平面幾何中的向量方法

2.5.1平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何的許多性質(zhì)，如平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)，因此，利用向量方法可以解決平面幾何中的一些問(wèn)題。以下通過(guò)幾個(gè)具體實(shí)例，體會(huì)向量方法在平面幾何中的運(yùn)用。（二）學(xué)生閱讀例1體會(huì)用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”

結(jié)論：用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的

“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。簡(jiǎn)述：形到向量---------向量的運(yùn)算---------向量和數(shù)到形（三）例題講解，發(fā)展思維例2：如圖2.5-1，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn)，BE、BF分別與AC交于R、T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？本例是課本例題，首先引導(dǎo)學(xué)生猜想：AR=RT=TC；思路解析：由于R、T是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，要判斷AR、RT、TC之間的關(guān)系，只需分別判斷AR、RT、TC與AC的關(guān)系即可。（注意若把連接B、D兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)R、T分別是三角形ABD和三角形BDC的重心）解：第一步：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題：第二步：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系：由于A、R、C三點(diǎn)共線，，又因?yàn)镋、R、B三點(diǎn)共線，又，因?yàn)椋约?/p>

，由于向量不共線，要為，必須,且,

解得,

所以,

同理,

于是,第三步：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系：設(shè)則設(shè)所以設(shè)，則綠色通道：這類問(wèn)題主要抓住三點(diǎn)共線，三角形法則，及向量的線性運(yùn)算。此題還解決了三角形重心的性質(zhì)問(wèn)題。即 例3：求證：直徑上的圓周角為直角。（教師引導(dǎo)學(xué)生先做）已知：如圖2.5-2，AC為⊙O的一條直徑，∠ABC是圓周角。求證：∠ABC=90°思路解析：先選擇方法—向量法；在用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素（關(guān)鍵先選擇基底）；要證明垂直關(guān)系，通過(guò)證兩向量?jī)?nèi)積為零。證明：設(shè)，則因?yàn)橛纱说谩螦BC=90°例4：如圖2.5-3，四邊形ABCD是正方形,BE//AC，AC=CE，EC的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AF=AE。從而證明AF=AE解：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1則A(-1，1)，B(0，1)。設(shè)E(x，y)，。∵∵思路解析建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算求出、的坐標(biāo)，進(jìn)一步得出則

又∵∴由

，由共線，得

設(shè)解之，得?！唷啵??！唷郃F=AE?！咴O(shè)第二步：通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系。由于A、O、C三點(diǎn)共線，所以，設(shè)

，又因?yàn)锽、O、D三點(diǎn)共線所以設(shè)

又（四）鞏固深化，促進(jìn)思維1、練習(xí)：證明平行四邊形的對(duì)角線互相平分。目的：通過(guò)練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)鞏固“三步曲”，學(xué)會(huì)建模。第一步：建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。作平行四邊形ABCD，O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，由于向量不共線，要使上式為，必須且，法一：選取恰當(dāng)?shù)幕蛄?；法二：?yīng)用建系坐標(biāo)法（更容易解決）.解（略）所以即所以∴第三步：把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系?！郞既是AC的中點(diǎn)，又是BD的中點(diǎn)，即AC和BD互相平分。2、探究思考：已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)為4和6，試用向量方法求兩直角邊中線所成鈍角的余弦值.（目的：進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題的基本方法）（五）歸納小結(jié)：用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何元素。注意：用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”中，把平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化的方法大致有兩種思路：第一，選取恰當(dāng)基向量；第二，建系坐標(biāo)化.（六）課后作業(yè)：課本P125習(xí)題2.5A組1,2備選練習(xí)：試用多種方法解決下列問(wèn)題：已知正方形ABCD，如圖，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，連接DP,EF，求證DP⊥EF證明：（方法一）設(shè)∵A、P、C三點(diǎn)共線，∴又，∴

又注意到∴（方法二）如圖：以AB、AD分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。設(shè)B（1，0）