2023屆江蘇省揚中市重點中學高三年級上冊期末數(shù)學模擬試題（含答案）

揚中市重點中學2022-2023學年高三上學期期末數(shù)學模擬試題

一、單選題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每小題提供的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知4={xy=ln(x-l)+—>B=<xlog2x>.則(津)為(C)

A.(-oo,0]B.(-℃,—]C.(-oo,l]D.(-oo,2]

2

2."a>0"是'’點(0,1)在圓x2+y2-2“x-2〉+a+l=0外”的(B)

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.己知a=#^，b=log5±,c=(')29,則(B)

二21J

C.b>c>aD.c>a>b

則。的取值范圍是(A)

CD.(0』

5.已知函數(shù)/（司=晦,臃2］，若/（玉）=/（元2）（其中Xf.），則f的最小值為

B)

33

A.-B.-C.2D.4

42

22

6.若雙曲線C:=—4=1（。>0/>0）的漸近線與圓。一3）2+：/=1無交點，則C的離心率的取值范

a~b~

7.已知函數(shù)/（x）=xe、，函數(shù)

力（x）=—,函數(shù)

力（x）=2些，函數(shù)

X

veinV

力（司=一萬一，四個函數(shù)的圖

象如圖所示，則工（X），力（X），力（X），力（X）的圖象依次為（A）

A.①②③④B.夠④③C.②①③④D.②①④③

8.2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學中也有一朵美

麗的雪花一“科赫雪花”.它可以這樣畫，任意畫一個正三角形耳，并把每一邊三等分：取三等分后的一

邊中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段"擦掉，形成雪花曲線舄；重復上述兩步，畫出更小

的三角形.一直重復，直到無窮，形成雪花曲線，鳥,鳥,…，匕，….設雪花曲線《的邊長為耳，邊數(shù)為"，

周長為/“，面積為S,，若4=3,則下列說法正確的是（B）

Q

B.S]WS3<《S[

c.{凡},{2},{/,,},{5,,}均構成等比數(shù)列

D.S“=S,I+?4T

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.對任意實數(shù)X,有（2%-3）9=%+4*-1）+。2（龍-1）2+。3（%-1）3++。9（尤-1）9?則下列結論成立的

是（BCD）

A.%=1B./=—144

C.%+4+/+L+%=1D.%—q+%—%+,,,一%=—3“

°,|lnx|,x>0）1

10-設函數(shù)若方程"⑼2—次冷+而=°有六個不等的實數(shù)根，則實數(shù)〃可

取的值可能是（BC）

12

A.—B.一C.1D.2

23

11.如圖，8是AC的中點，BE=2OB，尸是平行四邊形BCDE1內(nèi)（含邊界）的

一點，且QP=xQA+yO3（x,y￡R）,則下列結論正確的為（BCD）

A.當x=0時，ye[2,3]

B.當P是線段CE的中點時，x=-1,y=3

c.若x+y為定值1,則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段

D.工一丁的最大值為—1

12.在矩形ABC。中，A3=2，AD=bE為QC的中點.將△CBE繞直線BE旋轉至aGBE的位置,

尸為AG的中點，則（BC）

A.存在某個位置，使得BE_LAGB.存在無數(shù)個位置，使得Ob〃平面GBE

C.當二面角G-6E—A為120。時，點尸到平面的距離為逅

4

D.當四棱錐ABE。的體積最大時，以A￡為直徑的球面與被平面GBE截得的交線長為

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填

寫在答題卡相應位置上.

13.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學著作之一.書中有一道這樣的題目：把100個面包分給5個人,

使每人所得份量成等差數(shù)列，且較大的三份之和的）是較小的兩份之和，則最小一份的量為一三

14.重慶八中某次數(shù)學考試中，學生成績X服從正態(tài)分布（105,貫）.若尸。嶗h120）=1,則從參加這

次考試的學生中任意選取3名學生，至少有2名學生的成績高于120的概率是—.

32

15.在4ABC中，a,Z?,c分別是角A,B,C的對邊，已知sin（2A+上）=1*,b=l,AABC的面積為也，

622

則一—的值為2.

sinB+sinC

221

16.已知橢圓Cr：A方=l("">0),C的上頂點為A,兩個焦點為耳，生，離心率為已.過耳且

垂直于AE的直線與C交于。，后兩點，MDE的周長是13,則|QE|=—6—.

四、解答題：本大題共6小題，共70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應寫出文字說明

、證明過程或演算步驟.

17.在△ABC中，a,Z?,c分別是角A,B,C的對邊，已知bcosA+趙^=c.

3

(1)求cos3；

(2)如圖，。為AA8C外一點，若在平面四邊形ABCD中，D=2B,且AD=LCD=3,BC=46,

求A3的長

17.解：(1)QsinBcosA+^^sinA=sinC，

又c=x-a+場.

