充分條件與必要條件

§1.1.3充分條件與必要條件X例：用“充分”或“必要”填空1.“a和b都是偶數(shù)”是“a+b也是偶數(shù)”的

條件；2.“四邊相等”是“四邊形是正方形”的

條件；3.“x≠3”是“|x|≠3”的

條件；4.“x－1=0”是“x2－1=0”的

條件；5.“兩個(gè)角是對(duì)頂角”是“這兩個(gè)角相等”的

條件；充分必要必要充分充分6.“至少有一組對(duì)應(yīng)邊相等”是“兩個(gè)三角形全等”的

條件；7.“a=2且b=3”是“a+b=5”的

條件；必要充分例：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題

中的p是q的充分條件？

（1）若x=1，則x2–4x+3=0；

（2）若f(x)=x，則f(x)為增函數(shù)；

（3）若x為無(wú)理數(shù)，則x2為無(wú)理數(shù)

例：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若x=y，則x2=y2。(2)若兩個(gè)三角形全等,則這兩個(gè)三角形的面積相等.(3)若a>b，則ac>bc。例：請(qǐng)用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空：(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”的＿＿＿＿＿＿條件.(2)“同位角相等”是“兩直線平行”的_________條件.(3)“x=3”是“x2=9”的＿＿＿＿＿＿條件.(4)“四邊形的對(duì)角線相等”是“四邊形為平行四邊形”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿條件.充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要（6）“a＜b”是“

＜1”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

ab(5)“x＞3”是“x＞0”的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿充分不必要條件既不充分也不必要條件(7)“

m<－2”是“方程x2－x－m＝0無(wú)實(shí)根的＿＿＿＿＿＿＿＿充分不必要條件充要條件充分不必要條件10.已知p是q的必要而不充分條件，那么┐p是┐q的_______________.充分不必要條件11.已知p是q的充分而不必要條件，那么┐p是┐q的_______________.必要不充分條件若A是B的充要條件，B是C和D的必要不充分條件，E是D的充分不必要條件，E是A的充要條件，則E是B的＿＿＿＿＿＿＿條件，

C是A的＿＿＿＿＿＿＿＿條件，

A是D的＿＿＿＿＿＿＿＿條件，

D是C的＿＿＿＿＿＿＿＿＿條件.充要條件充分不必要充要必要不充分如果不等式|x-m|≤1成立的充分不必要條件是1<x≤2，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。下面四個(gè)條件中，使a>b成立的充分而不必要的條件是()A．a(chǎn)>b＋1B．a(chǎn)>b－1C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b31．定義法：判斷B是A的什么條件，實(shí)際上就是判斷B?A或A?B是否成立，只要把題目中所給條件按邏輯關(guān)系畫出箭頭示意圖，再利用定義即可判斷．2．轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給命題的充要條件不易判定時(shí)，可對(duì)命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換，例如改用其逆否命題進(jìn)行判斷．3．集合法：對(duì)命題的條件和結(jié)論間的關(guān)系進(jìn)行判斷有困難時(shí)，有時(shí)可以從集合的角度來(lái)考慮，記p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則：例5：已知關(guān)于x的方程

(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R).求：⑴方程有兩個(gè)正根的充要條件；⑵方程至少有一個(gè)正根的充要條件;(3)方程的兩個(gè)根都大于1充要條件。(1)設(shè)此時(shí)方程兩正根為x1，x2,方程有兩個(gè)正實(shí)根的充要條件是：所以，方程有兩個(gè)正根的充要條件是:1<a≤2或a≥10

.(2)由(1)知1<a≤2或a≥10方程有兩個(gè)正根方程有一正、一負(fù)根的充要條件是：故方程至少有一正根的充要條件是a≤2或a≥10

當(dāng)a=1時(shí),方程化為3x

4=0,有一個(gè)正根x=4/3五、充要條件的證明(導(dǎo)學(xué))設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.在此前提下考慮至少有一個(gè)非負(fù)根的反面即兩個(gè)負(fù)根的充要條件是:

例3已知集合

M={(x,y)

|

y2=2x},

N={(x,y)

|

(x-a)2+y2=9},求證:M∩N

的充要條件是

-3≤a≤5.即關(guān)于

x

的方程

x2+2(1-a)x+a2-9=0

至少有一個(gè)非負(fù)根.證:由已知M∩N

的充要條件是

方程組由

△≥0

得

a≤5.解得

a<-3.從而使M∩N

的充要條件是

-3≤a≤5.至少有一組實(shí)數(shù)解,且

x≥0.y2=2x(x-a)2+y2=9△≥0,x1+x2<0,x1x2>0.作業(yè)1、求關(guān)于x的方程至少有一個(gè)負(fù)根的充要條件。①關(guān)于x的方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)根的充分非必要條件為()Aa<0Ba>0Ca<-1Da>1解、選C,要注意a<0是一個(gè)充要條件1、已知條件p:|4x-3|≤1；q:x2-（2a+1)x+a(a+1)≤0若

p是

q的必要非充分條件,求a的取值范圍____解、p:1/2≤x≤1;

p:x>1或x<1/2q:a≤x≤a+1

q:x<a或x>a+1∴0≤a≤1/2為所求練習(xí)：設(shè)x、y∈R，求證|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0充要條件的證明的兩個(gè)方面：1、必要性：|x+y|=|x|+|y|→xy≥02、充分性:xy≥0→|x+y|=|x|+|y|3、點(diǎn)明結(jié)論2、關(guān)于x的不等式x2+ax+1≤0成立的充分非必要條件為x2-3x+2≤0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。[-5/2,2)2.已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0.若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．解析：

p：由x2－8x－20>0得(x－10)(x＋2)>0即x<－2或x>10設(shè)p＝{x|x<－2或x>10}q：由x2－2x＋1－a2>0得[x－(1－a)][x－(1＋a)]>0當(dāng)a>0時(shí)，q：{x|x<1－a或x>1＋a}當(dāng)a＝0，q：x2－2x＋1＝(x－1)2>0∴q：{x|x≠1}∴p?q成立綜上，a的取值范圍－3≤a≤3.例4已知拋物線C：y＝－x2＋mx－1和點(diǎn)A(3,0)，B(0,3)，求拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件．反過(guò)來(lái)，若方程x2－(1＋m)x＋4＝0在[0,3]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，分別代入x＋y＝3可得到y(tǒng)1和y2，故拋物線C與線段AB有兩不同的交點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)．于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程x2－(1＋m)x＋4＝0在[0,3]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解的充要條件．令f(x)＝x2－(1＋m)x＋4(如圖所示)

例4求證：關(guān)于x

的方程x2+2ax+b=0有實(shí)數(shù)根,且兩根均小于

2的充分但不必要條件是a≥2且|b|≤4.∴方程有實(shí)數(shù)根x1和x2.

證明:由a≥2且|b|≤4得:a2≥4≥b.∴△=4(a2-b)≥0.又由a≥2得:-2a≤-4.而b≥-4,∴(x1-2)+(x2-2)=(x1+x2)-4=

-2a-4≤-4-4=

-8<0,(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=b+4a+4

≥-4+8+4=8>0,即(x1-2)+(x2-2)<0且(x1-2)(x2-2)>0.∴(x1-2)<0且(x2-2)<0.∴x1<2且x2<2.∴由a≥2且|b|≤4可推得關(guān)于x

的方程x2+2ax+b=0有實(shí)數(shù)根,且兩根均小于

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