平面向量應(yīng)用舉例

2.5平面向量應(yīng)用舉例2.5.1平面幾何向量中的向量方法2.5.2向量在物理中的應(yīng)用舉例1.平面幾何中的向量方法

向量概念和運算，都有明確的物理背景和幾何背景。當(dāng)向量與平面坐標(biāo)系結(jié)合以后，向量的運算就可以完全轉(zhuǎn)化為“代數(shù)”的計算，這就為我們解決物理問題和幾何研究帶來極大的方便。平面幾何圖像的許多性質(zhì)如距離、平行、三點共線、垂直、夾角等幾何問題充分利用向量這個工具來解決引言例1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，ABCD你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系嗎？猜想：矩形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系？ABCD結(jié)論：矩形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。探索：

平行四邊形中，以上關(guān)系是否依然成立？例1、證明平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：解：設(shè)，則

結(jié)論：平行四邊形兩條對角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍。（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；用向量方法解決平面幾何問題的一般步驟：形到向量用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”：（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角、平行、垂直等問題；（3）把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。向量的運算向量和數(shù)到形例2.如圖，ABCD中，點E、F分別是AD、

DC邊的中點，BE、

BF分別與AC交于R、

T兩點，你能發(fā)現(xiàn)AR、

RT、TC之間的關(guān)系嗎？猜想：AR=RT=TCABCDEFRTABCDEFRT解：設(shè)則因為所以又因為共線，所以設(shè)由于與共線，所以設(shè)不共線，故AT=RT=TCABCDEFRT練習(xí):用向量方法證明：直徑所對的圓周角為直角。已知:如圖，AC為⊙O的一條直徑，∠ABC是圓周角求證：∠ABC=90°利用向量的數(shù)量積可解決長度、角度、垂直等問題情景1：兩人一起提一個重物時,怎樣提它最省力?情景2:一個人靜止地垂掛在單杠上時,手臂的拉力與手臂握杠的的姿勢有什么關(guān)系?兩力的夾角越小越省力兩臂的夾角越小,手臂就越省力2、向量在物理中的應(yīng)用舉例例3.在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗:兩個人共提一個旅行包,夾角越大越費力;在單杠上做引體向上運動,兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？分析：上述的問題跟如圖所示的是同個問題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：用向量F1,F2表示兩個提力,它們的合向量為F，物體的重力用向量G來表示，F(xiàn)1，F(xiàn)2的夾角為θ，如右圖所示，只要分清F，G和θ三者的關(guān)系，就得到了問題得數(shù)學(xué)解釋！解：不妨設(shè),由向量的

平行四邊形法則,力的平衡以及直角三角形的知識,通過上面的式子，知當(dāng)θ由0o到180o逐漸變大時，由0o到90o逐漸變大，的值由大逐漸變小.可以知道：即之間的夾角越大越費力,夾角越小越省力！由小逐漸變大.（1）θ為何值時，最小，最小值是多少？（2）能等于嗎？為什么？

答：在上式中，當(dāng)θ=0o時，最大，最小且等于答：在上式中，當(dāng)即θ=120o時，探究一（3）生活中常遇到兩根等長的繩子掛一個物體.繩子的最大拉力為,物體重量為,分析繩子受到的拉力大小F1與兩繩子間的夾角θ的關(guān)系？探究二探究三(4)如果繩子的最大承受力為

θ在什么范圍內(nèi),繩子才不會斷？從而可知，當(dāng)時繩子不會斷。向量在物理中的應(yīng)用一般步驟：（1）問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.（2）模型的建立,即建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型，解決問題.（3）問題的答案,即回到問題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的物理現(xiàn)象.向量在物理中的應(yīng)用（三步曲）：如圖所示，用兩條成120o的等長的繩子懸掛一個燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是________.120o10N練一練例4.如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對岸,已知船的速度,水流速度問行駛航程最短時,所用時間是多少？(精確到0.1min)AB答：行駛的航程最短時，所用的時間是3.1min。解：如圖，由已知條件得課堂小結(jié)（1）問題的轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.（2）模型的建立,即建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型，解決問