所以smBco$4+?$jnd-

故sinScosA+彎sin.4-sinJcosB+cosJsinB.

所以sinJcosB~^smA,

又dw(0.jt).所以sin/KO,故cosB一害.

(2)因為D=1B,所以cos。-2cos'B—1=一5

又在ZUCD中.AD^l,CD=3.

所以由余弦更度可祥/Wv.Q+C〃-UDCDcosD

=l+9-2x3x(-l)=12>

所以/c=H5.

在ZUBC中.BC-^6.AC=lyJi.cosB普.

所以由余弦定等可得，0—4￥+80-乂3BCcosB.

即12=.0+6-2.4Bx#x坐化曾得.0-旭5-6=0.

解存.4=3啦.

故.空的長為3s.

18.已知等差數(shù)列｛叫前〃項和為S“,S4=4s2,%=2a“+1(〃GN*)；數(shù)列也｝是等比數(shù)歹U，且4=2,

地,2b3,4成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛4｝,｛2｝的通項公式；

(2)若數(shù)列也｝的前”項和為T“，求97；+6〃x(—2)向的表達式.

18.解：(1)設｛4｝公差為d,

54=4s2=>4q+4(丁)[=4(2a,+d)=d=2q,

a,”=2a“+1—q+(2〃—1)d=2[4+(〃—l)d]+1-%-d+1=0,

聯(lián)立解得：4=1,。=2,.??4=2〃-1；

設也｝公比為

4b2、2b3、4成等差數(shù)列=>4仇+a=44=>4+/=4q=(g-2)2=0=>q=2,

:也=2?i=2".

故a“=2〃-1,bn=2".

(2)令(一1)%也=(-1)"(2n-l)-2n=c?,

則C2“+C2"T=(44+1)""，

當〃為偶數(shù)時，

(=C]+<?2++Cn,

7；,=5.2'+9-23++(2〃+1>2”1①

47；,=5-23++(2〃一312"1+(2〃+1>2向，②

①一②得：-37；=5-2+4-23+4-25+.+4-2B-1-(2n+l)-2n+1,

/n-]、

8-1-4r/、,

,,+l

IJz?+1(6n-l)-2+2-

—37；=10+4?-1_4一(2〃+l>2向n7；,=\一勺-------

當〃為奇數(shù)時，7；=7；,_,+c,,=伍〃二7〉2+2_但〃—1）.2"，

9

???"為偶數(shù)時，

94+6〃?（-2）'用=（6〃-1）?2向+2-6〃?2'用=2-2"+i,

”為奇數(shù)時，

97；,+6n?（-2）'用=（6〃—7）?2"+2—9?（2〃-1）?2"+6〃?2"1=2'用+2.

19.史明理，學史增信，學史崇德，學史力行.近年來，某市積極組織開展黨史學習教育的活動，為調查

活動開展的效果，市委宣傳部對全市多個基層支部的黨員進行了測試，并從中抽取了1000份試卷進行調

查，根據(jù)這1000份試卷的成績（單位：分，滿分100分）得到如下頻數(shù)分布表:_____________________

成績/分165,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數(shù)40902004001598040

（1）求這1000份試卷成績的平均數(shù)?（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

（2）假設此次測試的成績X服從正態(tài)分布N3,/）,其中〃近似為樣本平均數(shù)，，近似為樣本方差52,已知

s的近似值為6.61,以樣本估計總體，假設有84.14%的學生的測試成績高于市教育局預期的平均成績，則

市教育局預期的平均成績大約為多少（結果保留一位小數(shù)）？

（3）該市教育局準備從成績在［90,100］內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再從這6份試卷中隨

機抽取3份進行進一步分析，記丫為抽取的3份試卷中測試成績在［95,100］內(nèi)的份數(shù)，求丫的分布列和數(shù)

學期望.

參考數(shù)據(jù)：若X~N@,『），則P（〃一<r<XW〃+<7）=?0.6827,尸@一2<7<*?〃+2<7）七0.9545,

p（/i-3。VXW"+3加0.9973.

