山東省普高大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月聯(lián)合質(zhì)量測評試題數(shù)學(xué)

山東普高大聯(lián)考11月聯(lián)合質(zhì)量測評試題高二數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級、姓名、考號、座號填涂在相應(yīng)位置.2.選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用毫米黑色簽字筆書寫，繪圖時，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，，則、的中點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.2.已知直線，，若，則的值為（）A. B.6 C.4 D.3.過點的直線與圓相交的所有弦中，弦長最短為（）A.5 B.2 C. D.44.已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，則向量可表示為（）A.B.C.D.5.已知實數(shù)滿足方程，則最大值是（）A. B. C.0 D.6.戰(zhàn)國時期成書《經(jīng)說》記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”.這是中國古代人民首次對平面鏡反射研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B. C. D.7.已知中心在原點，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C.或 D.或8.蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（）米.（注意：?。〢. B. C. D.以上都不對二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為D.可以作為空間的一組基底10.在如圖所示的三棱錐中，，面，，下列結(jié)論正確的為（）A.直線與平面所成的角為B.二面角的正切值為C.到面的距離為D.異面直線11.已知直線和圓，則（）A.直線恒過定點B.存在使得直線與直線垂直C.直線與圓相交D.若，則圓上到直線的距離為的點有四個12.已知拋物線，焦點，過點作斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交拋物線于及兩點.則下列說法正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若，則直線的斜率為1C.若，則直線的方程為D.三、填空題：本題共4小題，每小題分，共20分.13.過、兩點直線的傾斜角為，那么實數(shù)__________.14.，，，若共面，則實數(shù)__________.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的頂點和軸都重合)，已知兩個圓錐的底面直徑均為4，側(cè)面積均為記過兩個圓錐軸的截面為平面α，平面α與兩個圓錐側(cè)面的交線為AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于AC，BD，則該雙曲線C的離心率為_______.16.如圖，已知菱形中，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和為的中點，則在翻折過程中，與的夾角為__________，點的軌跡的長度為__________．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，，向量.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量.18.已知的頂點，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的外接圓的方程.19.如圖，在長方體中，為上一點，已知，，，．（1）求直線和平面的夾角；（2）求點到平面的距離．20.已知定點，點為圓上的動點.（1）求的中點的軌跡方程；（2）若過定點的直線與的軌跡交于兩點，且，求直線的方程.21.如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.22.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊含豐富的數(shù)學(xué)知識，例如：用一張圓形紙片，按如下步驟折紙（如圖）：步驟1：設(shè)圓心是，在圓內(nèi)異于圓心處取一定點，記為；步驟2：把紙片折疊，使圓周正好通過點（即折疊后圖中的點與點重合）；步驟3：把紙片展開，并留下一道折痕，記折痕與的交點為；步驟4：不停重復(fù)步驟2和3，就能得到越來越多的折痕.現(xiàn)取半徑為4的圓形紙片，設(shè)點到圓心的距離為，按上述方法折紙.以線段的中點為原點，線段所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，記動點的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)軌跡與軸從左到右交點為點，，點為軌跡上異于，，的動點，設(shè)交直線于點，連結(jié)交軌跡于點.直線、的斜率分別為、.（i）求證：為定值；（ii）證明直線經(jīng)過軸上的定點，并求出該定點的坐標(biāo).

山東普高大聯(lián)考11月聯(lián)合質(zhì)量測評試題高二數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生先將自己的學(xué)校、班級、姓名、考號、座號填涂在相應(yīng)位置.2.選擇題答案必須使用2B鉛筆（按填涂樣例）正確填涂；非選擇題答案必須使用毫米黑色簽字筆書寫，繪圖時，可用2B鉛筆作答，字體工整、筆跡清楚.3.請按照題號在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.保持卡面清潔，不折疊、不破損.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知點，，則、的中點的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)中點坐標(biāo)公式求解.【詳解】因為，所以中點故選：B.2.已知直線，，若，則的值為（）A. B.6 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】由兩直線平行的條件求解．【詳解】因為，所以，故選：C.3.過點的直線與圓相交的所有弦中，弦長最短為（）A.5 B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】求過圓內(nèi)一點的最短弦長，可連接該點與圓心，再過該點作這條直線的垂線即得.【詳解】如圖，點在圓內(nèi)，連接，過點作直線，分別交圓于兩點，則弦長最小，理由如下：過點作任意直線，分別交圓于兩點，過點作于點，則在中，易得，因為，而，故，故弦是過點最短弦，因為，則最短弦長為.故選：D.4.