新教材高中數(shù)第9章統(tǒng)計(jì)9簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE10-9.1隨機(jī)抽樣9.學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．通過實(shí)例，了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程．(重點(diǎn))2．掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念和應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．在我國(guó)，食品安全問題越來越受到人們的關(guān)注，黨中央、國(guó)務(wù)院和各級(jí)政府部門也高度重視，從制度建設(shè)和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．問題：某報(bào)告稱，食品質(zhì)量檢測(cè)人員對(duì)某品牌牛奶的抽檢合格率為99.9%，你知道這一數(shù)據(jù)是怎么得到的嗎？知識(shí)點(diǎn)1全面調(diào)查和抽樣調(diào)查調(diào)查方式普查抽樣調(diào)查定義對(duì)每一個(gè)調(diào)查對(duì)象都進(jìn)行調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查根據(jù)一定目的，從總體中抽取一部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，并以此為依據(jù)對(duì)總體的情況作出估計(jì)和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查相關(guān)概念總體：在一個(gè)調(diào)查中，我們把調(diào)查對(duì)象的全體稱為總體．個(gè)體：組成總體的每一個(gè)調(diào)查對(duì)象稱為個(gè)體樣本：我們把從總體中抽取的那部分個(gè)體稱為樣本．樣本量：樣本中包含的個(gè)體數(shù)稱為樣本量1．下列調(diào)查方式中，適合用普查的是()A．調(diào)查春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)的收視率B．了解某漁場(chǎng)中青魚的平均質(zhì)量C．了解某批次華為手機(jī)的使用壽命D．了解一批汽車的剎車性能D[了解汽車的剎車性能，因?yàn)樯婕叭松戆踩?，且?duì)汽車沒有破壞性，因此，應(yīng)采用普查的方式．]2．某校共有1005名高三學(xué)生參加2020年上學(xué)期開學(xué)考試，為了了解這1005名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，決定從中抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．下列敘述錯(cuò)誤的是()A．總體是1005名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)B．樣本量是50C．個(gè)體是每一名學(xué)生D．樣本是50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)C[個(gè)體是每一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)．]知識(shí)點(diǎn)2簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念1．放回與不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本2．抽簽法先把總體中的個(gè)體編號(hào)，然后把所有編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號(hào)簽，并將這些小紙片放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢瑁詈髲暮兄胁环呕氐刂饌€(gè)抽取號(hào)簽，使與號(hào)簽上的編號(hào)對(duì)應(yīng)的個(gè)體進(jìn)入樣本，直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù)．3．隨機(jī)數(shù)法(1)定義：先把總體中的個(gè)體編號(hào)，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生與總體中個(gè)體數(shù)量相等的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，并剔除重復(fù)的編號(hào)，直到抽足樣本所需要的個(gè)體數(shù)．(2)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法：①用隨機(jī)試驗(yàn)生成隨機(jī)數(shù)；②用信息技術(shù)生成隨機(jī)數(shù)．1．采用抽簽法抽取樣本時(shí)，為什么將編號(hào)寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號(hào)簽，并將這些小紙片放在一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?？[提示]為了使每個(gè)號(hào)簽被抽取的可能性相等，保證抽樣的公平性．2．抽簽法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)？[提示](1)優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單易行，當(dāng)總體的個(gè)體數(shù)不多時(shí)，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，這時(shí)，每個(gè)個(gè)體都有均等的機(jī)會(huì)被抽中，從而能夠保證樣本的代表性．(2)缺點(diǎn)：僅適用于個(gè)體數(shù)較少的總體，當(dāng)總體容量較大時(shí)，費(fèi)時(shí)費(fèi)力又不方便，況且，如果號(hào)簽攪拌的不均勻，可能導(dǎo)致抽樣不公平．