專題08 軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)（原卷版）

專題08軸對稱中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【題型目錄】題型一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)題型二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)重難點(diǎn)專訓(xùn)軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)【知識梳理】知識要點(diǎn)一：翻折（對折）的定義一條直線把一個平面圖形分成兩個全等的圖形,其中的一個圖形沿著這條直線翻折到另一個圖形上面,則兩部分完全重合,這個過程就叫做對折.知識要點(diǎn)二：翻折（對折）的特點(diǎn)翻折問題實(shí)際上就是對稱變換；翻折是一種對稱變換，屬于軸對稱，對稱軸（折?所在直線）是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，翻折前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；教學(xué)初，為使學(xué)生直觀感悟，可以進(jìn)行一些實(shí)際操作，以便于學(xué)生形成直觀感受，利于問題的解決。知識要點(diǎn)三：翻折（對折）的基本圖形及圖形特點(diǎn)翻折圖形的基本背景圖形有：三角形、四邊形、梯形等，解決這些問題的基本方法是精確找出翻折前后相等邊與角，以及結(jié)合圖形的性質(zhì)把邊角的關(guān)系聯(lián)系起來，同時結(jié)合方程思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題。翻折特點(diǎn)：有翻折----就有重合----就有全等-----對應(yīng)線段相等、對應(yīng)角相等，運(yùn)用勾股定理、等面積法結(jié)合圖形特點(diǎn)進(jìn)行解題?！窘?jīng)典例題一軸對稱中的翻折問題專訓(xùn)】【例1】（2023春·陜西榆林·八年級?？计谀┤鐖D，在等腰中，，，的平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿折疊后與點(diǎn)O重合，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·四川瀘州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，中，將沿折疊，使得點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，連接與的角平分線交于點(diǎn)E；如果；那么下列結(jié)論：①；②垂直平分；③；④；其中正確的有（

）個．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023春·湖北武漢·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在三角形中，點(diǎn)D，E是邊上兩點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，將三角形沿折疊得三角形，交于點(diǎn)H，將三角形沿折疊恰好得到三角形，且．下列四個結(jié)論：①；②；③；④若，則．其中正確的結(jié)論是______（填寫序號）．

3．（2023秋·江西南昌·八年級南昌市外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）【母體呈現(xiàn)】人教版八年級上冊數(shù)學(xué)教材56頁第10題，如圖的三角形紙片中，，，．沿過點(diǎn)的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．求的周長．解：是由折疊而得到，．，．，．，∴的周長為：．(1)【知識應(yīng)用】在中，沿過點(diǎn)的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，過點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)連接．如圖1，若，，求的面積；(2)如圖2，求證：平分；(3)【拓展應(yīng)用】如圖3，在中，沿過點(diǎn)的直線折疊這個三角形，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，過點(diǎn)作的平分線交于點(diǎn)連接，過點(diǎn)作．若，，，直接寫出長；(4)若，求證．【經(jīng)典例題二軸對稱中的旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)】【例2】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，．下列四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．在旋轉(zhuǎn)過程中，上述四個結(jié)論始終正確的有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，直角的頂點(diǎn)P是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)E、F．當(dāng)在內(nèi)繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時，對于下列結(jié)論：①；②，③；④，其中正確結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2022秋·廣東惠州·八年級惠州一中?？计谥校┰谥?，，；將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放作斜邊AB的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線AC、CB與點(diǎn)D、點(diǎn)，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)為______（寫出所有可能的值）．3．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰和等腰中，，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接，利用上面結(jié)論或所學(xué)解決下列問題：(1)若，求證：；(2)連接，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時．①如圖②，若，則的度數(shù)為；線段與之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖③，若，為中邊上的高，判斷的度數(shù)及線段之間的數(shù)量關(guān)系說明理由．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】軸對稱中的15道翻折問題專訓(xùn)1．（2023秋·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一張三角形紙片ABC，，點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AC上，將沿BE折疊，使點(diǎn)C落在邊AC上的點(diǎn)D處，若，則（

