第14講 圓周角和圓心角的關(guān)系（原卷版）

第14講圓周角和圓心角的關(guān)系目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)1.理解圓周角的定義，掌握圓周角定理及其推論，并能進(jìn)行簡單的推理和計(jì)算。2.知道圓內(nèi)接四邊形的相關(guān)概念和性質(zhì)。3.體會(huì)分類、歸納等數(shù)學(xué)思想方法，提高自己解決問題的能力。知識精講知識精講知識點(diǎn)01圓周角的定義頂點(diǎn)在上，兩邊分別與還有另一個(gè)的角叫做圓周角。注意：（1）圓周角具備兩個(gè)特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交（相交指的是除了頂點(diǎn)外，角兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)）。（2）圓周角可以是銳角，也可以是直角或鈍角。（3）一條弧所對的圓周角有無數(shù)個(gè)。知識點(diǎn)02圓周角定理1.圓周角定理：

圓周角的度數(shù)等于的一半.2.圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的；推論2：直徑所對的圓周角是，90°的圓周角所對的弦是．注意：

(1)圓周角必須滿足兩個(gè)條件：①頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.（3）圓心與圓周角存在三種位置關(guān)系：圓心在圓周角的一邊上；圓心在圓周角的內(nèi)部；圓心在圓周角的外部．（如下圖）

知識點(diǎn)03圓內(nèi)接四邊形1.圓內(nèi)接四邊形定義：四邊形的，像這樣的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形，這個(gè)圓叫做四邊形的外接圓.2.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，則∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.注意：當(dāng)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)不同時(shí)在一個(gè)圓上時(shí)，四邊形的對角是不互補(bǔ).能力拓展能力拓展考法01圓周角、圓心角、弧、弦之間的關(guān)系及應(yīng)用【典例1】如圖中，，以C為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)D，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，梯形ABCD中，，有一圓O通過A、B、C三點(diǎn)，且AD與圓O相切于A點(diǎn)若，則的度數(shù)為何？（

）A．116 B．120 C．122 D．128【典例2】如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C，D在上．若，則的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【即學(xué)即練】如圖，四個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形，A、B、O是小正方形頂點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是⊙O上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則sin∠APB等于（

）A． B． C． D．1考法02圓周角定理及應(yīng)用【典例3】如圖，點(diǎn)A、B、C是上的點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【即學(xué)即練】如圖，為的直徑，弦交于點(diǎn)E，，，，則（）A． B． C．2 D．1【典例4】如圖，是的弦，，C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且．若M，N分別是，的中點(diǎn)，則長的最大值是（）A．3 B．6 C． D．【即學(xué)即練】如圖，為的弦，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，若點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，則長的最大值是（

）A．4 B．5 C． D．考法03圓內(nèi)接四邊形及應(yīng)用【典例5】如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，E是延長線上一點(diǎn)．若，則的度數(shù)是（）A．124° B．114° C．94° D．66°【即學(xué)即練】如圖，點(diǎn)A、B、C在上，點(diǎn)D是延長線上一點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【典例6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠C=120°．若AD=2，則AB的長為（）A． B．2 C．2 D．4【即學(xué)即練】如圖，已知為四邊形的外接圓，，，則的半徑長為（

）A． B． C． D．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列四邊形：①平行四邊形；②矩形；③菱形；④正方形，其中四個(gè)頂點(diǎn)一定能在同一個(gè)圓上的有（）A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④2．下列關(guān)于圓的命題中：①直徑是弦；②長度相等的弧是等弧；③矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；④圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是圓的對稱軸；⑤平分弦的直徑一定垂直于這條弦；⑥圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；⑦相等的圓心角所對的弧相等，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)3．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠BDC＝130°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．130° B．120° C．110° D．100°4．如圖，是的直徑，是的弦，已知，則的度數(shù)為（）A．20° B．30° C．40° D．50°5．如圖，是半圓的直徑，D是弧的中點(diǎn)，，則的度數(shù)是（

）．A．55° B．60° C．65° D．70°6．已知在圓的內(nèi)接四邊形中，，則等于（

）A． B． C． D．7．如圖，是的直徑，上的兩點(diǎn)A，B分別在直徑的兩側(cè)，且，則__________．8．如圖，AB是的直徑，C、D在上，若，則______．9．如圖，是直徑，是的弦，，求的度數(shù)．10．已知，如圖，在中，，以腰為直徑作半圓O，分別交于點(diǎn)D，E．(1)求證：；(2)若，求圓弧所對的圓心角的度數(shù)．題組B能力提升練1．如圖，內(nèi)接于，，，垂足為點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接，則的大小為（

）A． B． C． D．2．如圖，線段是的直徑，如果，那么的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．如圖，是⊙O的直徑，弦，，若動(dòng)點(diǎn)M以的速度從C點(diǎn)出發(fā)沿著C到A的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著A到B的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)N也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)是直角三角形時(shí)，t的值為（

）A． B．5s C． D．或4．如圖，為的直徑，C為上一點(diǎn)，其中，，P為上的動(dòng)點(diǎn)，連接，取中點(diǎn)Q，連接，則線段的最大值為（）A． B． C． D．5．在中，直徑，是弦，，點(diǎn)是弦上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是(

)(為此，我校數(shù)學(xué)興趣小組的部分同學(xué)做了如下探究，如圖，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，得，從而，…順著同學(xué)們的思路請你做出正確的選擇)A． B． C． D．6．下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①任意三點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；②相等的圓心角所對的弧相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；④圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)；⑤三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)7．如圖，在中，是的直徑，，，點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于的對稱點(diǎn)，M是上的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②；③；④的最小值是10，其中正確的序號是_______．8．如圖，點(diǎn)A，B，C都在上，如果，那么的度數(shù)為___________．9．如圖，已知是的內(nèi)接三角形，是的直徑，連接．(1)若，求的度數(shù)．(2)若平分，求的長．10．如圖1，在中，，過點(diǎn)A作直線，使，過點(diǎn)B作于點(diǎn)N，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M．(1)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)求證：；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)G，若，，求的長．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，半徑為，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，連接作，垂足為F，連接．則長的最小值為（

）A． B．1 C． D．2．如圖，是直徑，，點(diǎn)，是圓上點(diǎn)，，，點(diǎn)是劣弧上的一點(diǎn)（不與，重合），則的長可能為（

）A．7 B．8 C．9 D．103．以為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板按如圖方式擺放，量角器的刻度線與斜邊重合．點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn)，作射線交弧于點(diǎn)，如果點(diǎn)所對應(yīng)的讀數(shù)為，那么的大小為（

）A． B． C． D．4．如圖，是等邊的外接圓，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)最長時(shí)，；④，其中一定正確的結(jié)論有（

）A．①④ B．①②③ C．①③ D．①③④5．如圖，是的高，若，，則長的最大值為（

）A． B． C．2 D．46．某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O．A，B是舞臺(tái)邊緣上兩個(gè)固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺(tái)某種型號的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示．若在B處再安裝一臺(tái)同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（

）①在M處放置2臺(tái)該型號的燈光裝置②在M，N處各放置1臺(tái)該型號的燈光裝置③在P處放置2臺(tái)該型號的燈光裝置A．① B．①② C．②③ D．①②③7．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，對角線、交于點(diǎn)，，的半徑為1，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍______．8．如圖，是的直徑，，C為半圓O的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)A），P為上一動(dòng)點(diǎn)．若D為的中點(diǎn)，