2022北京門頭溝初二（上）期末數(shù)學(xué)（教師版）

2022北京門頭溝初二（上）期末

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.百的相反數(shù)是（）

A.V3B.—^3C.±6DT

2.以下四大通訊運(yùn)營(yíng)商的企業(yè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

◎Q（D

中國(guó)移動(dòng)中國(guó)電信中國(guó)網(wǎng)通中國(guó)聯(lián)通

3.如果分式g的值等于o,那么x的值是（）

龍+i

A.x=-lB.x=3C.x>-\D.XH3

4.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.13人中至少有2個(gè)人生日在同月

B.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到的是紅桃A

D.以長(zhǎng)度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構(gòu)成一個(gè)直角三角形

5.下列等式成立是（）

Q+1a—2a+1。+1b-a,aa~

A，b+\~bB.-----=——C.----=-1D—=—

-2bba-bbh2

6.下列計(jì)算正確的是（)

A(一國(guó)=3eg=2也D.3x/2=7372

分別以A,C為圓心，大于』AC的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于

7.如圖,在△ABC中，AB=AC,NA=36。,

2

點(diǎn)M,N,作直線分別交AB,AC于點(diǎn)。，E,連接CD有以下四個(gè)結(jié)論：①NBC￡）=NAC￡>=36。；②A。

=CD=CB；③ABCD的周長(zhǎng)等于AC+2C；④點(diǎn)Z）是線段AB的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論是（）

A

E

M9

BC

A.①②B.③④C.??③D.①②③④

8.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的AABC為格

點(diǎn)三角形，在圖中可以畫出與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)為（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.4的算術(shù)平方根是.

10.如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是.

11.如圖，已知△ABC,通過(guò)測(cè)量、計(jì)算得△ABC的面積約為cM（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

12.一個(gè)轉(zhuǎn)盤盤面被分成6塊全等的扇形區(qū)域，其中2塊是紅色，4塊是藍(lán)色.用力轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針

對(duì)準(zhǔn)紅色區(qū)域的可能性大小是.

13.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,則它的周長(zhǎng)為cm.

14.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,8對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是-1,2,點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)C表示無(wú)理數(shù)，那么點(diǎn)C可以

是（寫出一個(gè)即可）.

AB

―I----------1-----------1-----------1----------1-------?

-2-1012

15.如圖，。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，ADLCD,AQ平分/CAB,且/如果AB=10,AC=6,那么CQ

c

D

B

16.如圖，在△ABiG中,ACi^BtCi,NG=20。,在8G上取一點(diǎn)C2,延長(zhǎng)ABi到點(diǎn)民，使得3出2=8心2,在

82c2上取一點(diǎn)C3,延長(zhǎng)A%到點(diǎn)&,使得&&=B2C3,在B3C3上取一點(diǎn)。4,延長(zhǎng)Aa到點(diǎn)&,使得%&=

B3c......按此操作進(jìn)行下去，那么第2個(gè)三角形的內(nèi)角NAB2c2=°；第〃個(gè)三角形的內(nèi)角/AB“C“=

C,

三、解答題（本題共68分，第17題6分，第18題8分，第19~25題，每小題5分，第26題6分，第27題7

分，第28題6分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.計(jì)算：（1）+（2）.

x+2x+2{a）

18計(jì)算：（1）x/S—y/27+|V2-3|；（2）（2+6）（2—豆）—+夜.

x3,

19.解方程：—?-：一示=1.

X-J（x-3）

20.如圖，AD,BC相交于點(diǎn)。，AO=DO.

（1）如果只添加一個(gè)條件，使得AA。8g△QOC,那么你添加的條件是一（要求：不再添加輔助線，只需填一

個(gè)答案即可）；

（2）根據(jù)已知及（1）中添加的一個(gè)條件，證明A8=￡>C.

21.已知f+2x-5=0，求代數(shù)式（x+1彳2的值.

