安慶師范大學(xué)

安慶師范大學(xué)第三章多維隨機(jī)向量第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布第三節(jié)隨機(jī)變量的獨立性第二節(jié)邊際分布第四節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第五節(jié)條件分布第六節(jié)維隨機(jī)向量及其分布第1頁，共36頁。安慶師范大學(xué)第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布1.二維隨機(jī)向量的定義及其分布函數(shù)

定義3.1.1設(shè)，是定義在同一個樣本空間上的兩個隨機(jī)變量，則稱向量為的二維隨機(jī)變量，簡記為

。

定義3.1.2設(shè)是二維隨機(jī)變量，對任意實數(shù)和，稱二元函數(shù)(3.1.1)為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).

第2頁，共36頁。安慶師范大學(xué)分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減性：是變量和的單調(diào)不減函數(shù)（2）有界性：，且，有，，，。（3）右連續(xù)性：是變量和的右連續(xù)函數(shù)，即。（4）非負(fù)性：對于任意，下式成立：。第3頁，共36頁。安慶師范大學(xué)定義3.1.3若二維隨機(jī)變量的所有可能取值是有限對或可列無窮多對，則稱為二維離散型隨機(jī)變量.2、二維離散型隨機(jī)變量定義3.1.4設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的一切可能取值為，且取各對可能值的概率為

（3.1.3）稱式（3.1.3）為的（聯(lián)合）概率分布或（聯(lián)合）分布列.

第4頁，共36頁。安慶師范大學(xué)表格形式為：性質(zhì)：（1）非負(fù)性：（2）規(guī)范性：聯(lián)合分布函數(shù)：第5頁，共36頁。安慶師范大學(xué)例3.1.1袋子中有5件產(chǎn)品（3正2次），任取一件產(chǎn)品，再取一件產(chǎn)品，設(shè)（1）試求有放回抽取方式下的聯(lián)合分布列；（2）試求無放回抽取方式下的聯(lián)合分布列.解：（1）有放回抽?。?/p>

第6頁，共36頁。安慶師范大學(xué)（2）無放回抽?。豪?.1.2設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機(jī)變量在中等可能地取整數(shù)值，試求的分布律。解：由題意易知的取值為：第7頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

即第8頁，共36頁。安慶師范大學(xué)3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量

定義3.1.4設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，若存在一個非負(fù)可積函數(shù)，使得對任意實數(shù)，使得

則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為的聯(lián)合分布密度或概率密度.

第9頁，共36頁。安慶師范大學(xué)的性質(zhì)：(1)非負(fù)性；(2)正則性；(3)

設(shè)為xOy平面上的任一區(qū)域，則點落在內(nèi)的概率為

.(3.1.6)(4)

若在點處連續(xù)，則有

第10頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

例3.1.3設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度為試求(1)常數(shù),（2）,（3）解（1）由聯(lián)合密度函數(shù)的正則性知從而.(2)

(3)

第11頁，共36頁。安慶師范大學(xué)4.常見的二維分布

1.二維均勻分布設(shè)是平面上的一個有界區(qū)域，其面積為，若隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為：

就稱服從區(qū)域上的均勻分布，簡記為

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2.二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合概率密度函數(shù)其中均為常數(shù)，且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記作.

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3.二維指數(shù)分布設(shè)二維隨機(jī)變量具有聯(lián)合概率密度函數(shù)其中，則稱服從參數(shù)為的二維指數(shù)分布。

例3.1.4設(shè)（X，Y）在圓域x2+y2≤4上服從均勻分布，求（1）（X，Y）的概率密度；（2）P{0＜X＜1，0＜Y＜1}.第14頁，共36頁。安慶師范大學(xué)第二節(jié)邊際分布1.邊際分布函數(shù)定義3.2.1設(shè)二維隨機(jī)變量，各自的分布函數(shù)分別記為和,則稱為關(guān)于的邊際分布函數(shù)（Marginaldistributionfunction），稱為關(guān)于的邊際分布函數(shù).