3．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)抽簽法和隨機(jī)數(shù)法都適用于總體容量和樣本容量較小時(shí)的抽樣． ()(2)利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，選定的初始數(shù)是任意的，但讀數(shù)的方向只能是從左向右讀． ()(3)利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，若總體容量為100，則給每個(gè)個(gè)體分別編號(hào)為1,2,3，…，100． ()[答案](1)√(2)×(3)×4．使用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從1000件產(chǎn)品中抽出50件進(jìn)行某項(xiàng)檢查，合適的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機(jī)數(shù)法C．隨機(jī)抽樣法 D．以上都不對(duì)B[由于總體相對(duì)較大，樣本容量較小，故采用隨機(jī)數(shù)法較為合適．]知識(shí)點(diǎn)3總體均值和樣本均值1．總體均值：一般地，總體中有N個(gè)個(gè)體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i為總體均值，又稱總體平均數(shù)．2．總體均值加權(quán)平均數(shù)的形式：如果總體的N個(gè)變量值中，不同的值共有k(k≤N)個(gè)，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)fi(i＝1,2，…，k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式eq\x\to(Y)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)iYi．3．如果從總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i為樣本均值，又稱樣本平均數(shù)．5．用抽簽法抽取的一個(gè)容量為5的樣本，它們的變量值分別為2,4,5,7,9，則該樣本的平均數(shù)為()A．4.5B．4.8C．5.4D．6C[eq\x\to(y)＝eq\f(2＋4＋5＋7＋9,5)＝5.4．]6．已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，則(xi＋yi)＝________，xiyi＝________．030[(xi＋yi)＝xi＋yi＝(－1＋0＋1)＋(－2＋0＋2)＝0，＝2＋0＋2＋8＋18＝30．]類型1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的判斷【例1】下列5個(gè)抽樣中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)是()①一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件；②倉(cāng)庫中有1萬支奧運(yùn)火炬，從中一次性抽取100支火炬進(jìn)行質(zhì)量檢查；③某班從50名同學(xué)中，選出5名數(shù)學(xué)成績(jī)最優(yōu)秀的同學(xué)代表本班參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽；④一彩民選號(hào)，從裝有36個(gè)大小、形狀都相同的號(hào)簽的盒子中無放回地抽出6個(gè)號(hào)簽．A．0B．1C．2D．3B[根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)逐個(gè)判斷．①不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．因?yàn)橐粌和瘡耐婢呦涞?0件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件它不是“逐個(gè)”抽取．②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個(gè)抽取”不影響個(gè)體被抽到的可能性，但簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求的是“逐個(gè)抽取”．③不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．因?yàn)?名同學(xué)是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不同，不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣中“等可能抽樣”的要求．④是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．因?yàn)榭傮w中的個(gè)體數(shù)是有限的，并且是從總體中逐個(gè)進(jìn)行抽取的，等可能的抽樣．綜上，只有④是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．]具備哪些特征的抽樣才是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣？[提示](1)被抽取樣本的總體中的個(gè)體數(shù)N是有限的；(2)抽取的樣本是從總體中逐個(gè)抽取的；(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種等可能的抽樣．如果三個(gè)特征有一個(gè)不滿足，就不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．為了進(jìn)一步嚴(yán)厲打擊交通違法，交警隊(duì)在某一路口隨機(jī)抽查司機(jī)是否酒駕，這種抽查是()A．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 B．抽簽法C．隨機(jī)數(shù)法 D．