小學奧數(shù)總復習講義

PAGE54-奧數(shù)教學簡介一、課程特色：1、教材與現(xiàn)行小學奧數(shù)教程同步；2、教材難度適中，體現(xiàn)科學性，現(xiàn)實性，有挑戰(zhàn)性，突出實、難、巧、趣的特點。二、教學理念：通才教育和趣味教育。三、教學目標：以通才教育和趣味教育理念為指導，提高學生的學習成績，培養(yǎng)學生在現(xiàn)實生活中運用數(shù)學方法和數(shù)學思維解決實際問題的能力，進而開拓學生的思維，為學好奧數(shù)打下堅實的基礎。如何學好奧數(shù)？1、直觀畫圖法：解奧數(shù)題時，如果能合理的、科學的、巧妙的借助點、線、面、圖、表將奧數(shù)問題直觀形象的展示出來，將抽象的數(shù)量關系形象化，可使同學們容易搞清數(shù)量關系，溝通“已知”與“未知”的聯(lián)系，抓住問題的本質，迅速解題。2、倒推法：從題目所述的最后結果出發(fā)，利用已知條件一步一步向前倒推，直到題目中問題得到解決。3、枚舉法：奧數(shù)題中常常出現(xiàn)一些數(shù)量關系非常特殊的題目，用普通的方法很難列式解答，有時根本列不出相應的算式來。我們可以用枚舉法，根據(jù)題目的要求，一一列舉基本符合要求的數(shù)據(jù)，然后從中挑選出符合要求的答案。4、正難則反：有些數(shù)學問題如果你從條件正面出發(fā)考慮有困難，那么你可以改變思考的方向，從結果或問題的反面出發(fā)來考慮問題，使問題得到解決。5、巧妙轉化：在解奧數(shù)題時，經(jīng)常要提醒自己，遇到的新問題能否轉化成舊問題解決，化新為舊，透過表面，抓住問題的實質，將問題轉化成自己熟悉的問題去解答。轉化的類型有條件轉化、問題轉化、關系轉化、圖形轉化等。6、整體把握：有些奧數(shù)題，如果從細節(jié)上考慮，很繁雜，也沒有必要，如果能從整體上把握，宏觀上考慮，通過研究問題的整體形式、整體結構、局部與整體的內在聯(lián)系，“只見森林，不見樹木”，來求得問題的解決。

第一講第一題：時鐘問題有一個始終每小時快20秒，它3月1日中午12點準確，下一次準確的時間是什么時間？（5月30日12時）答：一圈快20x12=240秒=4分，一共要快幾圈才會正好對準標準時間12x60÷4=180（圈），換算成是幾日180x12=2160時=90日，3月1日中午12時+90日=5月30日12時第二題：幾何問題如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點，BC是半圓的直徑．已知AB=BC=10，那么陰影部分的面積是多少？(圓周率取3.14)答：第三題：和差倍問題春風小學原計劃種楊樹、柳樹和槐樹共1500棵，植樹開始后，當種了楊樹總數(shù)的3/5和30棵柳樹后，又臨時運來15棵槐樹，這是剩下的3種樹的棵數(shù)恰好相等，問原計劃要栽植這三種樹各多少棵？答：假設楊樹、柳樹和槐樹棵樹分別為：a、b和c，由題意可得：a+b+c=1500(1-3/5)a=b-30b-30=c+15易得到三種樹分別為：825、360、315棵第四題：行程問題甲、乙二人進行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時開始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米／秒和0.8米／秒。問：（1）比賽開始后多長時間甲追上乙？（2）甲追上乙時兩人共迎面相遇了幾次？答：（1）250秒；（2）4次。

如圖，構造柳卡圖，可見比賽開始250秒后甲追上乙，他們相遇4次。第五題：速算與巧算答：2/45

第二講【計算題】1．難度：★★★★（1）計算：（2）（結果寫成分數(shù)形式）【答案】2．難度：★★★★★某次考試中，13名同學的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同學的得分都是整數(shù)。請問：這13名同學的總分是多少？計算平均分時四舍五入到百分位等于多少？【答案】平均數(shù)的范圍是在85.35~85.45之間的數(shù)。這13個同學的總分最小為13×85.35=1109.55分，最大為13×85.45=1110.85分，每個同學的得分是整數(shù)，那么總分也一定是個整數(shù)，所以這13個同學的總分為1110分，則他們的平均分四舍五入到百分位為85.38分。

