1.3 分式（題型精練）（原卷版）

第3講分式（精講）目錄第一部分：知識點精準記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：分式的定義題型二：分式有意義的條件題型三：分式的值題型四：分式的基本性質(zhì)角度1：判斷分式變形是否正確角度2：利用分式基本性質(zhì)變形成立條件角度3：利用分式基本性質(zhì)判斷分式值的變化角度4：分式分子分母最高項化正角度5：分式分子分母系數(shù)化整題型五：約分與最簡分式題型六：通分與最簡公分母題型七：分式的運算角度1：分式的加減角度2：分式的乘除角度3：分式的混合運算角度4：分式化簡求值角度5：整數(shù)指數(shù)冪運算角度6：負指數(shù)冪與科學記數(shù)法第四部分：中考真題感悟第一部分：知識點精準記憶知識點一：分式的有關概念1．分式：一般地，如果，表示兩個整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．對于分式來說：①當時，分式有意義；②當時，分式?jīng)]有意義；③只有在同時滿足且這兩個條件時，分式的值才是零．2．最簡分式：分子與分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式．3．約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．約分時，如果分式的分子或分母是多項式，要先分解因式，再約去分子和分母所有的公因式.4．通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．通分的關鍵是確定幾個分式的最簡公分母.通分步驟：①定最簡公分母；②化異分母為最簡公分母.5．最簡公分母：一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．確定最簡公分母步驟：①定系數(shù)：取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②定字母：取分式分母中的所有字母；③定指數(shù)：取各個字母的最高指數(shù)知識點二：分式的基本性質(zhì)基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于0的整式，分式的值不變.即（）或（），其中是整式.符號法則：分子、分母與分式的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變．即.知識點三：分式的運算1、分式的加減①同分母：分母不變，分子相加減：②異分母：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減：2、分式的乘除和乘方①乘法：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母：②除法：把除式的分子分母顛倒位置，與被除式相乘：（）③乘方：分式的乘方要把分子，分母分別乘方:（為正整數(shù)）3、分式的混合運算順序：先乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面．第二部分：課前自我評估測試1．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期中）若分式的值為0，則x的值為（）A．0 B．1 C． D．2．（2022·湖南·岳陽市第十九中學八年級階段練習）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·漣源市湄江鎮(zhèn)大江口中學八年級階段練習）計算的結果是（）A． B． C． D．4．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國語學校八年級階段練習）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是__________．5．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期中）當時，求的值第三部分：典型例題剖析題型一：分式的定義典型例題例題1．（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）在式子、、、、、、中，分式的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1例題2．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道桂江第二初級中學八年級階段練習）下列代數(shù)式中，是分式的是（）A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022·河北·北師大石家莊長安實驗學校八年級階段練習）代數(shù)式的家中來了幾位客人：，，，，，其中屬于分式家族成員的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022·四川遂寧·八年級期末）下列各式：，，，，，，中，分式有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5題型二：分式有意義的條件典型例題例題1．（2022·四川·眉山市東坡區(qū)尚義鎮(zhèn)象耳初級中學八年級期中）的取（

）值時，代數(shù)式有意義．A． B． C． D．例題2．（2022·全國·八年級單元測試）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．例題3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第四十七中學九年級階段練習）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是__________．同類題型歸類練1．（2022·甘肅·平?jīng)鍪械谑袑W九年級階段練習）在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______．2．（2022·湖南·李達中學九年級階段練習）函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍是_____．題型三：分式的值典型例題例題1．（2022·湖北·建始縣花坪民族中學九年級期中）若，則的值是（）A． B．2 C． D．1例題2．（2022·山東·威海市第七中學九年級階段練習）若成立，則的取值范圍是______________例題3．（2022·浙江舟山·七年級期末）若表示一個整數(shù)，則整數(shù)可取的個數(shù)有______個．例題4．（2022·江蘇·濱?？h八巨初級中學八年級階段練習）閱讀下列材料，然后解答后面的問題我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點．如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學里，把分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)．類似的，對于只含有一個字母的分式，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式，如．(1)下列分式中，屬于真分式的是（

）A．

B．

C．

D．(2)將假分式，化成整式和真分式的和的形式．(3)當取哪些整數(shù)時，分式的值也是整數(shù)？同類題型歸類練1．（2022·湖北·華中師范大學第一附屬中學光谷分校九年級階段練習）若a是一元二次方程的一個根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．2．（2022·江蘇·無錫市錢橋中學九年級階段練習）已知，則的值是（