）A．18° B．54° C．60° D．72°2．（2022秋·廣東廣州·八年級校考期中）如圖，在三角形紙片中，，將沿折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，則折痕的長為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期末）如圖，將一個等腰直角三角形按如圖方式折疊，若，，下列四個結(jié)論：①平分；②長為；③是等腰三角形；④的周長等于的長，其中，正確的是（

）A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④4．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知長方形紙片，點(diǎn)，在邊上，點(diǎn)，在邊上，分別沿，折疊，使點(diǎn)和點(diǎn)都落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）將一張正方形紙片按如圖所示的方式折疊，、為折痕，點(diǎn)折疊后的對應(yīng)點(diǎn)分別為，若，則的度數(shù)為（）A．48° B．46° C．44° D．42°6．（2023春·福建福州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)、處．若，，則與之間的數(shù)量關(guān)系可用等式表示為___________．

7．（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在和中，，，相交于點(diǎn)E，．將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的大小為________．

8．（2023春·江蘇·七年級統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D將折疊，使點(diǎn)C落在下方的點(diǎn)處，折痕與交于點(diǎn)E，當(dāng)與的一邊平行時，的度數(shù)為___________．

9．（2022春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖是一張直角三角形紙片，其中．請按下列步驟操作：①沿的垂直平分線/折疊，折痕與交于點(diǎn)D：②沿過點(diǎn)C的直線l，折疊，使點(diǎn)A落到上的點(diǎn)E處，若，則的度數(shù)為__________．10．（2022春·江西撫州·七年級統(tǒng)考期末）已知，點(diǎn)P是射線BC上一動點(diǎn)，把沿AP折疊，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，當(dāng)是等腰三角形時，的度數(shù)為______．11．（2023春·山西臨汾·七年級統(tǒng)考期末）綜合與探究一張直角三角形紙片，，其中，D，E分別是邊上一點(diǎn)．將沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)如圖1，若，則______°，______°．(2)如圖2，若點(diǎn)落在直角三角形紙片上，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，若點(diǎn)落在直角三角形紙片外，（2）中與的數(shù)量關(guān)系還成立嗎?若成立，請說明理由；若不成立，請求出與的數(shù)量關(guān)系．12．（2023春·廣東梅州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖1，一張三角形紙片，點(diǎn)D，E分別是邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，則與的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．

13．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）已知是一張三角形的紙片．(1)如圖①，沿折疊，使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)的位置，與的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(2)如圖②所示，沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部點(diǎn)的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(3)如圖③，沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？14．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）同學(xué)們，我們已學(xué)習(xí)了角平分線的概念和性質(zhì)，那么你會用它們解決有關(guān)問題嗎？(1)如圖（1），已知，填空：∵是的平分線（已知）∴________________________(2)如圖（2），已知，若將沿著射線翻折，射線落在處，請你畫出射線，射線一定平分．為什么？理由如下：∵是由翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，∴________，∴射線________是∠________的角平分線．拓展應(yīng)用(3)如圖（3），將長方形紙片的一角折疊，使頂點(diǎn)A落在C處，折痕為，再將它的另一個角也折疊，頂點(diǎn)B落在D處并且使過點(diǎn)C，折痕為．直接利用（2）的結(jié)論；①若度，求的度數(shù)；②若度，求的度數(shù)；③的補(bǔ)角有________；的余角有________．15．（2023秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓學(xué)生以“折疊箏形”為主題開展數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動．定義：兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”．(1)概念理解如圖1，將一張紙對折壓平，以折痕為邊折出一個三角形，然后把紙展平，折痕為四邊形．判斷四邊形的形狀：_______________箏形（填“是”或“不是”）(2)性質(zhì)探究如圖2，已知四邊形紙片是箏形，請用測量、折疊等方法猜想箏形的角、對角線有什么幾何特征，然后寫出一條性質(zhì)并進(jìn)行證明．(3)拓展應(yīng)用如圖3，是銳角的高，將沿AB邊翻折后得到，將沿AC邊翻折后得到，延長EB，F(xiàn)C交于點(diǎn)G．①請寫出圖3中的“箏形”：____________；（寫出一個即可）②若，當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù)．軸對稱中的15道旋轉(zhuǎn)問題專訓(xùn)1．（2023·廣東深圳·?？既＃┕糯笮臀淦魍妒瘷C(jī)，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機(jī)的側(cè)面示意圖．為炮架的炮梢兩頂點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)到炮軸O的距離分別為1米和8米，當(dāng)炮索自然垂落垂直于地面時，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動炮索，炮梢繞炮軸O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為．當(dāng)炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時，若垂直地面，，此時，到水平地面的距離是（