已知空間四邊形，其對角線、，、分別是邊、的中點，點在線段上，且使，用向量，則向量可表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量的線性運算求解．【詳解】，．故選：D.5.已知實數(shù)滿足方程，則的最大值是（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】表示圓上的點與點的連線的斜率，數(shù)形結(jié)合可得解.【詳解】的方程可化為，它表示圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點與點的連線的斜率，設(shè)過圓上點與點的直線方程為，則圓心到直線的距離，可得，即最大值為，故選：B.6.戰(zhàn)國時期成書《經(jīng)說》記載：“景：日之光，反蝕人，則景在日與人之間”.這是中國古代人民首次對平面鏡反射的研究，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化中的數(shù)學(xué)智慧.在平面直角坐標(biāo)系中，一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出與點關(guān)于軸的對稱點，分析可知，反射光線經(jīng)過點，且與圓相切，分析可知，反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)反射光線所在直線的方程為：，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)與點關(guān)于軸的對稱，則的坐標(biāo)為，則反射光線經(jīng)過點，且與圓相切，若反射光線所在直線的斜率不存在，則反射光線所在直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意，所以，反射光線所在直線的斜率存在，設(shè)反射光線所在直線斜率為，則反射光線所在直線的方程為：，即，圓的圓心為，半徑，則由圓心到反射光線的距離等于半徑可得，即，解得：或，故選：A.7.已知中心在原點，半焦距為4的橢圓（，，）被直線方程截得的弦的中點橫坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】由點差法可得弦的中點坐標(biāo)與弦所在直線的斜率關(guān)系，運算可得解.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于兩點，弦的中點坐標(biāo)是，則，直線的斜率.由，得，得，所以，即，，，，，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：B.8.蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（）米.（注意：取）A. B. C. D.以上都不對【答案】A【解析】【分析】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸、過點且平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點的坐標(biāo)，設(shè)所求圓的半徑為，由勾股定理可列等式求得的值，進(jìn)而可求得圓的方程，然后將代入圓的方程，求出點的縱坐標(biāo)，可計算出的長，即可得出結(jié)論.【詳解】以點為坐標(biāo)原點，所在直線為軸、過點且平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題意可知，點的坐標(biāo)為，設(shè)圓拱橋弧所在圓的半徑為，，由勾股定理可得，即，解得，所以，圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，將代入圓的方程得，，解得，（米）.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的應(yīng)用，求得圓的方程是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.空間直角坐標(biāo)系中，已知，，，，則（）A.B.是直角三角形C.與平行的單位向量的坐標(biāo)為D.可以作為空間的一組基底【答案】ABD【解析】【分析】求出，結(jié)合空間向量模長公式計算A；計算，即可證明，從而判斷B；利用計算即可判斷C；由，，是否共面即可判斷D.【詳解】因為，所以，所以，選項A正確；又因為，所以，所以，所以是直角三角形，選項B正確；因為，所以與平行的單位向量的坐標(biāo)為：，選項C錯誤；假設(shè)，，共面，則存在唯一的有序數(shù)對使，即，所以，此方程組無解，故，，不共面，故可作為空間一組基底，選項D正確.故選：ABD.10.在如圖所示的三棱錐中，，面，，下列結(jié)論正確的為（）A.直線與平面所成的角為B.二面角的正切值為C.到面的距離為D.異面直線【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義判斷A，取取中點為，連接，即可得到為二面角的平面角，從而判斷B，利用等體積法判斷C，利用線面垂直的性質(zhì)推出矛盾，即可判斷D.【詳解】因為面，故為直線與平面所成的角，又，所以，故直線與平面所成的角是，故A正確；取中點為，連接，因為面，面，所以、、，，所以，，，故為二面角的平面角，則，故二面角的正切值為，故B錯誤；因為，所以，設(shè)到面的距離為，則，解得，故C正確；若，又面，面，所以，又，面，所以面，面，所以，與矛盾，故D錯誤；故選：AC.11.已知直線和圓，則（）A.直線恒過定點B.存在使得直線與直線垂直C.直線與圓相交D.若，則圓上到直線的距離為的點有四個【答案】BC【解析】【分析】將直線方程整理成，即可求出定點，可判斷A；利用直線垂直的判斷方法計算，即可判斷B；根據(jù)定點在圓內(nèi)判斷C；借助圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系判斷D.【詳解】由直線，整理成，則直線恒過定點，故A錯誤；若直線與直線垂直，則，解得，故B正確；因為，所以定點在圓內(nèi)部，所以直線與圓相交，故C正確；當(dāng)時，直線化為，圓心到直線的距離，圓半徑，因為且，所以圓到直線距離為的點有三個，故D錯誤.故選：BC12.已知拋物線，焦點，過點作斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交拋物線于及兩點.則下列說法正確的是（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.若，則直線的斜率為1C.若，則直線的方程為D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)拋物線方程即可判斷，對于B，根據(jù)求出A點坐標(biāo)，即可判斷；對于C，由可得坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合拋物線方程求得坐標(biāo)，即可判斷；對于D，設(shè)直線方程，聯(lián)立拋物線方程，可得根與系數(shù)關(guān)系，求出相關(guān)弦長的表達(dá)式，推出，繼而證明∽，即可判斷.