依定義有

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例3.2.1設(shè)的分布函數(shù)為試求（1）系數(shù)（2）

解：

（1）由聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)知

所以

第16頁，共36頁。安慶師范大學(xué)（2）兩個邊際分布函數(shù)為第17頁，共36頁。安慶師范大學(xué)2.二維離散型隨機(jī)變量的邊際分布列

定義3.2.2設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量，分別稱的分布列(3.2.3)(3.2.4)為關(guān)于的邊際分布列.

事實上，邊際分布列可通過下式表出

第18頁，共36頁。安慶師范大學(xué)例3.2.2設(shè)一個口袋中有三個球，它們依次標(biāo)有數(shù)字1,2,2.從這袋中任取一球后，不放回袋中，再從袋中任取一球.設(shè)每次取球時，袋中各個球被取到的可能性相同.以分別記第一次、第二次取得的球上標(biāo)有的數(shù)字寫出下列兩種試驗的隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布與邊際分布.（1）有放回摸球；（2）無放回摸球.解（1）采取有放回摸球時，的聯(lián)合分布與邊際分布由下表給出.

(2）采取無放回摸球時，的聯(lián)合分布與邊際分布由下表給出.

第19頁，共36頁。安慶師范大學(xué)3.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊際分布列

定義3.2.3設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合密度函數(shù)為，由的邊際分布的定義知故稱(3.2.5)為關(guān)于的邊際密度函數(shù)。同樣稱(3.2.6)為關(guān)于的邊際密度函數(shù)。

第20頁，共36頁。安慶師范大學(xué)例3.2.3設(shè)服從單位圓上的均勻分布，試求的邊際密度函數(shù).解由題知的聯(lián)合密度函數(shù)為

所以，當(dāng)或者時，.當(dāng)，且時，有.綜合可得的邊際密度函數(shù)為同理可得的邊際密度函數(shù)為第21頁，共36頁。安慶師范大學(xué)第三節(jié)隨機(jī)變量的獨立性定義3.3.1設(shè)和為兩個隨機(jī)變量，若對于任意的和，事件是相互獨立的，即則稱和相互獨立(Mutuallyindependent).對于一般隨機(jī)變量，和相互獨立對于離散型隨機(jī)變量，和相互獨立對于連續(xù)型隨機(jī)變量，和相互獨立

第22頁，共36頁。安慶師范大學(xué)例3.3.1設(shè)的聯(lián)合分布列為試判斷的獨立性.解顯然的邊際分布列為

因為

所以不獨立.

第23頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

例3.3.2已知的聯(lián)合密度為問是否獨立？解的邊際密度為

由此可見，與相互獨立

第24頁，共36頁。安慶師范大學(xué)例3.3.3設(shè)，則獨立的充要條件為證明充分性：當(dāng)時，的聯(lián)合密度函數(shù)為.

又由前一節(jié)例3.2.4知

所以，，獨立.必要性：設(shè)獨立，則對任意的都有.特別的，取得，即

于是.

第25頁，共36頁。安慶師范大學(xué)第四節(jié)兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1.二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布列

例3.4.1設(shè)的分布列為求和的分布律.解：第26頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

例3.4.2設(shè)相互獨立，且依次服從泊松分布，求證服從.

證明的可能取值為0，1，2，…，的分布列為

所以服從第27頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

例3.4.3設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，且都服從參數(shù)為0.2的0-1分布，即求的分布.解：的分布列為同理可得的分布列為

第28頁，共36頁。安慶師范大學(xué)2.二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

一般方法：（1）求分布函數(shù)

（2）求密度函數(shù)

第29頁，共36頁。安慶師范大學(xué)（1）和的分布

同理特別地，當(dāng)與相互獨立時，有獨立和的卷積公式第30頁，共36頁。安慶師范大學(xué)

例3.4.5設(shè)

相互獨立，密度函數(shù)分別為

求的概率分布密度.解由卷積公式知即更一般地，有結(jié)論：

設(shè)

相互獨立且，則

第31頁，共36頁。安慶師范大學(xué)（2）及的分布

同理

第32頁，共36頁。安慶師范大學(xué)第五節(jié)條件分布1.二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律定義3.5.1

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列為