第三講【計算題】1．難度：★★★★將15個相同的悠悠球分裝到四個相同的紙盒中，要求每個盒子中至少裝一個，且每個盒子裝的數(shù)量都不相同，問共有_____種裝法?！敬鸢浮恳驗?+3+4+5=14，所以最小兩個加數(shù)只能為1和2；1和3；1和4；2和3四種情況：⑴15=1+2+3+9(2)15=1+3+4+7(3)無(4)15=2+3+4+6=1+2+4+8=1+3+5+6=1+2+5+7因此15個悠悠球放在不同紙盒里共有3+2+1=6種不同的裝法。2．難度：★★★★★將一個等邊三角形各邊七等分后再連接相應的線段得到下圖，問圖中共有多少個三角形？【答案】正立的：邊長是1有：1+2+……+7=28邊長是2有：1+2+……+6=21邊長是3有：1+2+……+5=15…邊長是7有：1個倒立的：邊長是1有：1+2+……+6=21邊長是2有：1+2+3+4=10邊長是3有：1+2=3因此共有：28+21+15+10+6+3+1+21+10+3=118

第四講【幾何問題】1．難度：★★★★如圖，已知三角形ABC面積為1，延長AB至D，使；延長BC至E，使CE=2BC；延長CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面積。【答案】2．難度：★★★★★一個大正方體、四個中正方體、四個小正方體拼成如圖的立體圖形，已知大、中、小三個正方體的棱長分別為5厘米、2厘米、1厘米。那么，這個立體圖形的表面積是多少平方厘米?【答案】采用“三視圖”的方法，立方體總表面積=(正面面積+側面面積+上面面積)×2+遮擋部分的面積，正面面積=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，側面面積=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，上面面積=5×5=25平方厘米，遮擋部分的面積=(2×2+1×1)×8=40平方厘米，所以總表面積=(35+35+25)×2+40=230平方厘米。

第五講【數(shù)論問題】1．難度：★★★★已知九位數(shù)2012□12□2既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，那么，這個九位數(shù)是多少？【答案】設原數(shù)為，是9的倍數(shù)和11的倍數(shù)，那么一定是99的倍數(shù)。根據(jù)99的整除特征，兩位一截后得到的兩位數(shù)相加，是99的倍數(shù)，只能是99，所以，所以b=6，a=2。2．難度：★★★★★四個連續(xù)自然數(shù)的乘積是11880，求此四個數(shù)。【答案】，把這些質因數(shù)搭配成4個乘數(shù)，并且要求是連續(xù)的，11比較大，我們不妨從11入手，只能有8，9，10，11或是9，10，11，12，前者不成立。那么這四個數(shù)是9，10，11，12。

第六講【應用題】1．一個農(nóng)夫看見池塘里有一群鵝，他自言自語地說：“我如果有這些鵝，再加上這些鵝，然后再加上這些鵝的一半，又加上這些鵝的一半的一半，最后再加上我家里的5只，就正好是93只鵝?！背靥晾镉轩Z多少只?！窘馕觥?。2．老師買來120支鉛筆分給四、五、六年級的同學，其中分給四年級，分給五年級，那么六年級分到鉛筆___________支.【解析】簡單分數(shù)量率對應應用題，3．小明看《丁丁歷險記》的連環(huán)畫，第一天看了全書的還多4頁，第二天看了余下的還多5頁，第三天看了剩下的還多6頁，第四天看了2頁就將全書看完了。這本書一共有頁【解析】典型還原問題，列綜合算式即可，頁4．陜北某村有一塊草場，假設每天草都均勻生成。這片草場經(jīng)過測算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。問：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧這么多羊對嗎？為防止草場沙化，這片草場最多可以放牧多少只羊？【解析】每只羊每天吃草量為1份。新生草量：（份）原有草量：（份）250只羊可吃：（天）放牧這么多羊不對。最多放牧50只羊，因為每天新增草50份，剛好夠50只羊吃。

第七講1．一箱蘋果，按每千克1.6元賣，虧12元，按每千克2.1元賣，賺3元，要想不虧不賺，每千克應賣元.【解析】如果1千克按1.6元賣，4千克按2.1元賣，則剛好虧的和賺的抵消，平均每千克賣(1.6＋2.1×4)÷(1＋4)＝2(元).2．將一群人分為甲、乙、丙三組，每人都必在且僅在一組。已知甲、乙、丙的平均年齡分別為37、23、41。甲、乙兩組人合起來的平均年齡為29；乙、丙兩組人合起來的平均年齡為33。則這一群人的平均年齡為?！窘馕觥考?、乙兩組人的年齡比為（29-23）：（37-29）=3:4，乙、丙兩組人的年齡比為（41-33）：（33-23）=4:5，所以甲、乙、丙三組人的年齡比為3:4:5，這群人的平均年齡為（歲）。3．美是一種感覺，本應沒有什么客觀的標準，但在自然界里，物體形映的比例卻提供了勻稱與協(xié)調上的一種美感的參考，在數(shù)學上，這個比例稱為黃金分割。在人體下軀干（由腳底至肚臍的長度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，也就是說，若此比值越接近0.618，就越給人一種美的感受。如果某女士身高為1.60米，下軀干與身高的比為0.60，為了追求美，她想利用高跟鞋達到這一效果，那么她選的高跟鞋的高度約為多少厘米。【解析】該女士下軀干高160×0.6=0.96米，設高跟鞋的高度為x米，從而，解得（厘米）（厘米）

