正方形的性質(zhì)與判定 省賽獲獎

學(xué)習(xí)新知第一章特殊平行四邊形檢測反饋3正方形的性質(zhì)與判定（2）九年級數(shù)學(xué)上新課標(biāo)[北師]問題2

如圖所示,將一張長方形紙對折兩次,然后剪下一個角,打開.怎樣剪才能剪出一個正方形?問題3

議一議:滿足什么條件的矩形是正方形?滿足什么條件的菱形是正方形?與同伴交流一下.

問題思考問題1

我們學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形,那么請思考一下,它們之間有什么關(guān)系?你能用一個圖直觀地表示它們之間的關(guān)系嗎?與同伴交流一下.

菱形與正方形學(xué)習(xí)新知菱形與正方形?問題:

從這個圖形中你能得到什么？

┓90°有一個角是直角的菱形是正方形。ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCD矩形與正方形ABCDABC

D

問題:

從這個變化中你能得到什么？有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

例題講解

已知:如圖所示,在矩形ABCD中,BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證:四邊形BECF是正方形.

思路2:要證四邊形BECF是正方形,也可以先證明四邊形BECF是矩形,然后證明四邊形BECF中有一組鄰邊相等即可.解析

思路1:要證四邊形BECF是正方形,可以先證明四邊形BECF是菱形,然后證明四邊形BECF中有一個角是直角即可;

證法1:∵BF∥CE,CF∥BE,∴四邊形BECF是平行四邊形.

∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠DCB=90°.

又∵BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,

平行四邊形正方形一組鄰邊相等一內(nèi)角是直角正方形菱形一內(nèi)角是直角矩形一組鄰邊相等正方形小結(jié)定義法菱形法矩形法有一個角是直角的菱形叫做正方形。有一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。有一組鄰邊相等的一個角是直角平行四邊形叫做正方形。如果四邊形ABCD變?yōu)樘厥獾乃倪呅?，中點(diǎn)四邊形EFGH會有怎樣的變化呢？平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形原四邊形可以是：中點(diǎn)四邊形特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：平行四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形矩形的中點(diǎn)四邊形是菱形正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形猜想驗(yàn)證特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形：等腰梯形的中點(diǎn)四邊形是菱形直角梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形梯形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想驗(yàn)證對角線垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形對角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形對角線既相等又垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是正方形對角線既不相等又不垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是平行四邊形猜想驗(yàn)證歸納：一般四邊形的中點(diǎn)四邊形：決定中點(diǎn)四邊形EFGH的形狀的主要因素是原四邊形ABCD的對角線的長度和位置關(guān)系原四邊形對角線關(guān)系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直所得中點(diǎn)四邊形形狀平行四邊形菱形矩形正方形5種識別方法三個角是直角四條邊相等一個角是直角或?qū)蔷€相等一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直一個角是直角或?qū)蔷€相等一個角是直角且一組鄰邊相等平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定小結(jié)

1.下列說法中正確的有

(

)

①有一個角為直角的菱形是正方形;

②四個角相等的四邊形是正方形;

③四條邊都相等的四邊形是正方形;

④有一組鄰邊相等的矩形是正方形;

⑤對角線垂直且相等的四邊形是正方形;

⑥對角線相等的菱形是正方形;

⑦對角線互相垂直的矩形是正方形;

⑧對角線互相垂直平分的四邊形是正方形.

A.3個 B.4個 C.5個 D.6個

B檢測反饋2.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分別是BC,AB,AC的中點(diǎn),連接DE,DF.

(1)求證DE=DF.

(2)你能添加一個條件,使四邊形EDFA是正方形嗎?若能,請說明.提示:(1)利用三角形的中位線定理可以證明;(2)添加條件∠A=90°;先證明四邊形AEDF是菱形,然后根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形得出即可.3.如下左圖所示,E,F,G,H分別是正方形ABCD四邊的中點(diǎn),試判斷四邊形EFGH的形狀,并給出證明.如果改變E,F,G,H的位置,但仍滿足AE=BF=CG=DH,如下右圖所示,結(jié)果如何呢?提示:四邊形EFGH是正方形