）米

A．12 B． C． D．212．（2022春·上海普陀·七年級?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊，分別交，于點(diǎn)，，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)不與、重合），以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④．其中一定正確的結(jié)論有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個3．（2022春·湖南張家界·七年級統(tǒng)考期末）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100°得到（點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)），連接，若，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．45°4．（2021秋·山東日照·八年級日照港中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知與都是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接．以下三個結(jié)論：①；②；③；其中結(jié)論正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．05．（2023春·全國·八年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，將△ABC繞點(diǎn)A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜∠BAC）得到△ADE，AD交BC于點(diǎn)F，DE交BC、AC于點(diǎn)G、H，則以下結(jié)論：①△ABF≌△AEH；②連接AG、FH，則AG⊥FH；③當(dāng)AD⊥BC時，DF的長度最大；④當(dāng)點(diǎn)H是DE的中點(diǎn)時，四邊形AFGH的面積等于AF×GH．其中正確的個數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個6．（2022秋·黑龍江大慶·七年級大慶市第三十六中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知中，，，直角的頂點(diǎn)是的中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，給出以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時（點(diǎn)E不與A、B重合），上述結(jié)論中始終正確的有_______（填序號）．7．（2022秋·河南南陽·七年級統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺固定不動，將含30°的三角尺繞頂點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)時，此時.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則（）其他所有可能符合條件的度數(shù)為_______8．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一款折疊式臺燈，其側(cè)面示意圖為折線A?B?C?D，∠C=60°，連接BD，∠CBD=80°，線段AB繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB的延長線與射線CD相交與點(diǎn)E，當(dāng)∠ABC為______度時，△BDE是等腰三角形．9．（2021秋·福建南平·八年級?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC=2，把一個三角尺的直角頂點(diǎn)與BC邊的中點(diǎn)O重合，且兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B．夢想飛揚(yáng)學(xué)習(xí)小組將三角尺繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意一個銳角，當(dāng)三角尺的兩直角邊與AB，AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)時，給出下列結(jié)論：①線段AE與AF的長度之和為定值；②∠BEO與∠OFC的度數(shù)之和為定值；③四邊形AEOF的面積為定值．其中正確的是：_______________．（填序號）10．（2021秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)校考期中）如圖，在中，，點(diǎn)在內(nèi)，將以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，點(diǎn)M落在點(diǎn)N處，若,且B、M、N三點(diǎn)恰共線，則=_______．11．（2022秋·海南省直轄縣級單位·八年級校考階段練習(xí)）已知：如圖1，點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)求證：為等邊三角形；(3)將繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，其他條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷第（1）小題的結(jié)論是否仍然成立（不要求證明）．12．（2022秋·山東德州·八年級?？计谥校┤鐖D1，在中，于，，D是AE上的一點(diǎn)，且，連接、．(1)試判斷BD與AC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若將繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，仍然有，，試判斷與的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，并說明理由；(3)如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變：①試猜想與的數(shù)量關(guān)系，不用說明理由；②你能求出與所成的銳角的度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出該角的度數(shù)；如果不能，請說明