以上都不對(duì)D[由于不知道總體的情況(包括總體個(gè)數(shù))，因此不屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．]類型2抽簽法的應(yīng)用【例2】從20架鋼琴中抽取5架進(jìn)行質(zhì)量檢查，請(qǐng)用抽簽法確定這5架鋼琴．[解]第一步，將20架鋼琴編號(hào)，號(hào)碼是01,02，…，20．第二步，將號(hào)碼分別寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片上作為號(hào)簽．第三步，將小紙片放入一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)噭颍谒牟?，從盒中不放回地逐個(gè)抽取5個(gè)號(hào)簽，使與號(hào)簽上編號(hào)相同的鋼琴進(jìn)入樣本．1．一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是制簽是否方便；二是個(gè)體之間差異不明顯．2．應(yīng)用抽簽法時(shí)應(yīng)注意的問題(1)編號(hào)時(shí)，如果已有編號(hào)可不必重新編號(hào)．(2)號(hào)簽要求大小、形狀完全相同．(3)號(hào)簽要均勻攪拌．(4)根據(jù)實(shí)際需要采用有放回或無放回抽?。甧q\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．為迎接2022年北京冬奧會(huì)，奧委會(huì)現(xiàn)從報(bào)名的某高校30名志愿者中選取6人組成奧運(yùn)志愿小組，請(qǐng)用抽簽法設(shè)計(jì)抽樣方案．[解](1)將30名志愿者編號(hào)，號(hào)碼分別是01,02，…，30．(2)將號(hào)碼分別寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片上作為號(hào)簽．(3)將小紙片放入一個(gè)不透明的盒里，充分?jǐn)噭颍?4)從盒中不放回地逐個(gè)抽取6個(gè)號(hào)簽，使與號(hào)簽上編號(hào)相同的志愿者進(jìn)入樣本．類型3隨機(jī)數(shù)法及樣本平均數(shù)的綜合應(yīng)用【例3】某市質(zhì)監(jiān)局要檢查某公司某個(gè)時(shí)間段生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從500袋牛奶中抽取10袋進(jìn)行檢驗(yàn)．(1)利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，應(yīng)如何操作？(2)如果用隨機(jī)試驗(yàn)生成部分隨機(jī)數(shù)如下所示，據(jù)此寫出應(yīng)抽取的袋裝牛奶的編號(hào)．162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667．(3)質(zhì)監(jiān)局對(duì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶檢驗(yàn)的質(zhì)量指標(biāo)有兩個(gè)：一是每袋牛奶的質(zhì)量滿足500±5g，二是10袋質(zhì)量的平均數(shù)≥500g，同時(shí)滿足這兩個(gè)指標(biāo)，才認(rèn)為公司生產(chǎn)的牛奶為合格，否則為不合格．經(jīng)過檢測(cè)得到10袋袋裝牛奶的質(zhì)量(單位：g)為：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499．計(jì)算這個(gè)樣本的平均數(shù)，并按照以上標(biāo)準(zhǔn)判斷牛奶質(zhì)量是否合格．1．某工廠有2000名工人，從中選取20人參加職工代表大會(huì)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法進(jìn)行抽樣，是用抽簽法還是隨機(jī)數(shù)法？為什么？[提示]采用隨機(jī)數(shù)法，因?yàn)楣と巳藬?shù)較多，制作號(hào)簽比較麻煩，所以采用隨機(jī)數(shù)法．2．某工廠的質(zhì)檢人員采用隨機(jī)數(shù)法對(duì)生產(chǎn)的100件產(chǎn)品進(jìn)行檢查，若抽取10件進(jìn)行檢查，應(yīng)如何對(duì)100件產(chǎn)品編號(hào)？[提示]可對(duì)這100件產(chǎn)品編號(hào)為：001,002,003，…，100．[解](1)第一步，將500袋牛奶編號(hào)為001,002，…，500．第二步，用隨機(jī)數(shù)工具產(chǎn)生1～500范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)．第三步，把產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)作為抽中的編號(hào)，使編號(hào)對(duì)應(yīng)的袋裝牛奶進(jìn)入樣本．第四步，重復(fù)上述過程，直到產(chǎn)生不同的編號(hào)等于樣本所需要的數(shù)量．(2)應(yīng)抽取的袋裝牛奶的編號(hào)為：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068．(3)eq\x\to(y)＝eq\f(502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋499,10)＝499.8＜500，所以該公司的牛奶質(zhì)量不合格．1．該公司對(duì)質(zhì)監(jiān)部門的這種檢驗(yàn)方法并不認(rèn)可，公司自己質(zhì)檢部門抽取了100袋牛奶按照本例(3)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，統(tǒng)計(jì)得到這100袋袋裝牛奶的質(zhì)量都滿足500±5g，平均數(shù)為500.4g，你認(rèn)為質(zhì)監(jiān)局和公司的檢驗(yàn)結(jié)果哪一個(gè)更可靠？為什么？[解]該公司的質(zhì)檢部門的檢驗(yàn)結(jié)果更可靠．因?yàn)橘|(zhì)監(jiān)局抽取的樣本較少，不能很好地反映總體，該公司的質(zhì)檢部門抽取的樣本量較大，一般來說，樣本量大的會(huì)好于樣本量小的．