六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)奧數(shù)培優(yōu) 第05講 最值問(wèn)題二（教師版）

第5講最值問(wèn)題二第5講最值問(wèn)題二六年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)最值問(wèn)題二（六上）1、最值問(wèn)題中的常用方法

（1）極端思考

在分析某些最值問(wèn)題時(shí)，可以考慮把問(wèn)題推向“極端”，因?yàn)楫?dāng)某一問(wèn)題被推向“極端”后，往往能排除許多枝節(jié)問(wèn)題的干擾，使問(wèn)題的“本來(lái)面目”清楚地顯露出來(lái)，從而使問(wèn)題迅速獲解．

（2）枚舉比較

根據(jù)題目的要求，把可能的答案一一枚舉出來(lái)，使題目的條件逐步縮小范圍，篩選比較出題目的答案．

（3）分析推理

根據(jù)兩個(gè)事物在某些屬性上的相同，猜測(cè)它們?cè)谄渌麑傩陨弦灿锌赡芟嗤耐评矸椒ǎ?/p>

（4）構(gòu)造調(diào)整

在尋求解題途徑難以進(jìn)展時(shí)，構(gòu)造出新的式子或圖形，往往可以取得出奇制勝的效果．2、求最大值和最小值的結(jié)論．

（1）

和一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，積越大．

（2）積一定的兩個(gè)數(shù)，差越小，積越?。?/p>

（3）

兩點(diǎn)之間線段最短．備注備注1．“和同近積大”、“積同近和小”是最值問(wèn)題中使用率最高的知識(shí)點(diǎn)，要注意其前提條件（即拆的個(gè)數(shù)相同）；2．極端思考是最重要的一種思想，但一定要滿(mǎn)足題意；3．構(gòu)造調(diào)整是常用的一種手段，主要分為兩類(lèi)：①先構(gòu)造符合要求的，再考慮最極端的②先構(gòu)造最極端的，再考慮符合要求的；4．本部分往往需要綜合利用學(xué)過(guò)的多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．課堂例題課堂例題和同近積大1、如圖所示，用一根長(zhǎng)80厘米的鐵絲焊接成一個(gè)棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體框架．這個(gè)長(zhǎng)方體的體積最大可能是多少？【答案】

294平方厘米【解析】

長(zhǎng)方體滿(mǎn)足：厘米，要使體積最大，就應(yīng)該使三邊長(zhǎng)度盡量接近．所以當(dāng)三邊長(zhǎng)度分別為7厘米、7厘米和6厘米時(shí)，體積最大，為立方厘米．2、有11個(gè)同學(xué)計(jì)劃組織一場(chǎng)圍棋比賽，他們準(zhǔn)備分為兩組，每組進(jìn)行單循環(huán)比賽，那么他們最少需要比賽__________場(chǎng)．【答案】

25場(chǎng)【解析】

假設(shè)兩組人數(shù)分別為a和b．在兩組都進(jìn)行單循環(huán)比賽之后，假如甲組的每個(gè)人都再跟乙組的每個(gè)人比賽一次，即再比賽場(chǎng)，那么11個(gè)人中任意兩人都比賽過(guò)了，共場(chǎng)；因此兩組內(nèi)的單循環(huán)比賽共有場(chǎng)，要使這個(gè)數(shù)最小，則應(yīng)最大，a和b盡量接近，取5和6，結(jié)果是場(chǎng)．極端思考3、有5袋糖塊，其中任意3袋的總和都超過(guò)60塊．這5袋糖塊總共最少有多少塊？【答案】

103塊【解析】

任意3袋糖果總塊數(shù)都不少于61，必能取出一袋不少于21塊糖果；現(xiàn)在余下4袋，同樣可以取出一袋不少于21塊糖果．現(xiàn)在余下三袋了，這三袋糖果總和不少于61，所以總的糖果不少于塊．由于5袋糖果分別有21、21、21、20、20塊，是符合要求的，所以103就是最小值．4、把1至99依次寫(xiě)成一排，形成一個(gè)多位數(shù)：．從中劃去99個(gè)數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個(gè)首位不是0的多位數(shù)．請(qǐng)問(wèn)：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？【答案】