【詳解】對A：由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，正確；對B：設(shè)A點的坐標(biāo)為，，則，所以，又，從而直線的斜率為或，故B錯誤；對C：設(shè)，.又，即，又或，當(dāng)時；當(dāng)時，，此時直線的斜率不存在，直線的斜率為0，不合題意，舍去，直線的方程為：，故C正確.對于D；由題意知的斜率存在，設(shè)直線，則直線，設(shè)，由，即，則，由于在拋物線內(nèi)部，必有，所以，又，，同理可證：，，又∽，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題分，共20分.13.過、兩點的直線的傾斜角為，那么實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】由傾斜角得斜率，由斜率公式可得參數(shù)值．【詳解】過兩點的直線的傾斜角為，則，又.故答案為：1.14.，，，若共面，則實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】利用空間向量共面定理列式求解即可.【詳解】由于共面，則存在，使得，又，，，故，故，解得.故答案為：.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的頂點和軸都重合)，已知兩個圓錐的底面直徑均為4，側(cè)面積均為記過兩個圓錐軸的截面為平面α，平面α與兩個圓錐側(cè)面的交線為AC，BD.已知平面β平行于平面α，平面β與兩個圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分，且C的兩條漸近線分別平行于AC，BD，則該雙曲線C的離心率為_______.【答案】【解析】【分析】以矩形中心為原點，圓錐的軸為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，由題，得，從而可得到本題答案.【詳解】以矩形的中心為原點，圓錐的軸為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓錐的底面直徑均為4，則半徑，側(cè)面積均為可得，則，即，所以.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)圓錐曲線的定義將問題抽象為平面解析幾何問題，關(guān)鍵利用漸近線求出，考查了計算求解能力以及轉(zhuǎn)化能力.16.如圖，已知菱形中，為邊的中點，將沿翻折成（點位于平面上方），連接和為的中點，則在翻折過程中，與的夾角為__________，點的軌跡的長度為__________．【答案】①.②.##【解析】【分析】通過證明面得，故與的夾角為；設(shè)是的中點，可證的軌跡與的軌跡相同，求得的軌跡之后再求的軌跡.【詳解】由為邊的中點知：且，易知，而，面，故面，又面，所以，故與的夾角為．設(shè)是的中點，又為的中點，則且，而且，所以且，即為平行四邊形，故且，故軌跡與的軌跡相同.因為面且，所以的軌跡為以為圓心，1為半徑的半圓，設(shè)的中點為，則，，又面，面，所以面，故的軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，所以的軌跡長度為.故答案為：；【點睛】關(guān)鍵點點睛：①將軌跡轉(zhuǎn)化為的軌跡；②若的軌跡為圓，則的中點的軌跡也是圓.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知點，，，向量.（1）若，求實數(shù)的值；（2）求向量在向量方向上的投影向量.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)表達(dá)式解方程即可；（2）利用投影向量公式計算即可.【小問1詳解】由題意，，，因為，所以，即，得.【小問2詳解】由題意，，，所以向量在向量上上的投影向量為：.18.已知的頂點，，.（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求的外接圓的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出高所在直線的斜率，點斜式求解即可；（2）判斷三角形為直角三角形，可得圓心半徑求解.【小問1詳解】，直線的斜率，邊上的高所在直線的斜率為2，邊上的高所在直線過點，邊上的高所在直線的方程為，即.【小問2詳解】，即為以角為直角的直角三角形，故的外接圓以中點為圓心，為半徑，的外接圓的方程為.19.如圖，在長方體中，為上一點，已知，，，．（1）求直線和平面的夾角；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得與平面所成夾角為，判斷為等腰直角三角形，即可求出，（2）如圖建立坐標(biāo)系，根據(jù)向量的關(guān)系可得點到平面的距離，求出法向量即可求出．【小問1詳解】解：依題意，平面，連接，則與平面所成夾角為，，∴為等腰直角三角形，則，∴直線和平面的夾角為，【小問2詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，、、的方向為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，，設(shè)平面的法向量，由，取，可得，∴點到平面的距離.20.已知定點，點為圓上的動點.（1）求的中點的軌跡方程；（2）若過定點的直線與的軌跡交于兩點，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設(shè)，由中點坐標(biāo)公式得出點的坐標(biāo)，代入，即可得到點的軌跡方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，驗證是否滿足題意，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)出直線的方程，利用弦心距，半徑，半弦長的關(guān)系，即可求解.【小問1詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，點為圓上的動點，，即，的中點的軌跡方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入，可得，此時，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，圓的半徑且，圓心到直線的距離，，解得，直線的方程為，即；綜上，直線的方程為或.21.如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成.在同一平面內(nèi)，且.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，先證明平面，然后根據(jù)面面垂直的判定得出結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，先根據(jù)線面角算出，然后在利用法向量求二面角的大小【小問1詳解】如圖，連接，因為該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，，所以，所以，所以.因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以.因為平面，平面，所以.因為平面，，所以平面，因為