求得，由圓半徑的長度為，可得點在圓外．【詳解】（1）解：如圖1，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點即為點，則．（2）解：如圖2，由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點為，連接，∵，，，∴，∴，故圓半徑的長度為．（3）解：∵圓心，，∴，∵圓半徑的長度，又∵，∴點在圓外．【點睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理、點與圓的位置關(guān)系，熟練掌握圓的基本概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．33．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B、C是上的三個點、、．(1)寫出圓心M的坐標(biāo)為___________；(2)這個圓的半徑為___________；(3)直接判斷點與的位置關(guān)系．點在__________（填內(nèi)、外、上）．【答案】(1)(2)(3)內(nèi)【分析】（1）利用網(wǎng)格特點，作和的垂直平分線，它們的交點為點，從而得到點的坐標(biāo)；（2）利用兩點間的距離公式計算出即可；（3）先計算出，然后根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法判斷點與的位置關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖，圓心的坐標(biāo)為；（2），，即的半徑為；（3）圓的半徑，線段，所以點在內(nèi)．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了垂徑定理和點與圓的位置關(guān)系．34．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在矩形中，，．(1)若以為圓心，8長為半徑作，則、、與圓的位置關(guān)系是什么？(2)若作，使、、三點至少有一個點在內(nèi)，至少有一點在外，則的半徑的取值范圍是．【答案】(1)點在內(nèi)，點在外，點在上(2)【分析】（1）根據(jù)點到圓的位置關(guān)系，比較與圓的半徑之間的大小關(guān)系，即可得解；（2）根據(jù)題意，和點到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，即可得解．【詳解】（1）解：連接，，，，的半徑為8，點在內(nèi)，點在外，點在上；（2）解：，，，又以點為圓心作，使，，三點中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一點在圓外，的半徑的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查點與圓的位置關(guān)系．熟練掌握點到圓心的距離與圓的半徑之間的關(guān)系，判斷點與圓的位置關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．35．（2012·江蘇連云港·中考真題）如圖，⊙O的圓心在坐標(biāo)原點，半徑為2，直線y＝x＋b(b＞0)與⊙O交于A、B兩點，點O關(guān)于直線y＝x＋b的對稱點O′，(1)求證：四邊形OAO′B是菱形；(2)當(dāng)點O′落在⊙O上時，求b的值．【答案】(1)證明：∵點O、O′關(guān)于直線y＝x＋b的對稱，∴直線y＝x＋b是線段OO′的垂直平分線，∴AO＝AO′，BO＝BO′．又∵OA，OB是⊙O的半徑，∴OA＝OB．∴AO＝AO′＝BO＝BO′．∴四邊形OAO′B是菱形．(2)解：如圖，設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)，AB與OO′相交于點M．則△ONP為等腰直角三角形，∴∠OPN＝45°．∵四邊形OAO′B是菱形，∴OM⊥PN．∴△OMP為等腰直角三角形．當(dāng)點O′落在圓上時，OM＝OO′＝1．在Rt△OMP中，由勾股定理得：OP＝，即b＝．【詳解】一次函數(shù)綜合題，線段中垂線的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．(1)根據(jù)軸對稱得出直線y＝x＋b是線段OO′D的垂直平分線，根據(jù)線段中垂線上的點到比下有余兩端的距離相等得出AO＝AO′，BO＝BO′，從而得AO＝AO′＝BO＝BO′，即可推出答案．(2)設(shè)直線y＝x＋b與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別是N(－b，0)，P(0，b)，得出等腰直角三角形ONP，求出OM⊥NP，求出MP＝OM＝1，根據(jù)勾股定理求出即可．考點8與三角形的外心有關(guān)的計算方法36．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，

(1)在邊上找一點O，以點O為圓心，且過A、D兩點作（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)在（1）的條件下，若，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為2．【分析】（1）作的垂直平分線與的交點為圓心，為半徑作圓即可；（2）設(shè)的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）解：如圖：即為所求；

；（2）解：連接，設(shè)的半徑為x，即，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即：，解得：，∴的半徑為2．【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，勾股定理．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．37．（2019秋·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在由每個邊長為1的小正方形組成的9×9的網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，點B繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點為M，已知點B的坐標(biāo)為(0，﹣2)（坐標(biāo)軸與網(wǎng)格線平行）．（1）直接寫出：點C的坐標(biāo)為，點M的坐標(biāo)為；（2）若平面內(nèi)存在一點P，且P為△ACM的外心，直接寫出點P的坐標(biāo)是；（3）CN平分∠BCM交y軸于點N，則N點坐標(biāo)為．【答案】（1）（﹣3，2），（1，5）；（2）（，0）；（3）(0，)【分析】（1）先建立直角坐標(biāo)系，作出圖形，構(gòu)造全等三角形，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出PA＝PC，再判斷出點P的縱坐標(biāo)為0，利用PA＝PM建立方程求解即可得出結(jié)論；（3）利用角平分線的特點構(gòu)造出等腰三角形求出MF，進而求出直線CF的解析式，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）建立如圖1所示的平面坐標(biāo)系，由網(wǎng)格知，A（﹣3，-2），C（﹣3，2），∴AC⊥x軸，AC＝4，∵B（0,-2），∴AB＝3，過點M作AC的垂線交AC于D，∴∠CDM＝∠BAC＝90°，∴∠DCM+CMD＝90°，由旋轉(zhuǎn)知，BC＝MC，∠BCM＝90°，∴∠ACB+∠DCM＝90°，∴∠ACB＝∠DMC，∴△ABC≌△DCM（AAS），∴DM＝AC＝4，CD＝AB＝3，∴AD＝AC+CD＝7．∴M（1，5），故答案為（﹣3，2），（1，5）；（2）由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n）∵點P是△ACM的外接圓的圓心，∴點P到點A，C，M的距離相等，由（1）知，A（-3,-2），C（﹣3,2），∴n＝0，∴P（m，0），而PA＝，∴m＝，∴P（，0），故答案為（，0）；（3）如圖3，過點M作MF∥AC交CN于F，∴∠CFM＝∠ACN，∵CN是∠ACM的角平分線∴∠ACN＝∠MCN，∴∠MCN＝∠CFN，∴MF＝CM，而CM＝∴MF＝5，∴F（1,0），∵C（﹣3,2），設(shè)直線CF的解析式為，將F,C代入得解得∴直線CF的解析式為令x＝0，則y＝，∴N（）．故答案為（）．【點睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外心及待定系數(shù)法，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及三角形外心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.38．（2021秋·江蘇無錫·九年級?？茧A段練習(xí)）已知，如圖，點A為⊙O上的一點（1）用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作一個⊙O的內(nèi)接正三角形ABC(保留作圖痕跡并標(biāo)出B、C)；（2）若⊙O半徑為10，則三角形ABC的邊長為【答案】（1）圖見詳解；（2）三角形ABC的邊長為【分析】（1）以O(shè)A為半徑，在圓上依次截取得到圓的6等分點，從而得到圓的三等分點，進而問題可求解；（2）連接OB、OC，延長AO交BC于點D，則有AD⊥BC，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及垂徑定理可求解．【詳解】接：（1）等邊三角形ABC如圖所示：（2）連接OB、OC，延長AO交BC于點D，如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∴AD⊥BC，∠BOD=∠COD=60°，∴∠OB