新教材高中數(shù)第8章立體幾何初步84空間點直線平面之間的位置關(guān)系案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE1-8.4.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．了解空間中兩條直線的三種位置關(guān)系，理解兩異面直線的定義，會用平面襯托來畫異面直線．(重點、難點)2．了解直線與平面的三種位置關(guān)系，并會用圖形語言和符號語言表示．(重點、易錯點)3．了解不重合的兩個平面之間的兩種位置關(guān)系，并會用圖形語言和符號語言表示．(難點)1．通過空間中兩條直線的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)．2．借助直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的核心素養(yǎng)．觀察你所在的教室．問題：(1)教室內(nèi)同一列的燈管所在的直線是什么位置關(guān)系？(2)教室內(nèi)某燈管所在的直線和地面是什么位置關(guān)系？(3)教室內(nèi)某燈管所在的直線和黑板左右兩側(cè)所在的直線是什么位置關(guān)系？(4)教室內(nèi)黑板面和教室的后墻面是什么位置關(guān)系？知識點1空間中直線與直線的位置關(guān)系1．異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托，如圖．①②2．空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點平行同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點1．分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？[提示]不一定．可能平行、相交或異面．1．不平行的兩條直線的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．相交或異面D[由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面，則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面．]2．如圖，觀察正方體ABCD-A1B1C1D1，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C②直線A1B與直線B1C③直線D1D與直線D1C④直線AB與直線B1C①平行②異面③相交④異面[直線A1B與直線D1C在平面A1BCD1內(nèi)，且沒有交點，則兩直線平行，所以①應(yīng)該填“平行直線D1D與直線D1C相交于點D1，所以③應(yīng)該填“相交點A1，B，B1在平面A1BB1內(nèi)，而點C不在平面A1BB1內(nèi)，則直線A1B與直線B1C同理，直線AB與直線B1C異面，所以②④應(yīng)該填“異面”．知識點2直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示2．“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎？[提示]不是．前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．3．直線a在平面γ外，則()A．a(chǎn)∥γ B．a(chǎn)與γ至少有一個公共點C．a(chǎn)∩γ＝A D．a(chǎn)與γ至多有一個公共點D[直線a在平面γ外，則直線a與平面γ平行或相交，因此直線a與γ至多有一個公共點．]4．在如圖所示的正方體ABCD-A′B′C′D′中，(1)與AB所在直線平行的平面有________個；(2)與A′B所在直線平行的平面有________個；(3)與A′D′所在直線相交的平面有________個．(1)2(2)1(3)2[(1)與AB所在直線平行的平面有平面A′B′C′D′和平面DCC′D′；(2)與A′B所在直線平行的平面只有平面DCC′D′；(3)與A′D′所在直線相交的平面有平面DCC′D′和平面A′B′BA．]知識點3兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示5．下列四個選項中的圖形表示兩個相交平面，其中畫法正確的是()ABCD[答案]D6．若M∈平面α，M∈平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．不確定B[∵M∈平面α，M∈平面β，∴α與β相交于過點M的一條直線．]7．平面α∥平面β，直線a?α，則a與β的位置關(guān)系是________．[答案]平行類型1利用符號語言表示位置關(guān)系【例1】(對接教材P130例1)根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、直線、平面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α．[解](1)點A在平面α內(nèi)，點B不在平面α內(nèi)．(2)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點A，且點A不在直線l上．(3)直線l經(jīng)過平面α外一點P和平面α內(nèi)一點Q．圖形分別如圖①②③所示．①②③解決此類問題要注意符號語言的意義，如點與直線、點與平面之間的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面之間的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.用圖形語言表示點、直線、平面之間的位置關(guān)系時，要注意實線和虛線的區(qū)別.eq\o([跟進訓(xùn)練])1．如圖所示，用符號語言可表述為()A．α∩β＝m，n?α，m∩n＝AB．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n?α，A?m，A?nD．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈nA[平面α與平面β相交于m，所以α∩β＝m；直線n在平面α內(nèi)，所以n?α；直線m與直線n相交于A，所以m∩n＝A．]2．用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關(guān)系．圖①圖②[解]圖①中，a?α，b∩α＝A．圖②中，α∩β＝c，a?α，a∥c，b?β，b∩c＝P．類型2空間中兩條直線的位置關(guān)系【例2】如圖所示，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCD-A1B1C1D1中棱AA1，AB，BC，C1D1的中點，A．GH＝2EF，且直線EF，GH是相交直線B．GH＝2EF，且直線EF，GH是異面直線C．GH≠2EF，且直線EF，GH是相交直線D．GH≠2EF，且直線EF，GH是異面直線C[設(shè)正方體的棱長為2，則EF＝eq\f(1,2)A1B＝eq\r(2)，GH＝eq\r(GC2＋CH2)＝eq\r(6)，所以GH≠2EF．