湖南株洲市第十八中學(xué)2023年高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

湖南株洲市第十八中學(xué)2023年高一上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1．長方體中，，，則直線與平面ABCD所成角的大小A. B.C. D.2．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是A. B.C. D.3．若,則的值為A. B.C. D.4．已知為三角形內(nèi)角，且，若，則關(guān)于的形狀的判斷，正確的是A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.三種形狀都有可能5．已知命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知集合和關(guān)系的韋恩圖如下，則陰影部分所表示的集合為（）A. B.C. D.7．已知向量，滿足，，且與夾角為，則（）A. B.C. D.8．對于任意實(shí)數(shù)，給定下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則9．設(shè)集合，．則（）A. B.C. D.10．已知圓與圓相離，則的取值范圍（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．如圖，圓錐的底面圓直徑AB為2，母線長SA為4，若小蟲P從點(diǎn)A開始繞著圓錐表面爬行一圈到SA的中點(diǎn)C，則小蟲爬行的最短距離為________12．已知函數(shù)，那么_________.13．已知點(diǎn)角終邊上一點(diǎn)，且，則______14．若弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長為2，則這個(gè)圓心角所夾扇形的面積是___________15．已知正四棱錐的高為4，側(cè)棱長為3，則該棱錐的側(cè)面積為___________.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．設(shè)，函數(shù)（1）若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍是（），求的范圍17．已知，___________，.從①，②，③中任選一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面問題中，并完成題目.（1）求值（2）求.18．設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)；若，當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍19．已知函數(shù).（1）判斷的奇偶性并證明；（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若對，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．甲、乙兩地相距1000千米，某貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度為v千米/小時(shí)（不得超過120千米/小時(shí)）．已知該貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本m（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（單位：km/h）的關(guān)系是；固定部分y2為81元（1）根據(jù)題意可得，貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本m=________，全程行駛的時(shí)間為t=________；（2）求該貨車全程的運(yùn)輸總成本與速度v的函數(shù)解析式；（3）為了使全程的運(yùn)輸總成本最小，該貨車應(yīng)以多大的速度行駛？21．已知集合，.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，請將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.）1、B【解析】連接，根據(jù)長方體的性質(zhì)和線面角的定義可知：是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，利用勾股定理可以求出，在中，利用銳角三角函數(shù)知識(shí)可以求出的大小.【詳解】連接，在長方體中，顯然有平面ABCD，所以是直線與平面ABCD所成角，在底面ABCD中，，在中，，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面角的求法,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、A【解析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的單調(diào)性，再由得答案【詳解】∵函數(shù)和在上均為增函數(shù)，∴在上為單調(diào)增函數(shù)，∵，，∴函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查了初等函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3、B【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式將原式化簡為，分子分母同除以，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，又，所以原?故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】利用同角平方關(guān)系可得，，結(jié)合可得，從而可得的取值范圍，進(jìn)而可判斷三角形的形狀【詳解】解：，，為三角形內(nèi)角，，為鈍角，即三角形為鈍角三角形故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用同角平方關(guān)系的應(yīng)用，其關(guān)鍵是變形之后從的符號(hào)中判斷的取值范圍，屬于三角函數(shù)基本技巧的運(yùn)用5、D【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】由于命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題；所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】首先判斷出陰影部分表示，然后求得，再求得.【詳解】依題意可知，，且陰影部分表示.