最大9999975859606162…979899；最小100000123450616263…979899【解析】

（1）要使剩下的數(shù)盡量大，就要讓數(shù)的最前面剩下盡可能多的9．首先，最開(kāi)頭的12345678這8個(gè)數(shù)字是要去掉的，留下了第一個(gè)9；然后去掉1011121314151617181共19個(gè)數(shù)字，留下了第二個(gè)9；再去掉3次的19個(gè)數(shù)，使得剩下第3、4、5個(gè)9．現(xiàn)在已經(jīng)去掉了一共個(gè)數(shù)，剩下的數(shù)前5個(gè)數(shù)字都是9，然后是50515253545556575859…9899，還能再去掉15個(gè)數(shù)．但我們到下一個(gè)9要去掉19個(gè)數(shù)，到下一個(gè)8要去掉17個(gè)數(shù)，到下一個(gè)7要去掉15個(gè)數(shù)，于是最后結(jié)果的第6個(gè)數(shù)字最大是7，應(yīng)該去掉的15個(gè)數(shù)字為505152535455565．所以剩下的數(shù)最大為999997585960…9899．（2）要使剩下的數(shù)盡量小，就要讓數(shù)的首位是1，第二位起是盡量多的0．首位上的1取第一個(gè)數(shù)字1就行了．然后去掉234567891共9個(gè)數(shù)，留下第一個(gè)0；再去掉1112131415161718192共19個(gè)數(shù)，留下第2個(gè)0；再去掉3次的19個(gè)數(shù)，就能得到第3、4、5個(gè)0．現(xiàn)在一共去掉了個(gè)數(shù)，剩下的數(shù)前六個(gè)數(shù)字是1、0、0、0、0、0，余下的部分是515253545556575859…9899，還能再去掉14個(gè)數(shù)．下一位取不到0了，只能去掉一個(gè)5，留下1；再下一位連1都取不到，只能去掉1個(gè)5，留下2；再去掉一個(gè)5，留下3；去掉一個(gè)5，留下4．現(xiàn)在還能再去掉10個(gè)數(shù)字，而剩下的是55565758596061……，接下來(lái)11個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是5，所以取一個(gè)5．然后剩下的數(shù)前11個(gè)數(shù)字為55657585960，因而我們?nèi)サ?0個(gè)數(shù)字5565758596，使下一位達(dá)到最小數(shù)字0．所以最后剩下的數(shù)最小是10000012345061626364…9899．5、把2012拆成5個(gè)互不相同的自然數(shù)之和，其中最小的數(shù)最大是多少？【答案】

400【解析】

應(yīng)讓5個(gè)數(shù)盡量接近，最小的數(shù)最大是．6、有13個(gè)不同的自然數(shù)，它們的和是100．其中偶數(shù)最多有多少個(gè)？最少有多少個(gè)？【答案】

9個(gè)；5個(gè)【解析】

根據(jù)奇偶性，奇數(shù)有偶數(shù)個(gè)，因此偶數(shù)有奇數(shù)個(gè)，注意到9個(gè)不同偶數(shù)和最小為，11個(gè)不同偶數(shù)的和最小為，所以偶數(shù)最多有9個(gè)；又符合條件，所以偶數(shù)可以有9個(gè)．奇數(shù)必須偶數(shù)個(gè)，8個(gè)奇數(shù)最小為64，10個(gè)奇數(shù)最小為100，所以奇數(shù)最多有8個(gè)．又符合條件，所以奇數(shù)可以有8個(gè)，偶數(shù)最少有5個(gè)．構(gòu)造調(diào)整7、用1，2，3，4，5，6，7，8，9各一個(gè)組成3個(gè)三位數(shù)，使得它們都是9的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)乘法算式．【答案】

【解析】

每個(gè)數(shù)都是9的倍數(shù)，說(shuō)明每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都是9的倍數(shù)．由于1到9總的數(shù)字和是45，而且每個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和都不超過(guò)，因而三個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和分別為18、18和9．各位數(shù)字之和為9的數(shù)最大只能是621．其余兩個(gè)數(shù)乘積要盡量大且各自的各位數(shù)字之和是18，百位取9和8，十位取7和5，個(gè)位取4和3，有最大乘積，故所求的乘法算式是．8、把14表示成幾個(gè)自然數(shù)（可以重復(fù)）的和，并使得這些數(shù)的乘積盡可能大．問(wèn)：這個(gè)乘積最大可能是多少？【答案】

162【解析】

14比較大，可以先從較小的數(shù)開(kāi)始嘗試，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律“多拆3，少拆2，不拆1”，所以把拆成時(shí)乘積最大，為．9、（金帆四年級(jí)春季）國(guó)際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個(gè)的棋盤(pán)，至少要放幾個(gè)皇后？【答案】

2【解析】

顯然1個(gè)皇后不夠，經(jīng)試驗(yàn)2個(gè)即可，如圖．幾何中的最值10、郵遞員送信件的街道如圖所示，每一小段街道長(zhǎng)1千米．如果郵遞員從郵局出發(fā)，必須走遍所有的街道，那么郵遞員最少需要走多少千米？郵局郵局【答案】