第八講1．小王期末考試得了滿分，但老師在評講試卷時小王突然發(fā)現(xiàn)在做一道數(shù)學填空題時，算到最后一個結果是一個數(shù)乘以8，再減去63，由于粗心，把乘法算成除法，把減法算成加法，但湊巧的是得數(shù)是對的，這道數(shù)學題得數(shù)是.【解析】設數(shù)為a，則有a×8－63＝a÷8＋63，求得a＝16，結果為16÷8＋63＝65。2．天津紅氣球小學六年級同學參加運動會，每人都在長跑、短跑和接力三個項目中選擇兩項參加。已知參加長跑的有28人，參加短跑的有25人，參加接力的有33人。那么，參加長跑和接力兩項的有?！窘馕觥咳菀子嬎阋还灿辛昙墝W生（28﹢25﹢33）÷2=43人，所以參加長跑和接力的人有43-15=18。3、我國除了用公歷紀年法外，在很多場合還采用干支紀年法表示年代。天干有10個：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。地支有12個：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。將天干的10個流字與地支的12個漢字循環(huán)對應排列成如下兩行：……甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊…………子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅……例如：公歷2000年，干支紀年為庚辰年。那么公歷2003年，干支幻年為年。請你閱讀下面的故事：我國著名的數(shù)學家蘇步青在1983年講過一個學文史的也要學點數(shù)學的故事：“我有一個學生研究古典文學，送我好幾本研究蘇東坡的文集，我翻看了一篇《赤壁賦》，《赤壁賦》是蘇東坡哪一年寫的？書上印的是1080年。蘇東坡生于1037年，活了66歲?！冻啾谫x》開頭幾句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支紀年法的壬戌年。我一看蘇東坡寫《赤壁賦》的年代是1080年，就知道一定是錯的?！闭堈f明蘇步青是通過怎樣的“神機妙算”得出這個結論的？并推算蘇東坡是公歷哪一年寫的《赤壁賦》？【解析】因為[10，12]=60，所以干支紀年法每60年一循環(huán)，1982年是壬戌年，《赤壁賦》也是壬戌年寫的，因此公歷1982年與寫《赤壁賦》的公歷年相差應是60的倍數(shù)，但是1982-1080=902，902不是60的倍數(shù)，所以《赤壁賦》不是在1080年寫的。1037+66=1103，在1037年至1103年間與1982相差60的倍數(shù)的只有1982-60×5=1082，所以《赤壁賦》是蘇東坡1082年寫的。

第九講1、（★★★）一個農(nóng)民攜帶一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一條小船過河．小船上除了農(nóng)民只能再帶狼、羊、白菜中的一樣．而農(nóng)民不在時，狼會吃羊，羊會吃白菜．農(nóng)民如何過河呢？【解析】如下表：次數(shù)此岸過河彼岸1狼，白菜農(nóng)民，羊〉2狼，白菜〈農(nóng)民羊3狼農(nóng)民，白菜〉羊4狼〈農(nóng)民，羊白菜5羊農(nóng)民，狼〉白菜6羊〈農(nóng)民狼，白菜7農(nóng)民，羊〉狼，白菜農(nóng)民，羊，狼，白菜2、（★★）有一家五口人要在夜晚過一座獨木橋．他們家里的老爺爺行動非常不便，過橋需要12分鐘；孩子們的父親貪吃且不愛運動，體重嚴重超標，過河需要時間也較長，8分鐘；母親則一直堅持勞作，動作還算敏捷，過橋要6分鐘；兩個孩子中姐姐需要3分鐘，弟弟只要1分鐘．當時正是初一夜晚又是陰天，不要說月亮，連一點星光都沒有，真所謂伸手不見五指．所幸的是他們有一盞油燈，同時可以有兩個人借助燈光過橋．但要命的燈油將盡，這盞燈只能再維持30分鐘了！他們焦急萬分，該怎樣過橋呢？【解析】首先姐姐跟弟弟一起過，用時3分鐘，姐姐再回去送油燈，用時3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過河，用時12分鐘，弟弟將燈送回去，用時1分鐘，弟弟和母親一起過，用時6分鐘，弟弟送燈過河，用時1分鐘，最后與姐姐一起過河，用時3分鐘．一共用時：3+3+12+1+6+1+3=29分鐘．最后能夠安全全部過河．