尤其是樣本量不大時(shí)，增加樣本量可以較好地提高估計(jì)的效果．2．為進(jìn)一步加強(qiáng)公司生產(chǎn)牛奶的質(zhì)量，規(guī)定袋裝牛奶的質(zhì)量變量值為Yi＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，質(zhì)量不低于500g,0，質(zhì)量低于500g))，公司質(zhì)監(jiān)部門又抽取了一個(gè)容量為50的樣本，其質(zhì)量變量值如下：11101111001010101010111101011100010101001001010101據(jù)此估計(jì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質(zhì)量不低于500g的比例．[解]由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)＝0.56，據(jù)此估計(jì)該公司生產(chǎn)的袋裝牛奶質(zhì)量不低于500g的比例約為0.56．隨機(jī)數(shù)法的注意點(diǎn)(1)當(dāng)總體較大，樣本量不大時(shí)，可用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本．(2)用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本，為了方便，在編號(hào)時(shí)需統(tǒng)一編號(hào)的位數(shù)．(3)掌握利用信息技術(shù)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法和規(guī)則．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生的體育鍛煉情況，從甲、乙、丙3個(gè)班中，按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間(單位：h)，數(shù)據(jù)如表．甲66.577.58乙6789101112丙34.567.5910.51213.5(1)估計(jì)這個(gè)學(xué)校高一年級(jí)的學(xué)生中，一周的鍛煉時(shí)間超過10個(gè)小時(shí)的百分比．(2)估計(jì)這個(gè)學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生一周的平均鍛煉時(shí)間．[解](1)由題意知，抽取的20個(gè)學(xué)生中，一周的鍛煉時(shí)間超過10小時(shí)的有5人，故一周的鍛煉時(shí)間超過10個(gè)小時(shí)的百分比為eq\f(5,20)＝25%．(2)從甲班抽取的5名學(xué)生的總時(shí)間為6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35．從乙班抽取的7名學(xué)生的總時(shí)間為6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63．從丙班抽取的8名學(xué)生的總時(shí)間為3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66．則eq\f(35＋63＋66,5＋7＋8)＝eq\f(164,20)＝8.2．即這個(gè)學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生一周的平均鍛煉時(shí)間為8.2小時(shí)．1．(多選題)下面抽樣方法不屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是()A．從平面直角坐標(biāo)系中抽取5個(gè)點(diǎn)作為樣本B．某飲料公司從倉(cāng)庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進(jìn)行質(zhì)量檢查C．某連隊(duì)從200名戰(zhàn)士中，挑選出50名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士去參加搶險(xiǎn)救災(zāi)活動(dòng)D．從10臺(tái)手機(jī)中逐個(gè)不放回地隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)(假設(shè)10臺(tái)手機(jī)已編號(hào)，對(duì)編號(hào)進(jìn)行隨機(jī)抽取)ABC[選項(xiàng)A中，平面直角坐標(biāo)系中有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這與要求總體中的個(gè)體數(shù)有限不相符，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，一次性抽取不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣逐個(gè)抽取的要求，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，50名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的等可能性，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D符合簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的要求．]2．抽簽法確保樣本代表性的關(guān)鍵是()A．制簽 B．?dāng)嚢杈鶆駽．逐一抽取 D．抽取不放回B[若樣本具有很好的代表性，則每一個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)相等，故需要對(duì)號(hào)簽攪拌均勻．]3．“雙色球”彩票中有33個(gè)紅色球，每個(gè)球的編號(hào)分別為01,02，…，33．一位彩民用隨機(jī)數(shù)法選取6個(gè)號(hào)碼作為6個(gè)紅色球的編號(hào)，選取方法是從下面的隨機(jī)數(shù)中第1行第5列和第6列的數(shù)字開始，從左向右讀數(shù)，則依次選出來的第5個(gè)紅色球的編號(hào)為()78166572080263140214431997140198320492