26千米【解析】

如圖1，由于的A、B兩點(diǎn)連出的邊是3條，也就是奇數(shù)條，僅當(dāng)A與B為出發(fā)點(diǎn)和終點(diǎn)時(shí)，才能一筆畫(huà)．不能從郵局出發(fā)一筆把這個(gè)圖畫(huà)出，即郵遞員不能只把每條街道走一遍就回到郵局，他至少應(yīng)該多走1千米街道，最小是26千米．在圖2中，給出了郵遞員走26千米走遍所有街道的一種方法．1111111郵局AB圖1111111郵局AB圖211、如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的柜子．一只螞蟻要從左下角的A點(diǎn)出發(fā)，沿柜子表面爬到右上角的B點(diǎn)去取食物，螞蟻爬行路線最短是多少？一共有幾條最短路線？請(qǐng)?jiān)趫D中表示出來(lái)．AAB331【答案】

】5；4條；見(jiàn)解析【解析】

為了表示方便，我們把長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都標(biāo)上字母，如圖1．螞蟻要從A處爬到B處，途中必須經(jīng)過(guò)兩個(gè)相鄰的面，兩個(gè)相鄰面的交線必是EH、HF、FG、GC、CD、DE六條線段中的一條．一共六種情況，但由對(duì)稱(chēng)性，可分為三類(lèi)，每類(lèi)兩種：交線是FG、DE的情形為一類(lèi)，交線是HE、GC的情形為一類(lèi)，交線是FH、DC的情形為一類(lèi)．AAB331CDEFGH圖13BA31CFGH圖23BA31CFGD圖3情況1：如果螞蟻所經(jīng)過(guò)的兩相鄰面是ACGF和FGBH，那么我們可以沿著它們的交線FG把這兩個(gè)面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖2．這樣螞蟻的整個(gè)行走路線就在這一個(gè)平面上，而且以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)．此時(shí)從A到B的最短連線就是A、B兩點(diǎn)的連線，它恰好直角三角形ABC的斜邊．由于，，因此．情況2：如果兩相鄰面的交線是GC．同樣我們也可以沿著GC，把兩個(gè)相鄰面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖3．此時(shí)A、B兩點(diǎn)的連線是直角三角形ABD的斜邊．由于，，因此．AACGEDB133圖4圖5AB331CDEFGHAB331CDEFGH圖6情況3：如果兩相鄰面的交線是DC．同樣我們也可以沿著DC，把兩個(gè)相鄰面展開(kāi)到同一個(gè)平面上，如圖4．此時(shí)A、B兩點(diǎn)的連線是直角三角形AGB的斜邊，一定比直角邊AG長(zhǎng)．而AG的長(zhǎng)度是，所以AB一定大于6．其余三種情況的最短路線與上面的情況1、2、3對(duì)應(yīng)相同．所以爬行路線長(zhǎng)度最少是5，（1）和（2）的情形都符合要求，加上與它們對(duì)應(yīng)的兩種，所以一共會(huì)有4條最短路線．把展開(kāi)圖還原到原來(lái)的圖中，就是所求的最短路線（如圖5、6）．因此在長(zhǎng)方體表面，從A到B的最短路線的長(zhǎng)度是5，一共有4條滿(mǎn)足要求．12、一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形四個(gè)角剪去四個(gè)正方形，剩下部分可以拼成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體，那么所得的長(zhǎng)方體容積最大是多少？101010【答案】

【解析】

設(shè)剪去的四個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為x，依題意得長(zhǎng)方體的容積為：，可化為；其中，，的和為10，是一個(gè)定值，根據(jù)“幾個(gè)數(shù)的和為定值時(shí)，這幾個(gè)數(shù)越接近，乘積越大”，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這三個(gè)數(shù)最接近，乘積也就最大．此時(shí)．所以容積的最大值是．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、用一根長(zhǎng)100厘米的鐵絲焊接成一個(gè)棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體框架，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積最大是多少立方厘米？【答案】

576【解析】

長(zhǎng)、寬、高之和為，且應(yīng)盡量接近．，故體積最大為．2、有5個(gè)學(xué)生參加暑期競(jìng)賽班，每人都拿了不少積分（所有積分都是整數(shù)）．如果其中每三人的積分之和都不少于500分，那這五人的總積分最少是多少？【答案】

834【解析】

把每3人的和都加起來(lái)，共個(gè)和，每人被加了次．故總積分理論上最少為分，且可以達(dá)到，如166、167、167、167、167分．3、用1、2、3、4、5、6各一個(gè)組成兩個(gè)三位數(shù)，使得它們都是3的倍數(shù)，并且要求乘積最大，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)乘法算式．【答案】