第十講1、（★★★）有兩堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙兩人輪流取火柴，每次可以從每一堆中取任意根火柴，也可以同時從兩堆中取相同數(shù)目的火柴．每次至少要取走一根火柴．誰取得最后一根火柴誰勝．如果都采用最佳方法，那么誰將獲勝？【解析】采用逆推法分析，假設甲獲勝，甲最終將兩堆火柴都變?yōu)?，簡記（0，0）；因為甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留給甲的兩堆火柴最少的幾種情況是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留給甲上述情況，甲應該留給乙（1，2）；再往前逆推，當甲留給乙（3，5）時，無論乙怎樣取，甲都可以一次取完所有的火柴或留給乙（1，2）．所以甲先從7根火柴的一堆取出2根，留給乙（3，5），甲必勝.2、（★★★）國王帶著、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅館，可只有三間房。國王自己要住一間，剩下的兩間房都能住三個人，一間是奇數(shù)房，只能住奇數(shù)；一間是質數(shù)房，只能住質數(shù)。結果六位大臣商量著竟然吵了起來。大臣說：“我是質數(shù)，我應該住質數(shù)房！”大臣說：“不對，你是奇數(shù)，我才應該住質數(shù)房！”他們鬧得不可開交，最后只好請國王來評判。可國王一時之間也不知道該怎么安排。同學們，你們能幫助他們嗎？你們能夠設計幾種不同的住法呢？【解析】首先，在題目里大臣所說的是錯誤的，而大臣所說的是正確的。所有的六位大臣都可以去住奇數(shù)房，但只有、、、四位大臣可以住在質數(shù)房。所以，例如、、住奇數(shù)房，、、住質數(shù)房的安排方法就是正確的。由前面的分析，、必須住在奇數(shù)房，所以另外四個數(shù)中任何一個也住進奇數(shù)房，都是一種住法，那么一共有種不同的住法。

第十一講1、（★★）若干個同樣的盒子排成一排，小明把五十多個同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個盒子沒有裝棋子，然后他外出了。小光從每個有棋子的盒子里各拿一個棋子放在空盒內，再把盒子重新排了一下。小明回來仔細查看了一番，沒有發(fā)現(xiàn)有人動過這些盒子和棋子。問共有多少個盒子？

【解析】原來有個空的，說明現(xiàn)在也有個空的；現(xiàn)在空的說明原來這盒有1個，當然現(xiàn)在也必須有個盒子有1個；現(xiàn)在盒中有1個，說明原來是2個，當然現(xiàn)在也必須有個盒子有2個；……考慮50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55共11個盒子。

2、（★★）向陽小學有730個學生，問：至少有幾個學生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366個抽屜，730個學生看做730個蘋果．因為，所以，至少有1＋1＝2（個）學生的生日是同一天．

第十二講1、（★★★★）“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說明：在游園的小朋友中，至少有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．【解析】假設共有n個小朋友到公園游玩，我們把他們看作n個“蘋果”，再把每個小朋友遇到的熟人數(shù)目看作“抽屜”，那么，n個小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下n種可能：0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指這位小朋友沒有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見n-1個熟人，所以共有n個“抽屜”．下面分兩種情況來討論：⑴如果在這n個小朋友中，有一些小朋友沒有遇到任何熟人，這時其他小朋友最多只能遇上n-2個熟人，這樣熟人數(shù)目只有n-1種可能：0，1，2，……，n-2．這樣，“蘋果”數(shù)(n個小朋友)超過“抽屜”數(shù)(n-1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等．⑵如果在這n個小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個熟人，這樣熟人數(shù)目只有n-1種可能：1，2，3，……，n-1．這時，“蘋果”數(shù)(n個小朋友)仍然超過“抽屜”數(shù)(n-1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等．總之，不管這n個小朋友各遇到多少熟人(包括沒遇到熟人)，必有兩個小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．2、（★★）海天小學五年級學生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少從多少個學生中保證能找到個人的身高相同？【解析】陷阱：以前的題基本全是2個人的，而這里出現(xiàn)4個人，那么，就“從倍數(shù)關系選”。認真思考，此題中應把什么看作抽屜？有幾個抽屜？在140厘米至150厘米之間（包括140厘米到150厘米）共有11個整厘米數(shù)，把這11個整厘米數(shù)看作11個抽屜，每個抽屜中放3個整厘米數(shù)，就要個整厘米數(shù)，如果再取出一個整厘米數(shù)，放入相應的抽屜中，那么這個抽屜中便有4個整厘米數(shù)，也就是至少找出33+1=34個學生，才能找到4個人的身高相同．

第十三講1、（★★）有四個人在晚上準備通過一座搖搖欲墜的小橋．此橋每次只能讓2個人同時通過，否則橋會倒塌．過橋的人必須要用到手電筒，不然會一腳踏空．只有一個手電筒．4個人的行走速度不同：小強用1分鐘就可以過橋，中強要2分鐘，大強要5分鐘，最慢的太強需要10分鐘．17分鐘后橋就要倒塌了．請問：4個人要用什么方法才能全部安全過橋？【解析】小強和中強先過橋，用2分鐘；再用小強把電筒送過去，用1分鐘，現(xiàn)在由大強跟太強一起過橋，用10分鐘，過去以后叫中強把電筒送給小強用2分鐘，最后小強與中強一起過河再用2分鐘，他們一起用時間：(分鐘)，正好在橋倒塌的時候全部過河．(時間最短過河的原則是：時間長的一起過，時間短的來回過．這樣保證總的時間是最短的)．2、（★★）車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障，已知第一臺到第五臺修復時間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟損失5元．現(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工，⑴怎樣安排才能使得經(jīng)濟損失最少？⑵怎樣安排才能使從開始維修到維修結束歷時最短？【解析】⑴一人修17、20、30，另一人修18、25；最少的經(jīng)濟損失為：(元)．⑵因為(分)，經(jīng)過組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺，另一人修需30和25分鐘的兩臺，修復時間最短，為55分鐘．