）A．－5 B．5 C．－4 D．43．（2022·河北·保定市第一中學分校九年級開學考試）已知a2+b2＝6ab，則的值為（）A． B． C．2 D．±24．（2022·河北·北師大石家莊長安實驗學校八年級階段練習）已知，那么分式的值為__．題型四：分式的基本性質(zhì)角度1：判斷分式變形是否正確典型例題例題1．（2022·上海市羅南中學九年級階段練習）已知，則下列各式中不正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·河北·邢臺市第八中學八年級階段練習）下列運算中，錯誤的是（）A． B． C． D．例題3．（2022·江蘇南京·八年級期末）下列式子從左到右變形一定正確的是（）A． B． C． D．例題4．（2022·福建省泉州實驗中學八年級階段練習）下列代數(shù)式變形正確的是（）A．＝﹣ B． C．＝ D．＝同類題型歸類練1．（2022·江蘇·靖江市濱江學校八年級階段練習）下列式子從左至右變形不正確的是（

）A． B． C． D．2．（2022·河北·石家莊石門實驗學校八年級期末）小馬虎在下面的計算中只做對了一道題，他做對的題目是（

）A． B． C． D．3．（2022·湖南·衡陽師范學院祁東附屬中學八年級期中）下列代數(shù)式變形正確的是（

）A． B．C． D．4．（2022·山東煙臺·八年級期末）已知，則下列說法錯誤的是（

）A． B． C． D．角度2：利用分式基本性質(zhì)變形成立條件典型例題例題1．（2022·湖南邵陽·八年級期末）若分式中的和都擴大3倍，且分式的植不變，則□可以是（

）A．2 B． C． D．例題2．（2022·河北·一模）只把分式中的，同時擴大為原來的3倍后，分式的值也不會變，則此時的值可以是下列中的（

）A．2 B． C． D．例題3．（2022·江西景德鎮(zhèn)·八年級期末）利用分式的基本性質(zhì)填空：．同類題型歸類練1．（2022·四川·仁壽縣黑龍灘鎮(zhèn)光相九年制學校八年級期末）若，的值均擴大為原來的3倍，則下列分式的值保持不變的是（

）A． B． C． D．2．（2022·山東省濟南第十二中學八年級階段練習）若＝成立，則x的取值范圍是___角度3：利用分式基本性質(zhì)判斷分式值的變化典型例題例題1．（2022·湖南·臨湘市第六中學八年級階段練習）如果把分式中的，都擴大10倍，則分式的值（

）A．縮小10倍 B．擴大10倍 C．不變 D．縮小到原來的例題2．（2022·吉林·長春市第八十七中學八年級階段練習）如果把分式中的，都擴大2倍，那么分式的值（

）A．不變 B．縮小2倍 C．擴大2倍 D．無法確定例題3．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）．例題4．（2022·山東濟南·八年級期中）閱讀材料題：已知：，求分式的值．解：設，則，，①；所以②．(1)上述解題過程中，第①步運用了的基本性質(zhì)；第②步中，由求得結果運用了的基本性質(zhì)；(2)參照上述材料解題：已知：，求分式的值．同類題型歸類練1．（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）如果把的與（，均為正）都擴大10倍，那么這個代數(shù)式的值（

）A．不變 B．擴大50倍 C．擴大10倍 D．縮小到原來的2．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學八年級階段練習）如果把分式中的x、y的值都擴大為原來的3倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的3倍C．擴大為原來的6倍 D．擴大為原來的9倍3．（2022·浙江·湖州市埭溪鎮(zhèn)上強中學七年級階段練習）將分式中的a、b都擴大為原來的3倍，則分式的值（

）A．不變 B．擴大為原來的9倍C．擴大為原來的6倍 D．擴大為原來的3倍4．（2022·福建·廈門外國語學校八年級階段練習）如果把分數(shù)的分子、分母分別加上正整數(shù)a、b，結果等于，那么的最小值是（

）．A．26 B．28 C．30 D．325．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)文德學校八年級階段練習）如果把分式中的m和n都擴大3倍，那么分式的值（