（x-1）x~-x

22.學(xué)習(xí)分式運(yùn)算過(guò)程中，老師布置了這樣一個(gè)任務(wù)：依據(jù)下面的流程圖，計(jì)算二-津"

a-ha~-b~

（1）依據(jù)上面流程圖計(jì)算，工-考y時(shí)，需要經(jīng)歷的路徑是一（只填寫序號(hào)）；

a-ba-b~

（2）依據(jù)（1）中路徑寫出正確解答過(guò)程.

23.下面是小麗同學(xué)設(shè)計(jì)的“作30。角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖1,射線OA.

求作：ZAOB,使/408=30。.

0A

圖1

作法:如圖2,

①在射線OA上任取一點(diǎn)C；

②分別以。，C為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在射線的上方交于點(diǎn)O,作射線OD,并連接C。；

③以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線OA,。。于點(diǎn)E,F：

④分別以E,F為圓心，以大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NAO。內(nèi)部交于點(diǎn)B；

2

⑤作射線OB；

圖2

根據(jù)小麗設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解答下列問(wèn)題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）；

(2)補(bǔ)全下面證明過(guò)程：

證明：連接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△0C￡＞是等邊三角形.

NCOD=°.

又：OE=0F,BE=BF,OB=OB,

：.△OEB^/\OFB()(填推理依據(jù)).

NEOB=NFOB()(填推理依據(jù)).

Z.ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.?.N4O8就是所求的角.

24列方程解應(yīng)用題：

第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月在中國(guó)北京和張家口舉行.為了迎接冬奧會(huì)，某公司接到制作12000件冬奧會(huì)紀(jì)念

品的訂單.為了盡快完成任務(wù)，該公司實(shí)際每天制作紀(jì)念品的件數(shù)是原計(jì)劃每天制作紀(jì)念品件數(shù)的1.2倍，結(jié)果提

前10天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天制作多少件冬奧會(huì)紀(jì)念品？

25.已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,A。平分NBAC交BC于。，過(guò)。作。E〃AC交AB于E.

(1)求證：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2y/3,求AE的長(zhǎng).

26.閱讀理解：

材料：小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過(guò)具體運(yùn)算：一［=1-4，工=」—!,J-=L-L

1x222x3233x434

1_11

4^5-4-5

1_1_1

發(fā)現(xiàn)規(guī)律:(〃為正整數(shù))，并證明了此規(guī)律成立.

+nH+1

1111,1111111,19

應(yīng)用規(guī)律，快速計(jì)算:

1x22x33x49x10223349101010,

根據(jù)材料，回答問(wèn)題:

在學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算時(shí)，小華根據(jù)分式學(xué)習(xí)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，類比探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律，并解決問(wèn)題.請(qǐng)將下

面的探究過(guò)程，補(bǔ)充完整.

(1)具體運(yùn)算：

特例i：Ji+4+-^=i+—=i+i--

Vl2221x22

特例2：Jl+^+^=l+-=l+--l

V22322x323

i44

特例3：++

3242

特例4：—(填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子).

L11

(2)發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Jl+r+7———("為正整數(shù))，并證明此規(guī)律成立.

\n~(〃+1)-

(3)應(yīng)用規(guī)律：

①計(jì)算：卜￥*卜*"+J+**…*卜卜A卜*春;

②如果卜3系/+*+*+???+『言^舟+―舟+*=7,那么〃=一.

27.已知，在AABC中，N8AC=30。，點(diǎn)。在射線BC上，連接A￡>,/。4。=。，點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為

E,點(diǎn)E關(guān)于直線43的對(duì)稱點(diǎn)為凡直線E尸分別交直線AC,A8于點(diǎn)M,N,連接4尸，AE,CE.

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段BC上.

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1;

②NAEF=(用含有a的代數(shù)式表示)，NAMF=°；

③用等式表示線段M4,ME,MF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)點(diǎn)。在線段8C的延長(zhǎng)線上，且/。。<60。，直接用等式表示線段MA,ME,M尸之間的數(shù)量關(guān)系，不證

明.

a>0)

28.對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算③如下：a?h=\

a<0)

2

如：203=-(一2慮3=-2+3=1.