第十四講1、(2008年“迎春杯”三年級組初賽)計算：．【解析】本題可以直接將兩個乘積計算出來再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果．原式2、(2008年走美四年級初賽)．【解析】本題可以用湊整的方法來做，也可以直接用平方差公式來做．原式5.29試題1、(2008年日本小學算術奧林匹克大賽高小組初賽)計算：．［分析］(法1)原式2、計算51.2×8.1＋11×9.25＋537×0.19【解析】稍著處理，題中數(shù)字就能湊整化簡，原式＝51.2×8.1＋11×9.25＋（512＋25）×0.19＝51.2×8.1＋11×9.25＋512×0.19＋25×0.19＝51.2×8.1＋51.2×1.9＋11×9.25＋0.25×19＝51.2×10＋11×0.25＋11×9＋0.25×19＝512＋0.25×30＋99＝611＋7.5＝618.5

第十五講1、計算（1）2003×2001÷111＋2003×73÷37（2）412×0.81＋11×＋53.7×1.9【解析】（＝2003×2220÷111＝40060（2）原式＝41.2×8.1＋11×（9＋0.25）＋（41.2＋12.5）×1.9＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25＝41.2×（8.1＋1.9）＋（10＋2.5）×1.9＋99＋11×0.25＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋（11＋19）×0.25＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.52、（04年希望杯1試）計算【解析】

第十六講1、(2008年“希望杯”六年級第2試)________．［分析］用換元法．令，，則原式2、＿＿＿．【解析】原式．

第十七講1、計算______.【解析】原式．

第十八講1、（※※）大林和小林共有小人書不超過9本，他們各自有小人書的數(shù)目有多少種可能的情況？【解析】大林和小林共有9本的話，有10種可能；共有8本的話，有9種可能，……，共有0本的話，有1種可能，所以根據(jù)加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55種可能．2、（※※※）用100元錢購買2元、4元或8元飯票若干張，沒有剩錢，共有多少不同的買法?【解析】如果買0張8元飯票，還剩100元，可以購買4元飯票的張數(shù)為0～25張，其余的錢全部購買2元飯票，共有26種買法；如果買l張8元飯票，還剩92元，可購4元飯票0～23張，其余的錢全部購買2元飯票，共有24種不同方法；如果買2張8元飯票，還剩84元，可購4元飯票0～21張，其余的錢全部購買2元飯票，共有22種不同方法；……如果買12張8元飯票，還剩4元飯票，可購4元飯票0～1張，其余的錢全部購買2元飯票，共有2種方法．總結規(guī)律，發(fā)現(xiàn)各類情況的方法數(shù)組成了一個公差為2，項數(shù)是13的等差數(shù)列．利用分類計數(shù)原理及等差數(shù)列求和公式求出所有方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(種)．共有182種不同的買法．

第十九講1、（※※）題庫中有三種類型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類型的題目中各取一道組成一張試卷．問：由該題庫共可組成多少種不同的試卷？（4級）【解析】從該題庫每一類試卷中分三步各選一道題，每一步分別有30、40、45種選法．根據(jù)乘法原理，一共有30×40×45=54000種不同的選法，所以一共可以組成54000種不同試卷2、（※※）五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？（6級）【解析】五位同學的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）．如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）；因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）．

第二十講1、（※※）一列往返于北京和上海方向的列車全程?？總€車站(包括北京和上海)，這條鐵路線共需要多少種不同的車票．（4級）【解析】(種)．2、（※※）用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個沒有重復數(shù)字的四位數(shù)？（4級）【解析】這是一個從個元素中取個元素的排列問題，已知，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個)不同的四位數(shù)．6.7試題1、（※※）某校舉行排球單循環(huán)賽，有個隊參加．問：共需要進行多少場比賽？（2級）【解析】因為比賽是單循環(huán)制的，所以，個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，并且比賽的場次只與兩個隊的選取有關而與兩個隊選出的順序無關．所以，這是一個在個隊中取個隊的組合問題．由組合數(shù)公式知，共需進行(場)比賽．2、（※※）從0、0、、1、2、3、4、5這七個數(shù)字中，任取3個組成三位數(shù)，共可組成多少個不同的三位數(shù)？（這里每個數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）．（2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學邀請賽五年級）（4級）【解析】若三位數(shù)不含有0，有5×3×4=60（個），若含有一個0，有5×4×2=40個），若含有兩個0，有5（個），所以共有60+40+5=105（個）．3、（※※）某班共有46人，參加美術小組的有12人，參加音樂小組的有23人，有5人兩個小組都參加了．這個班既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的有多少人？【解析】已知全班總人數(shù)，從反面思考，找出參加美術或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總人數(shù)減去這個人數(shù)，就得到既沒參加美術小組也沒參加音樂小組的人數(shù)．根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個小組的總人數(shù)為12+23-5=30(人)．所以，該班未參加美術或音樂小組的人數(shù)是46-30=60(人)．4、（※※）對全班同學調查發(fā)現(xiàn)，會游泳的有20人，會打籃球的有25人．兩項都會的有10人，兩項都不會的有9人．這個班一共有多少人？【解析】如圖，用長方形表示全班人數(shù)，A圓表示會游泳的人數(shù)，B圓表示會打籃球的人數(shù)，長方形中陰影部分表示兩項都不會的人數(shù)．由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會一項的人數(shù)+兩項都不會的人數(shù)，至少會一項的人數(shù)為：20+25-10=35(人)，全班人數(shù)為：35+9=44(人)．

