第四章 拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析

第四章拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析

頻域分析以虛指數(shù)信號(hào)ejωt為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為眾多不同頻率的虛指數(shù)分量之和。使響應(yīng)的求解得到簡(jiǎn)化。物理意義清楚。但也有不足：（1）有些重要信號(hào)不存在傅里葉變換，如e2t,u(t);（2）對(duì)于給定初始狀態(tài)的系統(tǒng)難于利用頻域分析。在這一章將通過把頻域中的傅里葉變換推廣到復(fù)頻域來解決這些問題。本章引入復(fù)頻率s=σ+jω,以復(fù)指數(shù)函數(shù)est為基本信號(hào)，任意信號(hào)可分解為不同復(fù)頻率的復(fù)指數(shù)分量之和。這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是復(fù)頻率s

，故稱為s域分析。所采用的數(shù)學(xué)工具為拉普拉斯變換。§4.1引言以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號(hào)，而有些信號(hào)是不滿足絕對(duì)可積條件的，因而其信號(hào)的分析受到限制；另外在求時(shí)域響應(yīng)時(shí)運(yùn)用傅里葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。為了解決對(duì)不符合狄氏條件信號(hào)的分析，第三章中引入了廣義函數(shù)理論去解釋傅里葉變換，同時(shí)，還可利用本章要討論的拉氏變換法擴(kuò)大信號(hào)變換的范圍。優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入，因此應(yīng)用更為普遍。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。本章內(nèi)容及學(xué)習(xí)方法本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對(duì)拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點(diǎn)在于，以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡(jiǎn)略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對(duì)比，便于理解與記憶。拉氏變換方法是求解常系數(shù)線性方程的工具。其特點(diǎn)表現(xiàn)在：求解的步驟得到簡(jiǎn)化，同時(shí)可以給出微分方程的特解和齊次解，且初始條件自動(dòng)地包含在變換式里。拉氏變換分別將“微分”與“積分”運(yùn)算轉(zhuǎn)換為“乘法”和“除法”運(yùn)算，也即把積分微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。指數(shù)函數(shù)，超越函數(shù)以及有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)，經(jīng)拉氏變換可轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的初等函數(shù)。拉氏變換的時(shí)域中兩函數(shù)的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為變換域的乘法運(yùn)算。利用系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，極點(diǎn)分布可以簡(jiǎn)明直觀的表達(dá)系統(tǒng)性能的許多規(guī)律。§4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域從傅里葉變換到拉普拉斯變換從算子符號(hào)法的概念說明拉式變換的定義拉氏變換的收斂一些常用函數(shù)的拉氏變換一、從傅里葉變換到拉普拉斯變換有些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，求解傅里葉變換困難。則2．拉氏逆變換定義雙邊拉普拉斯變換對(duì)F(s)稱為f(t)的雙邊拉氏變換（或象函數(shù)），f(t)稱為Fb(s)的雙邊拉氏逆變換（或原函數(shù)）。通常遇到的信號(hào)都有初始時(shí)刻，不妨設(shè)其初始時(shí)刻為坐標(biāo)原點(diǎn)。這樣，t<0時(shí)，f(t)=0。從而拉氏變換式寫為稱為單邊拉氏變換。簡(jiǎn)稱拉氏變換。其收斂域一定是Re[s]>

，可以省略。本課程主要討論單邊拉氏變換。單邊拉氏變換簡(jiǎn)記為F(s)=￡

[f(t)]

f(t)=￡-1[F(s)]或

f(t)←→F(s)三、拉式變換的收斂域只有選擇適當(dāng)?shù)闹挡拍苁狗e分收斂，信號(hào)f(t)的單邊拉普拉斯變換存在。

使f(t)拉氏變換存在的取值范圍稱為F(s)的收斂域。

下面舉例說明F(s)收斂域的問題。例

因果信號(hào)f1(t)=e

t

u(t)，求拉氏變換。解可見，對(duì)于因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=

>

時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。收斂域收斂邊界例反因果信號(hào)f2(t)=etu(-t)，求拉氏變換。解可見，對(duì)于反因果信號(hào)，僅當(dāng)Re[s]=

<

時(shí)，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。例雙邊信號(hào)求其拉普拉斯變換。

求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)僅當(dāng)

>

時(shí)，其收斂域?yàn)?/p>

<Re[s]<

的一個(gè)帶狀區(qū)域，如圖所示。例

求下列信號(hào)的雙邊拉普拉斯變換。

f1(t)=e-3tu(t)+e-2tu(t)

f2(t)=–e-3tu(–t)–e-2tu

(–t)

f3(t)=e-3tu(t)–e-2tu(–t)解Re[s]=

>–2Re[s]=

<–3–3<<–2可見，象函數(shù)相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標(biāo)出收斂域。四、一些常用函數(shù)的拉普拉斯變換1、u(t)或1←→1/s，