3

根據(jù)上述定義，解決下列問(wèn)題：

（1）V<6?^3=,V5j?V5=；

（2）如果（W+l）區(qū)（12一工）=1,那么％=_

⑶如果（X一3）8x=（一2）咨求X的值.

參考答案

一、選擇題（本題共16分，每小題2分）第1一8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè).

1.百的相反數(shù)是（）

A.GB.一百C.±73D.B

3

【答案】B

【解析】

【分析】直接根據(jù)相反數(shù)的定義（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)）進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：的相反數(shù)是-

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.以下四大通訊運(yùn)營(yíng)商的企業(yè)圖標(biāo)中，是軸對(duì)稱圖形的是（）

中國(guó)移動(dòng)中國(guó)電信中國(guó)網(wǎng)通中國(guó)聯(lián)通

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義（在平面內(nèi)沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合的圖形）進(jìn)行判斷即可

得.

【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義判斷可得：只有D選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】題目主要考查軸對(duì)稱圖形的判斷，理解軸對(duì)稱圖形的定義是解題關(guān)鍵.

3.如果分式二三的值等于0,那么x的值是（）

x+\

A.X=-1B.X=3c.x>-\D.X/3

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)分式的值為0的條件可得X-3=0,X-1H0,即可求得答案

【詳解】解：?.?分式上鄉(xiāng)的值等于0,

X+1

x-3=0,x—IwO

:.x=3

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為0的條件，解題的關(guān)鍵是理解分式的值為0的條件是分子為0,分母不為0.

4.下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.13人中至少有2個(gè)人生日在同月

B.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上

C.從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到的是紅桃A

D.以長(zhǎng)度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構(gòu)成一個(gè)直角三角形

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)確定事件和隨機(jī)事件的定義來(lái)區(qū)分判斷即可，必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件；必然事件：在

一定條件下，一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件；不可能事件：在一定條件下，一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不可能事

件；隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為隨機(jī)事件.

【詳解】解：A.13人中至少有2個(gè)人生日在同月，是必然事件，故該選項(xiàng)符合題意；

B.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，落地后正面朝上，是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；

C.從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張，抽到的是紅桃A,是隨機(jī)事件，故該選項(xiàng)不符合題意；

D.因?yàn)??+4?=25,6?=36,3?+4?#62,則以長(zhǎng)度分別是3cm,4cm,6cm的線段為三角形三邊，能構(gòu)成一個(gè)直

角三角形，是不可能事件，故該選項(xiàng)不符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了確定事件和隨機(jī)事件的定義，熟悉定義是解題的關(guān)鍵.

5.下列等式成立的是（）

b-a,

C.-------=一1D

a-bbb2

【答案】C

【解析】

【分析】直接根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可

詳解】解：A."wf,故選項(xiàng)A不符合題意;

b+\b

B.311片第1,故選項(xiàng)8不符合題意；

-2bb

h—a—（ci—b）人口工.

C.-----=——--=-1,故選項(xiàng)C符合題意；

a-ba-b

D.故選項(xiàng)。不符合題意；

bb2

故選C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握分式性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵

6.下列計(jì)算正確的是（）

A.(-6『=3D.372=^/3^2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得.

【詳解】A、=3此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

B、,(-3)2=3此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤,不符合題意；

c、、口=交此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

\22

。、30=J^此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)以及二次根式的加減運(yùn)算，準(zhǔn)確利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=36。，分別以A,C為圓心，大于的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于

2

點(diǎn)M,N,作直線MN,分別交48,AC于點(diǎn)。，E,連接CD有以下四個(gè)結(jié)論：①/BC￡>=/ACO=36。；②A。

=CD=CB：③ABCZ)的周長(zhǎng)等于AC+BC；④點(diǎn)。是線段A8的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論是()

C.??③D.①②③④

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)AB=AC,/A=36。，可得NAC5=N8=72。,根據(jù)作圖可知MN是AC的垂直平分線，進(jìn)而可得