第二十一講1.有一個電子表的表面用2個數(shù)碼顯示“小時”，另用2個數(shù)碼顯示“分”。例如“21：32”表示21時32分，那么這個手表從“10：00”至“11：30”之間共有 分鐘表面上顯示有數(shù)碼“2”.【解析】顯示小時的數(shù)碼不會出現(xiàn)2，只有分鐘會出現(xiàn)。10點到11點分別有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11點到11點半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分鐘。2.袋中有3個紅球，4個黃球和5個白球，小明從中任意拿出6個球，他拿出球的情況共有________種可能．【解析】如果沒拿紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4種.如果拿1個紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5種.如果拿2個紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5種如果拿3個紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4種.可見他拿出球的情況共有：4+5+5+4=18（種）．有18種.

第二十二講1.1、2、3、4四個數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個數(shù)中間，任意插入乘號(最少插一個乘號)，可以得到多少個不同的乘積?【解析】方法一：按插入乘號的個數(shù)進行分類：⑴若插入一個乘號，4個數(shù)字之間有3個空當，選3個空當中的任一空當放乘號，所以有3種不同的插法，可以得到3個不同的乘積，枚舉如下：1×234，12×34，123×4．⑵若插入兩個乘號，由于必有一個空當不放乘號，所以從3個空檔中選2個空當插入乘號有3種不同的插法，可以得到3個不同的乘積，枚舉如下：1×2×34，1×2×3×4，12×3×4。⑶若插入三個乘號，則只有1個插法，可以得到l個不同的乘積，枚舉如下：1×2×3×4。所以，根據(jù)加法原理共有3+3+1=7種不同的乘積．方法二：每個空可以放入乘號可以可以不放乘號共有兩種選擇，在1、2、3、4這四個數(shù)中共有3個空所以共有：2×2×2=8去掉都不放的一種情況，所以共有：8-1=7（種）選擇2、(2002年南京少年數(shù)學智力冬令營六年級試題)今年是2002年，把2002年這樣的年份稱為“對稱年”（年份的個位數(shù)字和千位數(shù)字相同，百位數(shù)字和十位數(shù)字相同）從2000年到2999年之間共有（）個“對稱年?！窘馕觥?000年到2999年之間的“對稱年”個位為2，十位和百位數(shù)字相同，可以是0、1、2、…、9，共10個，所以從2000年到2999年之間共有10個“對稱年”.

第二十三講1、共有個四位數(shù)，其四個數(shù)字的乘積是質數(shù)．【解析】四個數(shù)的積為質數(shù)，其中只能有個質數(shù)，另外個數(shù)為，如，它可以排成四個符合要求的四位數(shù)：，，，。同樣，，，，也都可以排成四個符合要求的四位數(shù)，因此共有個符合要求的四位數(shù)。2、給定三種重量的砝碼（每種數(shù)量都有足夠多個），，，將它們組合湊成有種不同的方法（每種砝碼至少用一塊。）【解析】【分析】枚舉。，，，，，，一共有種方法。

第二十四講1、在到（含）的所有正整數(shù)中，它的數(shù)碼和可被整除的數(shù)共有多少個？【解析】把中的個位去掉，得到從中的一個數(shù)，各位數(shù)字和除以的余數(shù)為、、、、中的一種，之后添加個位數(shù)字使新生成的數(shù)的各位數(shù)字之和能夠整除。不論的各位數(shù)字之和除以的余數(shù)是多少，個位數(shù)都有兩種添加方法，所以從這個數(shù)中各位數(shù)字之和為的倍數(shù)的有（個），減去一個，有（個）；從這個數(shù)中有和各位數(shù)字之和能被整除，所以從到所有正整數(shù)中，它的數(shù)碼和可被整除的數(shù)共有（個）。2、在一個六邊形紙片內有個點，以這個點和六變形的個頂點為頂點的三角形，最多能剪出_______個．【解析】設正六邊形內有個點，當時有個三角形，每增加一個點，就增加個三角形，個點最多能剪出個三角形．時，可剪出個三角形．注：設最多能剪出個小三角形，則這些小三角形的內角和為．換一個角度看，匯聚到正六邊形六個頂點處各角之和為，故這些小三角形的內角總和為．于是，解得．