>02、指數(shù)函數(shù)e-at←→

>-acos

0t=(ej

0t+e-j

0t)/2←→sin

0t=(ej

0t–e-j

0t)/2j←→3、n是正整數(shù)時(shí)，tn5、周期信號(hào)fT(t)特例：

T(t)←→1/(1–e-sT)4、沖激函數(shù)：

(t)←→1§4.3拉普拉斯變換的基本性質(zhì)線性

原函數(shù)微分原函數(shù)積分

延時(shí)（時(shí)域平移）s域平移

尺度變換初值

終值卷積

對(duì)s域微分對(duì)s域積分一．線性已知?jiǎng)t同理例題：二．原函數(shù)微分推廣：證明：電感元件的s域模型應(yīng)用原函數(shù)微分性質(zhì)設(shè)三．原函數(shù)的積分證明：①②①②電容元件的s域模型四．延時(shí)（時(shí)域平移）證明：例題已知例題4-3-2五．s域平移證明：例六．尺度變換時(shí)移和尺度變換都有時(shí):證明：七．初值初值定理證明由原函數(shù)微分定理可知例

即單位階躍信號(hào)的初始值為1。例終值存在的條件:八．終值例如證明：根據(jù)初值定理證明時(shí)得到的公式九．卷積時(shí)域卷積定理頻域卷積定理證明：交換積分次序十．對(duì)s微分十一．對(duì)s積分兩邊對(duì)s積分：交換積分次序:證明：§4.4拉普拉斯逆變換部分分式分解法求拉氏逆變換用留數(shù)定理求逆變換一．部分分式分解ai,bi為實(shí)數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點(diǎn)極點(diǎn)根據(jù)極點(diǎn)的不同，分為三種情況

1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2.第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3.第三種情況：有重根存在第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)(1)找極點(diǎn)(2)展成部分分式求系數(shù)如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？(3)逆變換第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)出現(xiàn)在

求f(t)例4-10F(s)具有共軛極點(diǎn)，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得例4-113.第三種情況：有重根存在如何求k2?如何求k2?設(shè)法使部分分式只保留k2，其他分式為0逆變換一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式F(s)兩種特殊情況非真分式——

化為真分式＋多項(xiàng)式1.非真分式——真分式＋多項(xiàng)式作長(zhǎng)除法2.含e-s的非有理式二.用留數(shù)定理求逆變換（圍線積分法）拉普拉斯逆變換表達(dá)式0σ1σjω∞應(yīng)用留數(shù)定理設(shè)極點(diǎn)s=pi處的留數(shù)為ri，并設(shè)F(s)est在圍線內(nèi)共有n個(gè)極點(diǎn)，則若pi為一階極點(diǎn)，則若pi為k階極點(diǎn)，則§4.5.用拉氏變換法分析電路、s域元件模型列s域方程（可以從兩方面入手）

列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換；直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。例4-13（4）求反變換求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結(jié)果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡(jiǎn)化。(3)對(duì)微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換例4-14(1)(2)(3)列方程解：極點(diǎn)故

逆變換設(shè)則波形第一種情況：階躍信號(hào)對(duì)回路作用的結(jié)果產(chǎn)生不衰減的正弦振蕩。第二種情況：引入符號(hào)所以第三種情況：第四種情況：波形利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型

·電阻元件的s域模型·電感元件的s域模型利用電源轉(zhuǎn)換可以得到電流源形式的s域模型：

·電容元件的s域模型電流源形式：線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。列寫節(jié)點(diǎn)方程時(shí)，使用電流源方式列寫回路方程時(shí)，使用電壓源方式3.求響應(yīng)的步驟

把網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)元件都用它的s域模型代替；把信號(hào)源直接寫出變換式；對(duì)電路模型采用KVL和KCL分析；找到所需求解的變換式，解s域方程拉氏反變換求v(t)或i(t)。2.電路定理的推廣

例4-15列s域方程:結(jié)果同例4-131.定義§4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵(lì)的拉氏變換之比2.H(s)的幾種情況策動(dòng)點(diǎn)函數(shù)：激勵(lì)與響應(yīng)在同一端口時(shí)策動(dòng)點(diǎn)導(dǎo)納策動(dòng)點(diǎn)阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比轉(zhuǎn)移函數(shù)：激勵(lì)和響應(yīng)不在同一端口4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng)3．求H(s)的方法利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程→微分方程兩端取拉氏變換→例題(1)(2)(3)

列方程解：如圖電路，初始狀態(tài)為0，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求電流i(t)