）A．不變 B．擴大3倍 C．縮小到原來的 D．擴大9倍角度4：分式分子分母最高項化正典型例題例題1．（2022·湖北·云夢縣實驗外國語學校模擬預測）不改變分式的值，使分子、分母的第一項系數(shù)都是正數(shù)，則＝_____．例題2．（2022·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項的系數(shù)都化為正數(shù)．①；②；③；④．例題3．（2022·陜西渭南·八年級期末）小明在解一道分式方程，過程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)請你說明第一步和第二步變化過程的依據(jù)分別是___________、___________；(2)請把以上解分式方程過程補充完整．同類題型歸類練1．（2022·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”號．（1）；（2）；（3）；（4）．2．（2022·福建·廈門市松柏中學八年級期末）小明在解分式方程時，過程如下：第一步：方程整理第二步：去分母……(1)請你說明第一步和第二步變化過程的依據(jù)分別是、．(2)請把以上解分式方程的過程補充完整．角度5：分式分子分母系數(shù)化整典型例題例題1．（2022·山東濱州·八年級期末）把分式的分子與分母各項系數(shù)化為整數(shù)，得到的正確結果是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·浙江湖州·七年級期末）有下列說法：①在同一平面內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；②把分式的分子和分母中的各項系數(shù)都化成整數(shù)為；③無論k取任何實數(shù)，多項式總能進行因式分解；④若，則t可以取的值有3個，其中正確的說法是（

）A．①④ B．①③④ C．②③ D．①②例題3．（2022·山東·東平縣實驗中學八年級階段練習）不改變分式的值，把分式的分子和分母各項系數(shù)都化成整數(shù)：=______．例題4．（2022·江蘇·八年級專題練習）我們知道：分式和分數(shù)有著很多的相似點，如類比分數(shù)的基本性質(zhì)，我們得到了分式的基本性質(zhì)，等等．小學里，把分子比分母小的數(shù)叫做真分數(shù)．類似的，我們把分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式稱為真分式，反之，稱為假分式．對于任何一個假分式都可以化成整式與真分式的和的形式．如：==1+．（1）請寫出分式的基本性質(zhì)；（2）下列分式中，屬于真分式的是；A．B．C．﹣D．（3）將假分式，化成整式和真分式的形式．同類題型歸類練1．（2022·河北保定·一模）不改變分式的值，將分式中的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)，其結果為（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江浙江·七年級期末）不改變分式的值，把它的分子分母的各項系數(shù)都化為整數(shù)，所得結果正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·八年級專題練習）不改變分式的值，把下列各式的分式與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)．①；②；③；④．4．（2022·江蘇·八年級專題練習）不改變分式的值，把下列分式的分子、分母中各項的系數(shù)化為整數(shù)．（1）

（2）．題型五：約分與最簡分式典型例題例題1．（2022·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）下列運算結果為的是（）A． B． C． D．例題2．（2022·湖南·臨武縣第六中學八年級階段練習）分式，，，中，最簡分式有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個例題3．（2022·湖南·臨武縣第三中學八年級期中）化簡：________；=________．例題4．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)桂城街道映月中學八年級階段練習）化簡：______．例題5．（2022·河南·上蔡縣第六初級中學八年級階段練習）下列四個分式：、、、，其中最簡分式有__________個．同類題型歸類練1．（2022·河北·邢臺市第六中學八年級階段練習）小明計算了四個分式，其中有一個結果忘記了約分，是下面中的（

）①，②，③，④A．① B．② C．③ D．④2．（2022·甘肅·甘州中學八年級期中）下列各式是最簡分式的是（）A． B． C． D．3．（2022·湖南·臨武縣第六中學八年級階段練習）將分式約分后得_________。4．（2022·寧夏·靈武市第二中學八年級期末）下列分式：①；②；③；④中，最簡分式是______．5．（2022·河北·邢臺市第八中學八年級階段練習）化簡：(1)；(2)．題型六：通分與最簡公分母典型例題例題1．（2022·河北·邢臺市第六中學八年級階段練習）若將分式與通分，則分式的分子應變?yōu)椋?/p>

）A． B．C． D．例題2．（2022·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）分式和的最簡公分母是___________例題3．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期中）把，通分，則=________，=__________.例題4．（2022·廣東·豐順縣球山中學九年級開學考試）通分：(1)，，；(2)，，．同類題型歸類練1．（2022·貴州遵義·八年級期末）在計算通分時，分母確定為（

）A． B． C． D．2．（2022·山東·濟寧北湖省級旅游度假區(qū)石橋鎮(zhèn)中學八年級階段練習）下列三個分式，，中的最簡公分母是______．3．（2022·湖南·明德湘南學校八年級階段練習）三個分式：，，的最簡公分母是_____________．4．（2022·江蘇揚州·八年級階段練習）分式、與的最簡公分母是______．5．（2022·江蘇南京·八年級期末）分式和的最簡公分母為___________．題型七：分式的運算角度1：分式的加減典型例題例題1．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）計算：，結果為（）A．1 B． C． D．例題2．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）計算：=___________．例題3．（2022·福建省泉州實驗中學八年級期中）化簡，結果等于________．例題4．（2022·北京昌平·八年級期中）計算：例題5．（2022·浙江嘉興·七年級期末）化簡：．小明的解法如下框：解：原式小明的解答是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請寫出你的解答過程．同類題型歸類練1．（2022·北京市三帆中學模擬預測）如果，且，那么代數(shù)式的值為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）九年級階段練習）化簡的結果是______．3．（2022·浙江杭州·七年級期末）化簡：___．4．（2022·浙江舟山·七年級期末）化簡：言言同學的解答如下：言言同學的解答正確嗎？如果不正確，請寫出正確的解答過程．角度2：分式的乘除典型例題例題1．（2022·四川·東坡區(qū)實驗中學八年級期中）下列各式中，計算結果正確的是（