【解析】

先假設(shè)百位分別為5、6，則6所在三位數(shù)的另兩位之和應(yīng)為3的倍數(shù)，只能為1、2或2、4，相應(yīng)最大值為和，易知后者更大．4、把1至20依次寫(xiě)成一排，形成一個(gè)多位數(shù)：1234…1920．從中劃去20個(gè)數(shù)字，剩下的數(shù)字組成一個(gè)首位不是0的多位數(shù)．請(qǐng)問(wèn)：剩下的數(shù)最大可能是多少？最小可能是多少？【答案】

95617181920；10111111110【解析】

若要最大，顯然首位應(yīng)為9，先劃去1-8，為91011121314151617181920．再劃12個(gè)數(shù)字，易知第二位最多為5，進(jìn)而求得最大值為95617181920；若要最小，前兩位應(yīng)為10，將1-9劃去即可．之后盡量讓1出現(xiàn)在前幾位，并保留最后的0，可得最小值為10111111110．5、黑板上寫(xiě)著1、2、3、4、……、20這20個(gè)數(shù)，墨莫每次擦去兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)，再寫(xiě)上它們的平均數(shù)，最后黑板上只剩下一個(gè)自然數(shù)，那么這個(gè)數(shù)最小是___________．【答案】

2【解析】

盡量每次擦去較大的數(shù)，擦去20、18寫(xiě)19，擦19、19寫(xiě)19，擦19、17寫(xiě)18，擦18、16寫(xiě)17，……，擦7、5寫(xiě)6，擦6、4寫(xiě)5，擦5、3寫(xiě)4，擦4、2寫(xiě)3，擦3、1寫(xiě)2．6、（金帆四年級(jí)春季）比較下面兩個(gè)乘積的大?。?，．【答案】

【解析】

易知．根據(jù)和同近積大原則，．課后作業(yè)課后作業(yè)1、（金帆五年級(jí)春季）4個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)的分子都是1，它們的分母有2個(gè)是奇數(shù)、2個(gè)是偶數(shù)，而且2個(gè)分母是奇數(shù)的分?jǐn)?shù)之和與2個(gè)分母是偶數(shù)的分?jǐn)?shù)之和相等．這樣的奇數(shù)和偶數(shù)很多，小明希望這樣的2個(gè)偶數(shù)之和盡量地小，那么這個(gè)和的最小可能值是多少？【答案】

16【解析】

設(shè)4個(gè)真分?jǐn)?shù)分別為，（m、n、a、b均為正整數(shù)），則，，從開(kāi)始試，，，，，，我們發(fā)現(xiàn)，和分解后具有相同的一項(xiàng)，而且另外兩項(xiàng)的分母滿(mǎn)足一奇一偶，滿(mǎn)足題中條件．，所以最小的兩個(gè)偶數(shù)和為．2、有一根鐵絲長(zhǎng)90厘米，它能焊接成的棱長(zhǎng)都是整數(shù)厘米的長(zhǎng)方體的體積最大是________立方厘米．【答案】

392【解析】

棱長(zhǎng)和應(yīng)為4的倍數(shù)，最多為88cm，進(jìn)而長(zhǎng)、寬、高之和最多為．再令長(zhǎng)、寬、高最接近，可得體積最大為．3、將1，2，3，…，49，50任意分成10組，每組5個(gè)數(shù)．在每一組中，數(shù)值居中的那個(gè)數(shù)稱(chēng)為“中位數(shù)”．這10個(gè)中位數(shù)之和的最大值是________．【答案】

345【解析】

10個(gè)中位數(shù)最大為48，此組為（1、2、48、49、50）；第二大為45，此組為（3、4、45、46、47）；……依次類(lèi)推，10個(gè)中位數(shù)之和最大為．4、高、婭、莫、萱四人各有若干塊高思勛章，其中任意兩人的勛章合起來(lái)都少于10塊，那么這四人的勛章合起來(lái)最多有________塊．【答案】

17【解析】

任兩人之和最多為9，故四人最多為．此時(shí)必有兩人均至少有5塊，矛盾，故最多17塊，如4、4、4、5即可．5、有6個(gè)學(xué)生參加投籃比賽，每人都拿了不少積分（所有積分都是整數(shù)）．如果其中每四人的積分之和都不少于500分，那么這6人的總積分最少是________．【答案】

750分【解析】

把每4人的和都加起來(lái)，共個(gè)和，每人被加了次．故總積分理論上最少為分，且可以達(dá)到，如均為分．6、一臺(tái)計(jì)算器大部分按鍵失靈，只有數(shù)字“7”和“0”以及加法鍵“”尚能使用，因此可以輸入77，707這樣只含數(shù)字7和0的數(shù)，并且進(jìn)行加法運(yùn)算．為了顯示出222222，最少要按“7”鍵多少次？【答案】

21次【解析】

假如按某種操作得到