4.2.1等差數(shù)列的概念 課件

第四章數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念（1）我們知道，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。在函數(shù)的研究中，我們?cè)诶斫饬撕瘮?shù)的一般概念，了解了函數(shù)變化規(guī)律的研究?jī)?nèi)容（如單調(diào)性、奇偶性等）后，通過(guò)研究基本初等函數(shù)，不僅加深了對(duì)函數(shù)的理解，而且掌握了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律的數(shù)列，建立它們的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，并運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，從中感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用。下面，我們從一類取值規(guī)律比較簡(jiǎn)單的數(shù)列入手?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】(1)經(jīng)歷等差數(shù)列概念的形成過(guò)程，能夠描述等差數(shù)列的定義，會(huì)用定義判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列；(2)學(xué)會(huì)利用等差數(shù)列的定義推導(dǎo)等差中項(xiàng)；(3)理解等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程，并會(huì)應(yīng)用其解決相關(guān)問(wèn)題；(4)通過(guò)對(duì)比等差數(shù)列與一元一次函數(shù)，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會(huì)數(shù)學(xué)的整體性.任務(wù)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入等差數(shù)列概念觀察下面幾個(gè)實(shí)例：1.北京天壇圜丘壇的地面由石板鋪成，最中間是圓形的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)依次為：9,18,27,36,45,54,63,72,81①2.S，M，L，XL，XXL，XXXL型號(hào)的女裝上衣對(duì)應(yīng)的尺碼分別是：38,40,42,44,46,48②3.某地從距離地面20m起每升高100m處的大氣溫度（單位：℃）依次為：25.0,24.4,23.8,23.2,22.6③4.某人向銀行貸款a萬(wàn)元，如果個(gè)人貸款利率為r，那么按照等額本金方式還款，他從某月開(kāi)始，每月應(yīng)還本金b萬(wàn)元，每月支付給銀行的利息（單位：萬(wàn)元）依次為：ar，ar-br，ar-2br，ar-3br，…④①

9，18，27，36，45，54，63，72，81.②38，40，42，44，46，48.③25，24，23，22，21.④

ar,ar-br,ar-2br,ar-3br……如果用{an}表示數(shù)列①

，這表明，數(shù)列①有這樣的取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)。對(duì)于實(shí)例1，我們發(fā)現(xiàn)：18-9=9，27-18=9....81-72=9.2.鄰項(xiàng)比較，歸納發(fā)現(xiàn)1.抽象概括，建立模型問(wèn)：②-④也有相同的取值規(guī)律嗎？你可以用{an}表示一下嗎？那么有a2-a1=9，a3-a2

=9，...a9-a8=9.等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，就稱這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就稱為等差數(shù)列的公差，用d來(lái)表示。追問(wèn)1：①-④中的首項(xiàng)和公差分別是什么？追問(wèn)2：公差可以是0嗎？公差的取值范圍是什么？追問(wèn)3：能否用符號(hào)語(yǔ)言表示等差數(shù)列的定義？等差數(shù)列的符號(hào)語(yǔ)言：

an－an-1

=

d

(d是常數(shù),n≥2且n∈N*)或an+1－an=d

(d是常數(shù),n∈N*)概念辨析

注意：1.判斷一個(gè)數(shù)列是不是等差數(shù)列，主要是由定義進(jìn)行判斷，即判定an+1-an

是不是同一個(gè)常數(shù).2.公差d是每一項(xiàng)(從第2項(xiàng)起)與它的前一項(xiàng)的差，而且公差可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)，也可以為0.任務(wù)二：等差中項(xiàng)問(wèn)：觀察如下幾組數(shù)，在兩數(shù)中插入什么數(shù)后，三個(gè)數(shù)就會(huì)成為一個(gè)等差數(shù)列？①2，

，4；②-1，

，5；③0，

，0；④a，

，b追問(wèn)1：第2項(xiàng)與第1項(xiàng)，第2項(xiàng)與第3項(xiàng)之間的關(guān)系是什么？追問(wèn)2：對(duì)于④，設(shè)在a，b中插入數(shù)A，如何將A用a，b來(lái)表示？可以設(shè)插入的數(shù)為x，既然這組數(shù)列是等差數(shù)列，一定會(huì)有x-2=4-x，所以2x=4+2，即x=3。其它數(shù)列以此類推。

A叫做a與b的等差中項(xiàng)任務(wù)三：歸納猜想，探究等差數(shù)列通項(xiàng)公式設(shè)一個(gè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義,可得an+1－an=d于是a2=a1＋d，a3=a2＋d=(a1＋d)＋d=a1＋2d，a4=a3＋d=(a1＋2d)＋d=a1＋3d，??????an=a1＋(n－1)d，(n≥2)當(dāng)n=1時(shí)，a1=a1＋(1－1)d=a1，也就是說(shuō)，上式當(dāng)n=1時(shí)也成立.這時(shí)，我們把a(bǔ)n=a1＋(n－1)d稱為等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.an-

a1=(n－1)d，(n≥2)即：an=a1+(n－1)d，(n≥2)方法一：方法二：（不完全歸納法）（累加法）探究：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導(dǎo)它的通項(xiàng)公式嗎？首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a1,an,n,d知三求一am=a1

+(m-1)dan-am

=(n-m)dam=?an-am

=?思考任務(wù)四：深入探究，理解等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

①公差d≠0的等差數(shù)列{an}的圖象是點(diǎn)(n,an)組成的集合，這些點(diǎn)均勻分布在直線f(x)＝dx＋(a1－d)上.(k＋b)k

an＝a1＋(n－1)d=dn＋(a1－d)思考：我們知道數(shù)列是自變量為n的函數(shù)，你認(rèn)為等差數(shù)列與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)？

等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系125a1xf(x)O346a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)②任給一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k,b為常數(shù))，則f(1)＝k＋b,f(2)＝2k＋b,…,f(n)＝nk＋b，構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{nk＋b}，其首項(xiàng)為_(kāi)_______，公差為_(kāi)___.12a1xf(x)O3456a1－da2a3a4a5a6f(x)＝dx＋(a1－d)12a6xf(x)O3456a1－da5a4a3a2a1f(x)＝dx＋(a1－d)結(jié)論：當(dāng)d＞0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞增;當(dāng)d＜0時(shí)，數(shù)列{an}單調(diào)遞減；當(dāng)d＝0時(shí)，等差數(shù)列{an}為常數(shù)列.探究：可以從函數(shù)的角度，研究等差數(shù)列的單調(diào)性嗎？任務(wù)五：理解應(yīng)用，利用等差數(shù)列解決問(wèn)題例1(1)已知等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，求{an}公差和首項(xiàng);

(2)求等差數(shù)列8，5，2，···的第20項(xiàng).解:(1)當(dāng)n≥2時(shí)，由{an}的通項(xiàng)公式為an＝5－2n，可得

an－1＝5－2(n－1)＝7－2n.

于是d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2，a1＝5－2＝3.∴{an}公差為－2，首項(xiàng)為3.(2)由已知條件，得d＝5－8＝－3，a1＝8.∴an＝a1＋(n－1)d＝8－3(n－1)＝－3n＋11.

∴a20＝－3×20＋11＝－49.知三求一例2－401是不是等差數(shù)列－5,－9,－13,…的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？分析：先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，它是一個(gè)關(guān)于n的方程，再看－401是否能使這個(gè)方程有正整數(shù)解.解：由a1=－5，d=－9－(－5)=－4，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=－5－4(n－1)=－4n－1.令－4n－1=－401，解得n=100.所以，－401是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，是第100項(xiàng)。