AD=DC,ZZ)G4=ZZMC=36°,進(jìn)而可得NOCB=NACB—NACr>=36。，即可判斷NB￡>C=72°,進(jìn)而

判斷CD=C3,即可判斷①②③正確，若④正確，則可得是等邊三角形，進(jìn)而得出矛盾，判斷④不正確

【詳解】解：???AB=AC,NA=36。，

/.ZACB=ZB=1(180°-ZA)=72°,

根據(jù)作圖可知MN是AC的垂直平分線,

AD=DC,

NOC4=ND4C=36。，

.：.DA=DC,ZBDC=ZDAC+ZDCA=72°

NDCB=ZACB-ZACD=36。

:./CDB=4B=7r

：.ZBCD=ZACD=36°,AD=CD=CB-,；

故①②正確

ABCD的周長(zhǎng)等于BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC=AC+BC;

故③正確

若點(diǎn)。是線段AB的中點(diǎn)

：.AD=DB

?;DC=DA=BC

:.DB=DC=BC

.?.△OBC是等邊三角形

而ZB=720*60°

點(diǎn)。不是線段AB的中點(diǎn)

故④不正確

故正確的有①②③

故選C

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，垂直平分線的性質(zhì)與作圖，掌握等腰三

角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形，圖中的△ABC為格

點(diǎn)三角形，在圖中可以畫出與△ABC成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)為（）

【答案】D

【解析】

【分析】在網(wǎng)格中畫出軸對(duì)稱圖形即可.

【詳解】解：如圖所示，共有5個(gè)格點(diǎn)三角形與AABC成軸對(duì)稱,

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，解題關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的定義，準(zhǔn)確畫出圖形.

二、填空題（本題共16分，每小題2分）

9.4的算術(shù)平方根是.

【答案】2.

【解析】

【詳解】試題分析：?；22=4，，4算術(shù)平方根為2.故答案為2.

考點(diǎn)：算術(shù)平方根.

10.如果二次根式有意義，那么x取值范圍是.

【答案】x,5

【解析】

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件“被開(kāi)方數(shù)大于等于0”得到關(guān)于x的不等式，解不等式即可求解.

【詳解】解：由題意得x-5K）,

解得史5.

故答案為：x>5

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式意義的條件，熟知二次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于0是解題關(guān)鍵.

11.如圖，已知AA8C,通過(guò)測(cè)量、計(jì)算得AABC的面積約為。層（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【答案】3.9

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)4作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，測(cè)量出8C,的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式即可求出△A8C的面

積.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作C。，AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,如圖所示.

4

D,BC

經(jīng)過(guò)測(cè)量，BC=2.2cm,AD=3.5cm,

SAABC--AB*CD=—X2.2X3.5=3.85~3.9(cm2).

22

故答案為：3.9.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

12.一個(gè)轉(zhuǎn)盤盤面被分成6塊全等的扇形區(qū)域，其中2塊是紅色，4塊是藍(lán)色.用力轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針

對(duì)準(zhǔn)紅色區(qū)域的可能性大小是.

【答案】|

【解析】

【分析】根據(jù)簡(jiǎn)單概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，共有6塊全等的扇形區(qū)域，其中2塊是紅色，4塊是藍(lán)色.

21

則指針對(duì)準(zhǔn)紅色區(qū)域的可能性大小是:二-

63

故答案為：-

3

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，立即題意是解題的關(guān)鍵.

13.一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3cm和7cm,則它的周長(zhǎng)為cm.

【答案】17

【解析】

【分析】題中沒(méi)有指明哪個(gè)底哪個(gè)腰，故應(yīng)該分兩種情況進(jìn)行分析，注意利用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn).

【詳解】解：當(dāng)7為腰時(shí),周長(zhǎng)=7+7+3=17cm；

當(dāng)3為腰時(shí)，因?yàn)?+3V7,所以不能構(gòu)成三角形；

故三角形的周長(zhǎng)是17cm.