第二十五講1、有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大，百位數(shù)字比十位數(shù)字大？【解析】由于四位數(shù)的四個數(shù)位上的數(shù)的大小關系已經(jīng)非常明確，而對于從0～9中任意選取的4個數(shù)字，它們的大小關系也是明確的，那么由這4個數(shù)字只能組成1個符合條件的四位數(shù)(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為0，本身已符合四位數(shù)的首位不能為0的要求，所以進行選擇時可以把0包含在內)，也就是說滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)與從0～9中選取4個數(shù)字的選法是一一對應的關系，那么滿足條件的四位數(shù)有個．2、數(shù)3可以用4種方法表示為一個或幾個正整數(shù)的和，如3，，，．問：1999表示為一個或幾個正整數(shù)的和的方法有多少種？【解析】我們將1999個1寫成一行，它們之間留有1998個空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“＋”號．例如對于數(shù)3，上述4種和的表達方法對應：111，111，111，111．可見，將1999表示成和的形式與填寫1998個空隙處的方式之間是一一對應的關系，而每一個空隙處都有填“＋”號和不填“＋”號2種可能，因此1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有21998種．

第二十六講比較分數(shù)的大小同學們從一開始接觸數(shù)學，就有比較數(shù)的大小問題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡單，而比較分數(shù)的大小就不那么簡單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對于兩個不同的分數(shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個分數(shù)，分子大的那個分數(shù)比較大；分子相同的兩個分數(shù)，分母大的那個分數(shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個分數(shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分數(shù)千差萬別，所以通分的方法不一定是最簡捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當兩個已知分數(shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時，可以把它們化成同分子的分數(shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡便。如果我們把課本里的通分稱為“通分母”，那么這里講的方法可以稱為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對任意的分數(shù)都適用，因此也叫萬能方法。但在比較大小時是否簡便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時已知分數(shù)不是最簡分數(shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個真分數(shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分數(shù)較大；若兩個假分數(shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分數(shù)較大。也就是說，6.借助第三個數(shù)進行比較。有以下幾種情況：（1）對于分數(shù)m和n，若m＞k，k＞n，則m＞n。（2）對于分數(shù)m和n，若m-k＞n-k，則m＞n。前一個差比較小，所以m＜n。（3）對于分數(shù)m和n，若k-m＜k-n，則m＞n。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來的兩個分數(shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來的兩個分數(shù)m和n。（4）把兩個已知分數(shù)的分母、分子分別相加，得到一個新分數(shù)。新分數(shù)一定介于兩個已知分數(shù)之間，即比其中一個分數(shù)大，比另一個分數(shù)小。利用這一點，當兩個已知分數(shù)不容易比較大小，新分數(shù)與其中一個已知分數(shù)容易比較大小時，就可以借助于這個新分數(shù)。比較分數(shù)大小的方法還有很多，同學們可以在學習中不斷發(fā)現(xiàn)總結，但無論哪種方法，均來源于：“分母相同，分子大的分數(shù)大；分子相同，分母小的分數(shù)大”這一基本方法。練習11.比較下列各組分數(shù)的大?。捍鸢概c提示練習1

第二十七講工程問題（一）顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關的數(shù)學問題。其實，這類題目的內容已不僅僅是工程方面的問題，也括行路、水管注水等許多內容。在分析解答工程問題時，一般常用的數(shù)量關系式是：工作量=工作效率×工作時間，工作時間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時間里所干的工作量。單位時間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時、分、秒等。工作效率的單位是一個復合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時”等。但在不引起誤會的情況下，一般不寫工作效率的單位。1.單獨干某項工程，甲隊需100天完成，乙隊需150天完成。甲、乙兩隊合干50天后，剩下的工程乙隊干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊單獨干需100天，甲的工作效2.某項工程，甲單獨做需36天完成，乙單獨做需45天完成。如果開工時甲、乙兩隊合做，中途甲隊退出轉做新的工程，那么乙隊又做了18天才完成任務。問：甲隊干了多少天？分析：將題目的條件倒過來想，變?yōu)椤耙谊犗雀?8天，后面的工作甲、乙兩隊合干需多少天？”這樣一來，問題就簡單多了。答：甲隊干了12天。3.單獨完成某工程，甲隊需10天，乙隊需15天，丙隊需20天。開始三個隊一起干，因工作需要甲隊中途撤走了，結果一共用了6天完成這一工程。問：甲隊實際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊6天的工作量，剩下的是甲隊干的，所以甲隊實際工作了4.一批零件，張師傅獨做20時完成，王師傅獨做30時完成。如果兩人同時做，那么完成任務時張師傅比王師傅多做60個零件。這批零件共有多少個？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時間，例5一水池裝有一個放水管和一個排水管，單開放水管5時可將空池灌滿，單開排水管7時可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1時后又打開排水管，那么再過多長時間池內將積有半池水例6甲、乙二人同時從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長時間兩人相遇？分析：這道題看起來像行程問題，但是既沒有路程又沒有速度，所以不能用時間、路程、速度三者的關系來解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時間？由此看出，這道題應該用工程問題的解法來解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。