，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)韋恩圖進(jìn)行集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)展開可得，再代入向量的數(shù)量積公式即可得解.【詳解】根據(jù)向量運(yùn)算性質(zhì)，，故選：D8、C【解析】利用特殊值判斷A、B、D，根據(jù)不等式的性質(zhì)證明C；【詳解】解：對于A：當(dāng)時(shí)，若則，故A錯(cuò)誤；對于B：若，，，，滿足，則，，不成立，故B錯(cuò)誤；對于C：若，則，所以，故C正確；對于D：若，滿足，但是，故D錯(cuò)誤；故選：C9、A【解析】先求得，然后求得.【詳解】.故選：A10、D【解析】∵圓的圓心為，半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則又兩圓相離，則：，本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、2.【解析】分析：要求小蟲爬行的最短距離，需將圓錐的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果詳解：由題意知底面圓的直徑AB＝2，故底面周長等于2π.設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為n°，根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得2π＝，解得n＝90，所以展開圖中∠PSC＝90°，根據(jù)勾股定理求得PC＝2，所以小蟲爬行的最短距離為2.故答案為2點(diǎn)睛：圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，此扇形的弧長等于圓錐底面周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．本題就是把圓錐的側(cè)面展開成扇形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決三、12、3【解析】首先根據(jù)分段函數(shù)求的值，再求的值.【詳解】，所以.故答案為：313、【解析】利用任意角的三角函數(shù)的定義，即可求得m值【詳解】點(diǎn)角終邊上一點(diǎn)，，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】根據(jù)所給弦長，圓心角求出所在圓的半徑，利用扇形面積公式求解.【詳解】由弦長為2，圓心角為2可知扇形所在圓的半徑，故，故答案為：15、【解析】由高和側(cè)棱求側(cè)棱在底面射影長，得底面邊長，從而可求得斜高，可得側(cè)面積【詳解】如圖，正四棱錐，是高，是中點(diǎn)，則是斜高，由已知，，則，是正方形，∴，，，側(cè)面積側(cè)故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求正棱錐的側(cè)面積．在正棱錐計(jì)算中，解題關(guān)鍵是掌握四個(gè)直角三角形：如解析中圖中，正棱錐的幾乎所有量在這四個(gè)直角三角形中都有反應(yīng)三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1）在上遞增，證明見解析.（2）【解析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義計(jì)算的符號(hào)，從而判斷出的單調(diào)性.（2）對進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次方程根的分布來求得的范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，在上遞增，證明如下：任取，由于，所以，所以在上遞增.【小問2詳解】由于，所以，，由知，所以.由于，所以或.當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上遞增.所以，從而①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，①可化為，其中，所以，，，解得.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上遞減.若，則，于是，這與矛盾，故舍去.所以，則，于是，兩式相減并化簡得，由于，所以，所以.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則其值域和單調(diào)性有關(guān)，若在區(qū)間上遞增，則值域?yàn)?；若在區(qū)間上遞減，則值域?yàn)?17、（1）（2）【解析】【小問1詳解】，，，若選①，則，則，若選②，則，則，則，若選③，則，，，則綜上，【小問2詳解】，，，，，，18、（1）；（2）.【解析】由分段函數(shù)解析式可得時(shí)無零點(diǎn)；討論，，解方程即可得到所求零點(diǎn)；求得的解析式，討論，，解不等式組即可得到所求范圍【詳解】解：函數(shù)，可得時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，即，可得；綜上可得時(shí)，無零點(diǎn)；時(shí)，零點(diǎn)為；，，當(dāng)時(shí)，即有或，可得或且，綜上可得x的范圍是【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)和解不等式等知識(shí)，屬于中檔題19、（1）為奇函數(shù)，證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，然后驗(yàn)證、之間的關(guān)系，即可證得函數(shù)為奇函數(shù)；（2）任取、，且，作差，因式分解后判斷差值的符號(hào)，即可證得結(jié)論成立；（3）由參變量分離法可得出，令，求出函數(shù)在上的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】證明：函數(shù)為奇函數(shù)，理由如下：函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù).【小問2詳解】證明：任取、，且，則，，，所以，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問3詳解】解：不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，因?yàn)?，所以，則有在恒成立，令，，則，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.20、（1）；；（2）（0<v≤120）；（3）v=90km/h.【解析】（1）根據(jù)貨車每小時(shí)的運(yùn)輸成本等于可變部分加上固定部分即可得出答案，再根據(jù)全程行駛的時(shí)間等于總里程除以速度即可得解；（2）根據(jù)貨車全程運(yùn)輸總成本等于貨車每小