故答案為：17.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，在解題時(shí)要進(jìn)行分類討論.

14.如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A,8對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是-1,2,點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)C表示無(wú)理數(shù)，那么點(diǎn)C可以

是(寫出一個(gè)即可).

AB

—I---------1---------1-----------1----------1------?

-2-1012

【答案】、歷（答案不唯一）

【解析】

【分析】根據(jù)點(diǎn)C在線段AB上運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)C表示的數(shù)的取值范圍，寫出一個(gè)無(wú)理數(shù)即可.

【詳解】解：???點(diǎn)C在線段A8上運(yùn)動(dòng)，

.?.點(diǎn)C表示的數(shù)在-I和2之間，

.?.點(diǎn)C表示的數(shù)可以是夜（答案不唯一）.

故答案為：V2（答案不唯一）

【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，無(wú)理數(shù)大小的估算，根據(jù)題意估算出點(diǎn)C表示的數(shù)的取值范圍是解題關(guān)

鍵.

15.如圖，。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，ADLCD,A。平分/CAB,且NDCB=NB.如果AB=10,AC=6,那么CQ=

【答案】2

【解析】

【分析】延長(zhǎng)C。交48于點(diǎn)E,根據(jù)垂線及角平分線的性質(zhì)可得NC4￡>="AE，ZCDA=ZEDA,然后利用

全等三角形的判定定理和性質(zhì)可得AC=A￡=6,再由等角對(duì)等邊可得8E=CE=4，由此即可得出線段長(zhǎng)度.

【詳解】解：如圖所示：延長(zhǎng)C。交AB于點(diǎn)E,

???AO平分NCAB,

二NCAD=/DAE,

'：ADVCD,

???NCZM=N￡ZM=90。,

在418與八4￡0中，

NCAD=ZDAE

<AD=AD,

NCDA=ZEDA

二A4coMAAEO,

AC=AE=6,CD=DE,

.*?BE=AB-AE=A，

?：ZDCB=/B,

，BE=CE=4,

：.CD=-CE=2,

2

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線和等角對(duì)等邊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線是

解題關(guān)鍵.

16.如圖,在△ABiG中,ACi=BiCi,ZCi=20°,在SG上取一點(diǎn)C2,延長(zhǎng)ABi到點(diǎn)&,使得8出2=8仁2,在

B2c2上取一點(diǎn)C3,延長(zhǎng)A%到點(diǎn)后,使得&83=82。3,在B3c3上取一點(diǎn)C4,延長(zhǎng)A&到點(diǎn)&,使得以84=

&C4........按此操作進(jìn)行下去，那么第2個(gè)三角形的內(nèi)角NAB2c2=°;第〃個(gè)三角形的內(nèi)角NA8"C“=

【解析】

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NC山洪的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出

NBiB2c2,/C383B2及/C48382的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出/A&C“的度數(shù).

【詳解】解：△ASG中，AG=5iG,NG=20。，

180°-ZC1800-20°

/GBiA=80°,

22

'：B\B2=B\C2,,NGB1A是△B182C2的外角,

.,ZC.B.A80°

??NBiB2c2=------------=-=---4--0°；

22

同理可得，

ZC3B3B2=20°,ZC4B3B2=10°,

80。

ZABnCn—

2"~'

故答案為：40,亍打.

【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/?B2c2,NC3B3B2及NC4B3B2的度

數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

三、解答題（本題共68分，第17題6分，第18題8分，第19~25題，每小題5分，第26題6分，第27題7

分，第28題6分）解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.計(jì)算：（1）衛(wèi)+工；（2）4”6+（心］.

x+2x+2Ia1

【答案】⑴3；（2）4a3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)同分母分式加法法則計(jì)算即可；

（2）根據(jù)分式的乘方和除法法則計(jì)算即可.

【詳解】解：（1）原式=包邙，

x+2

_3（x+2）

x+2'

=3.

（2）原式=4加+勺，

=4ab',

=44.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握分式運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.