第二十八講1．難度：★★★★★請問至少出現(xiàn)一個數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個？【解析】五位數(shù)共有90000個，其中3的倍數(shù)有30000個．可以采用排除法，首先考慮有多少個五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3。首位數(shù)碼有8種選擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種選擇．當前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為0，則第五位數(shù)碼可以為0、6、9；如果余數(shù)為1，則第五位數(shù)碼可以為2、5、8；如果余數(shù)為2，則第五位數(shù)碼可以為1、4、7?？梢娭灰八奈粩?shù)碼確定了，第五位數(shù)碼都有3種選擇，所以五位數(shù)中是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3的數(shù)共有個。所以滿足條件的五位數(shù)共有個。2．難度：★★★★如圖所示，從A點到B點，如果要求經(jīng)過C點或D點的最近路線有多少條？【解析】1、方格圖里兩點的最短路徑，從位置低的點向位置高的點出發(fā)的話，每到一點（如C、D點）只能向前或者向上。2、題問的是經(jīng)過C點，或者D點；那么A到B點就可以分成兩條路徑了A--CB；ADB，那么也就可以分成兩類．但是需要考慮一個問題--A到B點的最短路徑會同時經(jīng)過C和D點嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會同時出現(xiàn)在最短路徑上了．3、ACB，那么C就是必經(jīng)之點了，就需要用到乘法原理了．AC，最短路徑用標數(shù)法標出，同樣CB點用標數(shù)法標注，然后相乘ADB，同樣道理．最后結果是735+420=1155條．

第二十九講1．難度：★★★★★在一個西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成多少片？【解析】將西瓜看做一個球體，球體上任意一個切割面都是圓形，所以球面上的切割線是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片．當切1刀時，瓜皮被切成兩份，當切第2刀時，由于切割線相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次時，新增加的切割線與原來的切割線最多有2(n-1)個交點．這些交點將第n條切割線分成2(n-1)段，也就是說新增加的切割線使瓜皮數(shù)量增加了2(n-1)，所以在西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成。2．難度：★★★★在一個六邊形紙片內有60個點，以這60個點和六邊形的6個頂點為頂點的三角形，最多能剪出_______個．【解析】設正六邊形內有n個點，當n=1時有6個三角形，每增加一個點，就增加2個三角形，n個點最多能剪出6+2(n+1)=2(n+2)個三角形．n=60時，可剪出124個三角形．注：設最多能剪出x個小三角形，則這些小三角形的內角和為．換一個角度看，匯聚到正六邊形六個頂點處各角之和為，故這些小三角形的內角總和為．于是，解得x=124．

第三十講1．難度：★★★★★在1~100中任意取出兩個不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【解析】兩個數(shù)的和是偶數(shù)，通過前面剛剛學過的奇偶分析法，這兩個數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個數(shù)與順序無關，所以是組合問題。從50個偶數(shù)中取出2個，有(種)取法；從50個奇數(shù)中取出2個，也有(種)取法。根據(jù)加法原理，一共有1225+1225=2450(種)不同的取法?！拘〗Y】在本題中，對兩個數(shù)的和限定了條件。不妨對這個條件進行分類，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加．這樣可以把問題簡化。2．難度：★★★★10個三角形最多將平面分成幾個部分？【解析】設n個三角形最多將平面分成個部分．n=1時，=2；n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有個2交點，三條邊與第一個三角形最多有23=6（個）交點．這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分，從而平面也增加了6個部分，即．n=3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有（個）交點，從而平面也增加了12個部分，即：．……一般地，第n個三角形與前面(n-1)個三角形最多有個交點，從而平面也增加個部分，故特別地，當n=10時，，即10個三角形最多把平面分成個272部分．

第三十一講1．難度：★★學校開設6門任意選修課，要求每個學生從中選學3門，共有多少種不同的選法？【解析】被選中的門排列順序不予考慮，所以這是個組合問題。由組合數(shù)公式知，。所以共有20種不同的選法．2．難度：★★★★某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個階段進行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個小組，每組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將8個小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進行單循環(huán)賽；第三階段：由4個小組產(chǎn)生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次．問：整個賽程一共需要進行多少場比賽？【解析】第一階段中，每個小組內部的6個人每2人要賽一場，組內賽場，共個8小組，有場；第二階段中，每個小組內部4人中每2人賽一場，組內賽場，共4個小組，有場；第三階段賽2+2=4場。根據(jù)加法原理，整個賽程