19.解：⑴由己知得:

4090200-40015080小°40仙「。一。

JC=------,67.5?*72.5+------*77.5^*82.5+------*87.5?,92.$?*97.5=8215

1000100010001000100010001000

(2)由已卻尸(x>〃-。)=P(x>75.54)=1+°=o84135,

答：市委宣傳部預期平均成績大約為75.5分；

(3)由分層油樣得抽取的6分試卷中2份在［95,100)內(nèi)，4份在［90,95)內(nèi)，Y的可能取值為0.IZ

則%=。)=等=，(丫=|)=等="?=2)=等4

即Y的分布列為:

Y0\2

P3￡

555

所以￡(丫)=1

20.如圖，在梯形A3CD中，/朋D為直角，AD//BC，AB=AD=；BC=20,將三角形械)沿

8D折起至P3D.,

(1)若平面P8D1平面3CQ,求證：A|--------------火/卜F一

PB1PC-,0斤

(2)設￡是PC的中點，若二面角￡一班)一C/\/zX

為30。，求二面角產(chǎn)一比)一。的大小./\

20.解：(1)由題設知：B°

△PBD為等腰直角三角形且PBLPD,

PB=PD=2y/2,則2。=4,

又NDBC=45°,BC=4五,

在△BCD中由余弦定理得：CD=4,r

所以BD2+CD2=BC2,即3D_LCO,AS.

法一：又面P8Q_L面BCD,/?

面PB。ffiBCD=BD,CDU面BCD,/!

所以CD上平面PBD,PBu面PBD,/

則CDLPB,乂PDcCD=D,3，「…:二冬

所以PB上面PCD,PCu面PCD,MPB±PC.

法二：取B￡>中點Q,連接CQ,

在Rt&CDQ中CQ?=DQ2+CD2=20,/,,：

連接PQ，則尸。=2且PQ,8。，

又面PBQ_L面BCQ,面?BCD=BD,尸。<=面28。，

所以P。，面BC￡>,CQu面BCD,則PQLCQ,I'

在R2PQC中PC2=PQ2+CQ2=24,又3c2=32,

所以，在APBC中BC~=PB-+PC2?即PBLPC.

(2)法一：設M、N分別是8。、8c的中點，連接PM、MN,

則PM1BD，MN上BD,

又PMcMN=M,則BD1面/W,

所以NPMN是二面角尸一皮)一。的平面角.

在面/W上過M作MzlMN,

如圖以M為原點，直線MB為X軸，直線MN為y軸，直線此為z軸，建立空間直角坐標系.

則3(2,(),()),C(-2,4,0),0(—2,0,0),設4PMN=e,6G(0,%)，

則P(0,2cos6,2sin6),E(-1,cos0+2,sin0],

故BE=(-3,cos8+2,sin9),=(4,0,0).

設面BOE的法向量為〃=(x,y,z「

n-BE--3x+[cosO+2^y+sinOz-Q

則！

n-DB=4x=0,

Wy=sin6,得〃=(0,sine,-cos8+2).

顯然平面BC￡＞的一個法向量為劭=(0,0,1)

2+cos0

因為，二面角E—8D—C為30。，則cos(外々

ln|llffi|Jsin?6+(2+cosGJ

i2萬

整理得4cos2，+4cos9+1=0，解得cos。=一大，所以6=：-

23

24

所以，二面角P—8。一。的大小為行.

法二：由(1)法二：PQ1BD,取8c中點F,

連接QF,則QF//CD且QF=gCD=2,

所以QFLBD,又PQcQF=Q,

則3D1面PQF,

則NPQF為二面角P-BD-C的平面角，

連接P尸交8E于M,連接QM,且QMu平面PQF,

所以BO1.QM,則NMQF為二面角E-BD-C的平面角，且NMQF=30。,

s-QFQM-sin30°]

易知：M是△PBC的重心，則五7=3，即sQF"=丁^------------------——J

PM2>QPM^QP.QMsinZPQM2

所以NPQM=90。，故NPQF=120。，即二面角P-3Q-。的大小是120。.

22

21.已知雙曲線C:=-當=1(°>06>0)的實軸長為2.點(77,-1)是拋物線E:/=2py的準線與C的一個交

a'b~

點.

(1)求雙曲線C和拋物線E■的方程；

(2)過雙曲線C上一點P作拋物線E的切線，切點分別為A,B.求面積的取值范圍.

21.解：(1)由題，a=\,又點(近,_1)在雙曲線上，故7__L=1，解得&2=L

b26

故雙曲線方程為一-6尸=1；

又點訴-1)過拋物線E:x?=2”的準線，故々I，即P=2,

故E:Y=4y

(2)顯然直線A8斜率存在，故設直線A8方程為卜=履+機，A(玉,yj,5(X2,%)，

{y=kx+m,c

工2=4),有1-4Ax-4m=0?

11

故西+々=4&,玉％2=T相，又E:y=一r7，yf=-X,

42

故切線AP:y_y=g玉(尢_玉)，結合％整理得丁=：%^_；玉2,

110

同理切線32：》=一/不——占2,

"2■4~

兀二3+%2

12即1x—2,,故P(2k,-ni).

聯(lián)立解得

=-m'7

又s

3(\IYT-J-1

=4/2+機卜，且(24)2—6(-,〃)2=1,即公=*