18.計(jì)算：（1）x/8--^27+|>/2—3|；（2）（2+6）（2-6）-+.

【答案】（1）夜；（2）-2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)而根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）根據(jù)平方差公式，二次根式的除法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】⑴解：原式=20-3+3-0，

=>/2?

（2）解：原式=1—3,

=—2.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的除法運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)以及二次根式的運(yùn)算法則是解題

的關(guān)鍵.

x3,

19.解方程：一衣=?

【答案】x=4

【解析】

【分析】方程兩邊同時(shí)乘以（x-3）2去掉分母，把分式方程化為整式方程，求出方程的解并檢驗(yàn)后即得結(jié)果.

V".,3,A

【詳解】解：口口-3）--^^"-3）-=1?-3）-,

X（X-3）-3=（X-3『，

x"-3x—3=X?—6x+9>

3x=12,

x=4.

檢驗(yàn)：當(dāng)x=4時(shí)，（x-3）~*0

；?x=4是原方程的解.

*1?原方程的解是x=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題目，熟練掌握求解的方法是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，AD,BC相交于點(diǎn)O,AO=DO.

（1）如果只添加一個(gè)條件，使得△AOBg/\OOC,那么你添加的條件是一（要求：不再添加輔助線，只需填一

個(gè)答案即可）；

（2）根據(jù)已知及（1）中添加的一個(gè)條件，證明AB=OC.

【答案】（1）OB=OC（或NA=ND，或ZB=NC）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得AAOb絲△OOC,由全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】解：（1）添加的條件是：OB=OC（或乙4=",或4B=NC）

證明：在AAQB和中

AO=B0

<NAOB=Z.COD

BO=CO

所以，△AOB四△DOC

（2）由（1）知，AAOB絲△OOC

所以，AB=DC.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵

21.已知f+2%—5=0，求代數(shù)式（x+12的值.

Ix-1）x-x

【答案】5

【解析】

【分析】先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)而根據(jù)分式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，最后根據(jù)已知

式子的值，整體代入求值即可.

【詳解】解：（x+i—+4^

Vx-1）廠一工

=-（x+l）（l）__3__+X-2

X—1X—1x~—X

X2-1-3x-2

=----------^-―-----，

x-lX~-X

_X2-4X-2

X—1—X

_（x+2）（九一2）x（x-1）

--------------------,

x—\x-2

=（x+2）x,

=x2+2x-

當(dāng)f+2x-5=0時(shí)，f+2x=5，

原式=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，掌握分式的性質(zhì)以及因式分解是解題的關(guān)鍵.

22.學(xué)習(xí)分式運(yùn)算過(guò)程中，老師布置了這樣一個(gè)任務(wù)：依據(jù)下面的流程圖，計(jì)算一彳-W

a-ba

（1）依據(jù)上面流程圖計(jì)算一一-一^?時(shí)，需要經(jīng)歷的路徑是—（只填寫序號(hào)）；

a-bcr-b

（2）依據(jù)（1）中路徑寫出正確解答過(guò)程.

【答案】（1）②④；（2）見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）觀察到1-二j分母不一樣得經(jīng)過(guò)②，作差得需要經(jīng)過(guò)④;

a-ba--b2:+：7（。一一”/*7）

（2）先通分，化為同分母分式，再相減.

【詳解】解：⑴根據(jù)￡一言的形式可選②,

*2

a2aba+ab-labt與

力-7^F=g+6)(“叫‘選④'

故答案是：②④;

a2ah

(2)原式=力

(。+人)(。-6)

〃(Q+人)2ab

(Q+〃)(〃-〃)(〃+b)(a-Z?)

_a2+ab-2ab

(a+b)(a-b)'

a2-ah

(a+b)(〃-Z?)

a(a-b)

(〃+/?)(〃-/?)

a

a+b

【點(diǎn)睛】本題考查了分式運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式運(yùn)算的基本步驟.

23.下面是小麗同學(xué)設(shè)計(jì)的“作30。角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：如圖1,射線。4.