）A． B．C． D．例題2．（2022·江蘇·灌南縣揚州路實驗學校八年級階段練習）計算：=________；=________；＝_______．例題3．（2022·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）計算：(1)(2)(3)同類題型歸類練1．（2022·吉林·長春市第八十七中學八年級階段練習）計算：(1)；(2)．2．（2022·山東·寧陽縣第十一中學八年級階段練習）計算(1)(2)(3)(4)(5)(6)3．（2022·寧夏·靈武市第二中學八年級期末）計算(1)(2)角度3：分式的混合運算典型例題例題1．（2022·湖南·明德湘南學校八年級階段練習）計算(1)(2)(3)(4)例題2．（2022·上?！て吣昙墕卧獪y試）計算：(1)(2)(3)(4).(5)(6).(7)(8).(9)例題3．（2022·遼寧·大連市第七十六中學八年級階段練習）計算：．例題4．（2022·福建師范大學附屬中學初中部八年級期末）已知，求代數(shù)式的值．例題5．（2022·北京昌平·八年級期中）定義：如果一個分式能化成一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個分式為“和諧分式”．如：，則是“和諧分式”．(1)下列分式中，屬于“和諧分式”的是

（填序號）；①②③④(2)請將“和諧分式”化為一個整式與一個分子為常數(shù)的分式的和的形式，并寫出化簡過程；(3)應用：先化簡，并求取什么整數(shù)時，該式的值為整數(shù)．同類題型歸類練1．（2022·江蘇·濱?？h八巨初級中學八年級階段練習）計算(1)(2)2．（2022·全國·八年級專題練習）計算(1)；(2)；(3)．(4)3．（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實驗學校模擬預測）某同學在解分式的化簡求值題時，發(fā)現(xiàn)所得答案與參考答案不同．下面是他所解的題目和解答過程：先化簡（1），再將x＝5代入求值．解：原式1……第1步第2步第3步第4步第5步第6步當x＝5時，原式第7步(1)以上步驟中，第步出現(xiàn)了錯誤，導致結果與答案不同，錯誤的原因是；(2)請你把正確的解答過程寫出來；(3)請你提出一條解答這類題目的建議．角度4：分式化簡求值典型例題例題1．（2022·新疆·吐魯番市高昌區(qū)第一中學八年級期中）先化簡，再求值：，其中．例題2．（2022·江蘇·靖江市濱江學校九年級階段練習）先化簡，冉求值，其中滿足．例題3．（2022·福建省泉州實驗中學三模）先化簡后求值，其中．例題4．（2022·西藏·林芝市廣東實驗中學八年級期中）先化簡，再求值：，其中，．同類題型歸類練1．（2022·巴中四川師范大學附屬第四實驗中學九年級階段練習）先化簡，再求值：，其中a是方程的解．2．（2022·湖南·臨武縣第三中學八年級期中）先化簡再求值：，再在，0，1，2中選擇一個合適的數(shù)代入求值．3．（2022·四川·仁壽縣鰲峰初級中學九年級期中）先化簡，再求值，其中4．（2022·福建·泉州七中九年級階段練習）化簡并求值：，其中．角度5：整數(shù)指數(shù)冪運算典型例題例題1．（2022·山東臨沂·二模）下列運算正確的是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·江蘇·揚州市江都區(qū)第三中學七年級階段練習）計算：(1)(2)同類題型歸類練1．（2022·河南南陽·八年級期中）計算：(1)．(2)（要求結果不含負整數(shù)指數(shù)冪）．2．（2022·江蘇揚州·七年級階段練習）計算：(1)；(2)角度6：負指數(shù)冪與科學記數(shù)法典型例題例題1．（2022·湖南·新化縣東方文武學校八年級期中）2010年，國外科學家成功制造出世界上最小的晶體管，只有，請用科學記數(shù)法表示它的長度（

）A． B． C． D．例題2．（2022·四