設(shè)M，N分別為CC1和A1D1的中點，則六邊形EFGMHN是過E，F(xiàn)，G，H四點的平面截正方體的截面(圖略)，所以EF與GH是共面直線．因為EF與GH不平行，所以EF與GH是相交直線．故選C．]如何判斷兩條直線是平行、相交還是異面？[提示]1．判定兩條直線平行或相交的方法判定兩條直線平行或相交可用平面幾何的方法去判斷．2．判定兩條直線是異面直線的方法(1)定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)．(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線．用符號語言可表示為A?α，B∈α，l?α，B?l?AB與l是異面直線(如圖)．eq\o([跟進訓(xùn)練])3．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為對角線AC，BD的中點，則BE與CF()A．平行 B．異面C．相交 D．以上均有可能B[假設(shè)BE與CF是共面直線，設(shè)此平面為α，則E，F(xiàn)，B，C∈α，所以BF，CE?α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，與ABCD為空間四邊形矛盾，所以BE與CF是異面直線．]4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與棱AA1A．8條B．6條C．4條D．2條C[正方體共有12條棱，其中與AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3條，與AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4條，因此與棱AA1異面的棱有11－3－4＝4(條)，故選C．]類型3空間中直線與平面的位置關(guān)系【例3】(1)若直線上有一點在平面外，則下列結(jié)論正確的是()A．直線上所有的點都在平面外B．直線上有無數(shù)多個點都在平面外C．直線上有無數(shù)多個點都在平面內(nèi)D．直線上至少有一個點在平面內(nèi)(2)下列說法中，正確的個數(shù)是()①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交，那么另一條直線也和這個平面相交；②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線，有一個平面與另一條直線平行；③兩條相交直線，其中一條與一個平面平行，則另一條一定與這個平面平行．A．0B．1C．2D．3(1)B(2)C[(1)直線上有一點在平面外，則直線不在平面內(nèi)，故直線上有無數(shù)多個點在平面外．(2)易知①正確，②正確．③中兩條相交直線中一條與平面平行，另一條可能平行于平面，也可能與平面相交，故③錯誤．選C．]直線與平面位置關(guān)系的判斷(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問題的突破口，這類判斷問題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長方體等)也是解決這類問題的有效方法．(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點在平面α內(nèi)；要證明直線與平面相交，只需說明直線與平面只有一個公共點；要證明直線與平面平行，則必須說明直線與平面沒有公共點．eq\o([跟進訓(xùn)練])5．已知兩平面α，β平行，且a?α，下列三個命題：①a與β內(nèi)的所有直線平行；②a與β內(nèi)無數(shù)條直線平行；③a與β無公共點．其中正確命題的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．0B[①中a不能與β內(nèi)的所有直線平行而是與無數(shù)條直線平行，有一些是異面直線；②正確；③根據(jù)定義a與β無公共點，正確．]類型4平面與平面位置關(guān)系的判定【例4】(1)如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能確定(2)完成下列作圖：①在圖中畫出一個平面與兩個平行平面相交．②在圖中分別畫出三個兩兩相交的平面．1．若一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面之間有什么位置關(guān)系？[提示]因為一個平面內(nèi)任意一條直線都與另一個平面平行，所以該平面與另一平面沒有公共點，根據(jù)兩平面平行的定義知，這兩個平面平行．2．平面α內(nèi)有無數(shù)條直線與平面β平行，那么α∥β是否正確？[提示]不正確．如圖，設(shè)α∩β＝l，則在平面α內(nèi)與l平行的直線可以有無數(shù)條直線a1，a2，…，an，它們是一組平行線，這時a1，a2，…，an與平面β都平行，但此時α不平行于β，而是α∩β＝l．(1)C[逆向考慮畫兩平行面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線．同樣畫兩相交面，看是否能在此兩面內(nèi)畫兩條平行線，再作出選擇(如圖所示)．(2)[解]①如圖所示，②如圖所示，1．平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法(1)平面與平面相交的判斷，主要是以基本事實3為依據(jù)找出一個交點．(2)平面與平面平行的判斷，主要是說明兩個平面沒有公共點．2．常見的平面和平面平行的模型(1)棱柱、棱臺、圓柱、圓臺的上下底面平行．(2)長方體的六個面中，三組相對面平行．eq\o([跟進訓(xùn)練])6．三個平面最多能把空間分為________部分，最少能把空間分成________部分．84[三個平面可將空間分成4,6,7,8部分，所以三個平面最少可將空間分成4部分，最多分成8部分．]1．直線a與直線b相交，直線c與直線b相交，則直線a與直線c的位置關(guān)系是()A．相交 B．平行C．異面 D．以上都有可能D[如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB與AA1相交，A1B1與AA1相交，AB∥A1B1；又AD與AA1相交，AB與AD相交；又A1D1與AA1相交，AB與A1D12．已知A，B，C，D是空間內(nèi)四點，命題甲：A，B，C，D四點不共面，命題乙：直線AC與BD不相交，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A[若A，B，C，D四點不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點共面，所以甲是乙的充分不必要條件．]3．若a是平面α外的一條直線，則直線a與平面α內(nèi)的直線的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面D[若a∥α，則a與α內(nèi)的直線平行或異面；若a與α相交，則a與α內(nèi)的直線相交或異面．]4．如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有________．(填序號)②④[如題干圖①中，GH∥MN．圖②中，G，H，N三點共面，但M?平面GHN，因此直線GH與MN