求作：ZAOB,使NA03=30。.

O-

圖1

作法：如圖2,

①在射線OA上任取一點(diǎn)C；

②分別以。，。為圓心，。。長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在射線OA的上方交于點(diǎn)。，作射線OQ,并連接CQ；

③以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線04。。于點(diǎn)EF；

④分別以E,尸為圓心，以大于尸的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/A。。內(nèi)部交于點(diǎn)以

2

⑤作射線OB；

.../AOB就是所求的角.

D,

0CA

圖2

根據(jù)小麗設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，解答下列問(wèn)題：

（1）使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖2（保留作圖痕跡）；

（2）補(bǔ)全下面證明過(guò)程：

證明：連接BE,BF.

,/OC=OD=CD,

△occ是等邊三角形.

...ZCOD=

XVOE=OF,BE-BF,OB=OB,

AOEB^/XOFB（___）（填推理依據(jù)）.

/EOB=NFOB（____）（填推理依據(jù)）.

ZAOB=-ZCOD=30。.

2

/?NAOB就是所求的角.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°,SSS,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，③以。為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線040。于點(diǎn)E,F；④分別以E,F為

圓心，以大于,七廠的同樣長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/A0。內(nèi)部交于點(diǎn)8；⑤作射線0&則NA0B就是所求的角.

2

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定推理即可

【詳解】（1）補(bǔ)全作圖如下，

D

（2）證明：連接BE,BF.

'：OC=OD=CD,

△ocn是等邊三角形.

/.ZC（9D=60o.

又,：OE=OF,BE-BF,OB=OB,

：.△OEB^/XOFBCSSS'）（填推理依據(jù)）.

...NEOB=/FOB（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（填推理依據(jù)）.

ZAOB=-ZCOD=30°.

2

.?.N4O8就是所求的角.

故答案為：60°,SSS,全等三角形對(duì)應(yīng)角相等

【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖-作角平分線，三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵.

24.列方程解應(yīng)用題：

第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月在中國(guó)北京和張家口舉行.為了迎接冬奧會(huì)，某公司接到制作12000件冬奧會(huì)紀(jì)念

品訂單.為了盡快完成任務(wù)，該公司實(shí)際每天制作紀(jì)念品的件數(shù)是原計(jì)劃每天制作紀(jì)念品件數(shù)的1.2倍，結(jié)果提

前10天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天制作多少件冬奧會(huì)紀(jì)念品？

【答案】200件

【解析】

【分析】設(shè)原來(lái)每天制作x件，根據(jù)原來(lái)用的時(shí)間-現(xiàn)在用的時(shí)間=10,列出方程，求出x的值，再進(jìn)行檢驗(yàn)即

可.

【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天制作x件冬奧會(huì)紀(jì)念品，則實(shí)際每天制作1.2%件冬奧會(huì)紀(jì)念品.

1200012000

根據(jù)題意，得:=10.

x\.2x

解得：x=200.

經(jīng)檢驗(yàn)，x=200是原方程的解，且符合題意.

答：原計(jì)劃每天制作200件冬奧會(huì)紀(jì)念品.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程.

25.已知，如圖，在△ABC中，ZC=90°,AO平分NBAC交8c于。，過(guò)。作。E〃AC交AB于E.

(1)求證：AE=DE-,

(2)如果4c=3,AD=26求AE的長(zhǎng).

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)2

【解析】

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出即可；

(2)過(guò)點(diǎn)。作。FJ_AB于尸，求出。/=￡>C=e，設(shè)AE=x,根據(jù)勾股定理列方程即可.

【詳解】解：(1)"JDE//AC,

：.ZCAD=ZADE.

?.?4。平分/區(qū)4(?,

：.ZCAD=ZEAD.

：.ZEAD=ZADE.

：.AE=DE.

(2)過(guò)點(diǎn)。作。尸_LAB于F.

VZC=90°,AC=3,AD=26

二在RtAACC中，由勾股定理得AC2+DC2=AD2.

DC=B

?.?AD平分NBAC,

：.DF=DC=43.

又?..4￡>=AD,ZC=ZAFD=90°,

:.RtADACmRtADAF.

.\AF=AC=3.

???R小DEF中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

設(shè)AE=x,則EF=3-x,

.\(3-X)2+(>/3)2=X2,

/.x=2.

?\AE=2.

c

D

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理，解題關(guān)鍵是利用角平分線和平行線證明等腰，設(shè)未知數(shù)，依據(jù)

勾股定理列方程.

26.閱讀理解：

材料：小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過(guò)具體運(yùn)算：」=111111

1x22'2^3~2~3'3^4-3-4

111

4^5-4-5

111

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：=為正整數(shù)）并證明了此規(guī)律成立.

1111,1111111

應(yīng)用規(guī)律，快速計(jì)算:...-1~―11―1―,■?―|—...—_14磊

1x22x33x49x1022334910

根據(jù)材料，回答問(wèn)題:

在學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算時(shí)，小華根據(jù)分式學(xué)習(xí)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，類比探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律，并解決問(wèn)題.請(qǐng)將下

面的探究過(guò)程，補(bǔ)充完整.

（1）具體運(yùn)算:

特例1：1++=1+-=1+1--，

FF1x22

特例2：Jl+5+?=l+1=1+」

2x323

1J11

+

一--

特例3：3X44

3242

特例4：—（填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）.

,11

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：JI+F+T——r=一（〃為正整數(shù)），并證明此規(guī)律成立.

V〃一（n+1）

（3）應(yīng)用規(guī)律：

①計(jì)算：+，1+?卜"4；

②如果品…+反泉+油尸=那么〃=

1+卜城1

【答案】（1）=i+_L=1+l.l(2)1+--(3)①而；②5

4x545n〃+1

【解析】

【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)例題寫出一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子即可;

111

(2)根據(jù)材料中的一廠二=-----二進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)結(jié)合(1)(2)的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】解：(1)Jl+4+4=l+—=1+---(答案不唯一)；

V42524x545

]111

-7----\=[t---------；

⑵、T+n+1)2〃(〃+1)nk+1，

故答案為:1H--------r

n〃+1

、1111C1Y2

證明：v1+―+7---Q=l+---------7+-77\

n"(〃+1)\n〃+*+

-12

____1_+_2

=1+

n(n+l)+

2

n(n-l)

]

1+

n+l)2

nn[n-\)nn+1

故答案為：1+-----

n〃+1

⑶①卜*+*+卜*+*■*+系…+相+/

=(1+1——)+(1+，一一)+(1+———)+---+(1+----)+(1+------)

2233489910

111111111、

=n9+z(1------1----------1----------F???H----------1----------),

2233489910

=(9+1)——

10

=10-—,

10

99

10

②Jl+(+5+J1+11

齊+記+???+

'號(hào)+舟+卜舟+A4

貝U(14-1--)4-(1H-----)+(1H-----)4-???+(1H----------)+(1H-------)==n--

22334n—2n-\n—\n5

tnZ11111111、1

\)22334n-1n5

11

/.n——=n——

n5

—5

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，完全平方公式的計(jì)算，二次根式的性質(zhì)，掌握分式的性質(zhì)，以及

111

—廠二=—1■是解題的關(guān)鍵.

〃x(〃+1)n77+1

27.已知，在AABC中，NBAC=30。，點(diǎn)。在射線8C上，連接AO,NCAE>=a，點(diǎn)。關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)為

E,點(diǎn)E關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為F,直線EF分別交直線AC,A8于點(diǎn)M,N,連接4F,AE,CE.

(1)如圖1,點(diǎn)。在線段BC上.

①根據(jù)題意補(bǔ)全圖1:

@ZAEF=____(用含有a的代數(shù)式表示)，ZAMF=°；

③用等式表示線段M4,ME,MF之間數(shù)量關(guān)系，并證明.

(2)點(diǎn)。在線段8C的延長(zhǎng)線上，且/C4OV60。，直接用